局部控制回归：对最小二乘蒙特卡罗方法的改进

经典的方法是使用梯度优化，这需要对梯度进行分析或数值计算。相反，我们使用无梯度自适应策略执行最大化。下面是这种自适应网格方法的简单示例。假设我们得到一个由无风险资产和风险资产组成的投资组合。我们用{Ap}0表示≤p≤p自适应网格序列，用{Δp}0表示≤p≤p序列作为自适应网格大小，使得δp+1=δp/2。我们将初始自适应网格定义为A=A，将初始控制网格大小定义为δ=δ。假设最优控制^α已在空间A=Adisc上估计。然后，更新后的自适应网格定义为A={α- δ/2，α，α+δ/2}，最优控制的更新估计由α=arg maxa给出∈A^Φ（A）。迭代地，自适应网格将是Ap={αp-1.- δ/2p，^αp-/1，^αp-1+δ/2p}。对于每个重新定义的自适应网格，控制的每个维度中最多有两个新点。这种层次结构保证在算法中执行有限数量的操作。下面是我们的自适应网格策略示例，从Adisc的δ=1/4控制网格开始：Ad=a={0，0.2500，0.5000，0.7500，1}假设^α=arg maxa∈A^Φ（A）=0.5000，那么A={0.3750，0.5000，0.6250}假设A=arg maxa∈A^Φ（A）=0.3750，那么A={0.3125，0.3750，0.4375}假设^α=arg maxa∈A^Φ（A）=0.3125，那么A={0.28125，0.3125，0.34375}假设^α=arg maxa∈A^Φ（A）=0.3125，然后A={0.296875，0.3125，0.32815}。。。最后^α*:= arg最大值∈AP^Φ（a）可以看出，只有五次迭代才能达到高于1/100的控制网格精度，每次迭代最多只需要两个额外的评估点。这种自适应网格方法可以描述为对函数的局部最大值进行修正的多元对分搜索。

算法1描述了局部回归和自适应网格的组合。根据我们的经验，梯度优化和自适应网格都可以达到最优，但后者效率更高。算法1局部回归和自适应网格1：输入：n^CVjo1≤j≤J2：结果：^α*3： 通过网格搜索在粗网格上找到最优决策：^α=arg maxaj∈Adisc^CVj4：在^α：Ldisc（^α）附近构建本地电网：=一∈ Adisc:k^α- ak公司∞≤ δ5： 回归n^CVjoaj∈Ldisc（α）在Ldisc（α）上，获得参数形状（α）onLcont（α）：={a∈ A：k^α- ak公司∞≤ δ}.6： 设置初始自适应网格A=Ldisc（^α）7：对于每个p=1，P do8：更新自适应网格：Ap：={a∈ Lcont（α）：a=αp-1±δ/2p}∪ {αp-1} 9：更新自适应控制估计值：^αp=arg maxa∈Ap^Φ（a）10：结束11：^α*:=^αP5数值试验在本节中，我们通过将前面章节中提出的数值方法应用于第2节中所述的多期投资组合优化问题，来验证该数值方法。我们从雅虎金融获得了2007年10月至2016年1月13项金融资产（ETF股票代码：BND、SPY、EFA、EEM、GLD、BWX、SLV、USO、UUP、FXE、FXY和FXA）的月度收盘价。我们对一阶向量自回归模型进行了校准，以记录收益（log-St-日志St-1） 获取返回动态。我们将现金账户的年利率调整为4.5%。我们考虑使用现金组件、BND和SPY进行三维投资组合优化。其余11项金融资产被用作BND和SPY的外生回报预测因子。在数值试验中，我们使用了一个M=10 Monte Carlo路径的样本。我们假设交易成本与投资组合营业额成0.3%的比例。

对于依赖于交易量的流动性成本和市场影响，我们通过【17】校准的欧洲中型和大型资本支出的边际供需曲线（MSDC）来描述交易期间的价格变动。MSDC readsMSDC(q） =（SAek√|q |当q>0（位置增加）时SBe-k√|q |当q<0（持仓减少），（5.1）其中sb表示最佳出价，SAdenotes表示最佳要价，q表示投资者在时间t和k时的位置变化∈ R+被称为流动性风险因素。通过与q，我们得到了流动性成本的显式参数形式，LC(q） =SA（λ(q）- q）{q>0}+SB（q- λ (q） （）{q<0}，其中λ(q） =k（符号(q） kp公司|q | e-符号（q）k√|q |+e-签署(q） k级√|q|- 1). 根据【17】中的校准结果，我们设置k=8×10-经校准的买卖价差SA- SBis约10-5，根据我们的测试，它足够小，对最优投资组合配置几乎没有影响。为了方便起见，我们只需设置SB=SA。可以认为，永久性市场影响与MSDC的临时峰值成正比。我们假设市场影响的比例率为2/3。有关如何将这些转换成本合并到LSMC方法中的详细信息，请参阅[20]。我们使用恒定相对风险规避（CRRA）效用，即U（w）=w1-γ/(1 - γ). 对于优化目标。我们根据CER=U给出的每月调整确定性等价回报（CER）报告我们的数值结果-1（E[U（WT）]）T- 1.≈ U-1（MPMm=1U（WmT））T- 1、月度回报率通常小于1%，因此我们以基点报告CER，以便于比较。5.1局部回归vs.s.全局回归如第4.1节所述，可通过控制回归改进在离散网格上计算的最优投资组合分配。

在这里，我们比较了局部控制回归和全局控制回归的准确性和效率，因为两者都使用自适应网格来寻找最优值。表5.1和表5.2比较了不同类型全球基准的局部回归。我们的结果表明，局部回归确实提高了预测精度和效率。异常值-12.3表5.1中的四阶全局多项式回归和δ=1/8表明，高阶多项式基可能产生不可靠的结果。表5.1：不同回归方法和不同网格尺寸的CER本地2ndGlobal 3rdGlobal 4thGlobal MARS Globalδ=1/2 64.9 65.0 64.9 64.8 63.2δ=1/4 65.0 64.8 65.0 64.9 64.5δ=1/8 65.1 64.9 64.5-12.3 65.0δ=1/16 65.2 64.8 64.9 65.0 65.0δ=1/32 65.2 64.8 64.7 65.0 64.8此表比较了使用不同控制网格大小和不同回归基础的每月调整CER的截断VFI方案的下限（以基点为单位）。考虑6个月期限（N=6个月）内γ=10的CRRA投资风格。表5.2：不同回归方法和不同网格尺寸的计算时间NDLOCAL 2ndGlobal 3rdGlobal 4thGlobal MARS Globalδ=1/2τa=43秒1.2×τa1.6×τa2.6×τa3.6×τaδ=1/4τb=1.5分钟1.4×τb1.9×τb3.0×τb10.5×τbδ=1/8τc=5.2分钟1.8×τc2.3×τc7.0τc15.6×τcδ=1/16τd=24.1分钟2.8×τd3.9×τd9.3×τd22.3×τdδ=1/32τe=2.9小时4.1×τe7.0×τe13.6×τe35.4×τeth此表报告了在不同尺寸的网格和不同回归基础下，一个时间步近似条件期望的计算运行时w.r.t.控制维度。考虑6个月（N=6个月）内γ=10的CRRA投资风格。

为了便于比较，将结果报告为最快方法（局部回归）的倍数。5.2网格尺寸然后，我们测试精度（表5.3）和效率（表5.4）对控制网格网格尺寸的敏感性。表5.3显示，粗网格（δ=1/8）与局部控制回归相结合能够产生准确的结果：与细网格（δ=1/32）相比，CER和初始投资组合分配的误差可以忽略不计。表5.4报告了不同控制网格的反向动态规划的一个时间步迭代的运行时间。这些结果的主要信息是，尽管我们仍然没有完全摆脱维度诅咒，但所提出的技术使我们能够解决比文献中通常考虑的规模大得多（超过十项风险资产）的投资组合优化问题（少于三项风险资产）。需要注意的是，为了正确比较运行时，代码是基于每个蒙特卡罗路径的朴素“for循环”编写的，通过矢量化或使用较低级别的编程语言，计算速度可以大大提高。