意大利养老金缺口：一种随机最优控制方法

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英文标题：
《The Italian Pension Gap: a Stochastic Optimal Control Approach》
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作者：
Alessandro Milazzo and Elena Vigna
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study the gap between the state pension provided by the Italian pension system pre-Dini reform and post-Dini reform. The goal is to fill the gap between the old and the new pension by joining a defined contribution pension scheme and adopting an optimal investment strategy that is target-based. We find that it is possible to cover, at least partially, this gap with the additional income of the pension scheme, especially in the presence of late retirement and in the presence of stagnant career. Workers with dynamic career and workers who retire early are those who are most penalised by the reform. Results are intuitive and in line with previous studies on the subject.
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中文摘要：
我们研究了意大利养老金制度改革前和改革后国家养老金之间的差距。目标是通过加入养老金固定缴款计划并采取基于目标的最佳投资策略，填补新旧养老金之间的差距。我们发现，养老金计划的额外收入至少可以部分弥补这一缺口，尤其是在退休较晚和职业停滞的情况下。职业充满活力的工人和提前退休的工人是受改革惩罚最大的人。结果是直观的，并且与之前关于该主题的研究一致。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> The_Italian_Pension_Gap:_a_Stochastic_Optimal_Control_Approach.pdf (1.56 MB)

2022-6-14 00:53:20 上传

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关键词：最优控制 控制方法 养老金 意大利 Quantitative

意大利养老金缺口：一种随机最优控制方法Alessandro Milazzo*Elena Vigna+2018年4月17日摘要我们研究了意大利养老金制度改革前和改革后国家养老金之间的差距。目标是通过加入固定缴款养老金计划并采用基于目标的非最优投资策略，填补新旧养老金之间的差距。我们发现，养老金计划的额外收入至少可以部分弥补这一缺口，特别是在退休较晚和职业停滞的情况下。职业生涯充满活力的工人和提前退休的工人是那些受到改革惩罚最多的人。结果是直观的，并且与之前关于该主题的研究一致。关键词。养老金改革、固定缴款养老金计划、净替代率、随机最优控制、动态规划、HJB方程、Bellman最优原则。JEL分类：C61、D81、G11。*伦敦帝国理工学院。电子邮件：a。milazzo16@imperial.ac.uk.+通讯作者。都灵大学卡洛·阿尔贝托学院和CeRP，意大利。电子邮件：elena。vigna@unito.it.1简介在过去的几十年中，世界上有几个国家都面临着人口老龄化问题。众所周知，人口老龄化削弱了现收现付养老金制度的可持续性，而现收现付养老金制度基本上是基于工人与养老金领取者之间的高比率。为了解决这一问题，许多ZF推出了新的改革措施，这将导致养老金制度发生深刻变化。尤其是在意大利，迪尼改革（1995年引入）为新的工人阶级建立了完全不同的压力体系。在改革之前，公共养老金是通过固定福利工资相关制度提供的。

也就是说，提供的养老金仅仅是工人最后工资中基于服务的百分比。改革后，公共养老金通过缴费制提供，劳动者自己出资建立养老金。这一显著的变化产生了两类不同的工人，即改革前的工人和改革后的工人，并导致他们相应的养老金率和替代率之间的养老金差距。本文旨在说明一种可能的方法，以填补养老金缺口，并在工作期间对固定缴款（DC）养老基金进行最佳投资。为了实现这一目标，求解了具有合适年度目标的随机最优控制问题。我们考虑两种不同的工资增长来代表两种不同的工人类别：线性工资增长（蓝领工人）和指数工资增长（白领工人）。数值部分说明了该模型的实际应用。我们的结果与之前关于旧的改革前意大利养老金和新的改革后养老金的比较结果一致，参见Borella&Coda Moscarla（2006）和Borella&Coda Moscarla（2010）。我们发现，与职业停滞的工人相比，职业充满活力的工人的工资相关养老金和基于缴费的养老金之间的差距更大。与延迟退休相关的缓慢平均增长可以产生与旧养老金几乎相等（甚至超过）的新养老金。预计，在退休时间过长的情况下，这种差距更容易弥补，反之亦然。有趣的是，当工资增长率增加时，差距就会增大。论文提醒如下。在第2节中，我们介绍了意大利养老金制度的里程碑以及迪尼改革的后果。

在第三节中，我们建立了模型和相应的随机最优控制问题。在第4节中，我们推导了针对所考虑的两种不同工资增长的问题的封闭式解决方案。在第5节中，我们进行了一些模拟，以测试模型，并在基本情况下展示最优投资策略和最优基金增长的行为。第6节，我们对养老金分配与退休年龄进行敏感性分析。在第7节中，我们研究了导致“新”养老金等于“旧”养老金的盈亏平衡点。第8节结束。2意大利养老金规定意大利养老金制度在90年代通过不同ZF采取的一系列立法措施进行了修改。为了理解以下模型，我们只暗示了Dini改革是有用的。Dini改革（1995年第335号法律）将养老金计算系统从基于工资的系统更改为与缴款相关的系统。工人们从一个系统转移到另一个系统，这取决于1995年底支付的缴款。因此，产生了三种不同的情况：1。1995年12月31日，缴纳最低18年会费的工人仍然处于工资相关制度下，因此他们没有受到改革的影响。2、1995年12月31日缴款不满18年的工人采用混合方法。3.

1995年12月31日后首次就业的工人应遵守基于缴费的制度。本文将意大利改革前的公共养老金计算方法与改革后的“新”公共养老金计算方法进行了比较。Dini改革前的养老金公式为0.0 2·T·S（T），（1），其中S（T）是最终工资，T表示过去的工作年限。在下文中，我们将养老金率（1）称为“旧养老金”。旧养老金是最后一次工资与服务年限乘积的百分比，相关的净替代率（退休后收到的第一次养老金利率与退休前感知的最后一次工资之间的比率）由∏o=PoS（t）=0.0 2·t给出。相反，养老金率pn的新公式由pn=β·c·t描述-1Xt=0S（t）（1+w）t-t、 （2）式中oβ是一次性付款和年金利率之间的转换系数，其选择应反映精算公平性。如果是，则β=1/¨ax，其中¨ax为x岁投保人发放的终身年金的单一保费，即¨ax=ω-xXn=1npx·vn，（3）其中ω是极端年龄，v=1/（1+r）是年贴现系数，npxis是从年龄x到年龄x+n的生存概率。c是计算养老金率的缴款百分比（假设在整个工作寿命期间保持不变，对于员工，法律规定为33%）。oT表示过去工作年数w是平均实际GDP增长。在下文中，我们将养老金率（2）称为“新养老金”。与旧养老金相比，新养老金由一个复杂的公式给出，不仅取决于所有的标准，而且还取决于其他参数。

其相关净替代率为∏n=PnS（T）。3优化问题本文的主要思想如下。我们假设该工人于1995年12月31日后首次就业，并将从第一支柱（即公共养老金）获得新养老金（2），但他希望将其与第二支柱（即私人养老金）的额外收入相结合，以获得尽可能接近他根据旧养老金规则（1）获得的养老金利率。自Dini改革以来，除了少数只有自雇人员才能使用的例外情况（本文未考虑），意大利的养老基金是固定缴款（DC）而非固定收益（DB）。这意味着，支付给基金的供款在计划规则中是预先确定的，退休时获得的收益取决于积累期内基金的投资业绩。我们假设在时间0时，工人加入DC养老金计划，并控制在时间范围内采取的投资策略【0，t】，其中t是退休时间。金融市场由两种资产组成，一种是无风险资产B={B（t）}t≥0和r isky assetZ={Z（t）}t≥0，其动力学由db（t）=rB（t）dt，（4）dZ（t）=uZ（t）dt+σZ（t）dW（t），（5）表示，其中r是恒定利率，且{W（t）}t≥0是在完全过滤概率空间上定义和调整的标准布朗运动(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）。我们假设在t时向基金支付的缴款c（t）是成员工资的固定比例c（t）=kS（t），t∈ [0，T]，其中k∈ （0，1）和S（t）是成员在t时的工资。最后，是在t时投资于风险资产的投资组合比例∈ [0，T]是y（T）。

因此，财富的动态由以下SDE（dX（t）={[（u- r） y（t）+r]X（t）+c（t）}dt+σy（t）X（t）dW（t）X（0）=X（6），其中X≥ 0是支付给基金的初始财富（也可以是另一个养老基金的转移值）。由于工人的目标是使每个人的养老金率尽可能低于工资相关方法的养老金率，因此我们假设存在年度目标{F（t）}t=0,1,2，。。。t他想要实现的目标，以及他在未达到目标时所遭受的损失来描述他的偏好。因此，我们引入以下二次损失（或二次效用）函数l（t，X（t））=（f（t）- X（t）），t∈ [0，T]。备注1。在养老基金的情况下，使用二次损失是非常常见的。一些例子包括布利耶、特鲁桑和弗洛伦斯（1995）、布利耶、米歇尔和维斯尼亚（1996）、凯恩斯（2000）、杰拉德、哈贝曼和维格纳（2004）、杰拉德、哈贝曼和维格纳（2006）、杰拉德、赫杰加德和维格纳（2012）。此外，Vigna（2014）和Menoncin&Vigna（2017）深入分析并讨论了“基于效用”的方法和“基于目标”的方法之间的联系。从理论角度来看，二次Los-ss函数也会惩罚任何偏离目标的行为，这可以被视为模型的缺陷。然而，试图实现一个目标的选择，仅此而已，对投资组合的整体风险有着自然的限制：一旦达到了预期的目标，就没有理由进一步暴露于风险之中，因此盈余变得不受欢迎。这也符合这样一个事实，即投资组合选择的平均方差方法已被证明等同于二次损失函数的最小化：参见Zhou&Li（2000）和Li&Ng（2000）的开创性论文，以及在DC养老金计划的背景下，Vigna（2014）。

决策理论文献中也接受了人们按照主观目标行事的观点。例如，Kahneman&Tversky（1979）支持在成本函数中使用目标，Bordley&Li Calzi（2000）研究并支持在不确定性条件下的决策中使用基于目标的方法。我们现在需要确定目标。回顾工人的目标是在养老金改革之前进行每项改革，我们将X岁退休人员应向保险公司支付的金额设定为最终目标，以弥补之前养老金率与当前养老金率之间的差距，即F（T）=（Po- Pn）¨ax，（7）式中¨axis（3）给x岁退休人员的年金价格，Pois（1）式中给出，Pn是方程（2）的连续公式，表示spn=βc^TS（t）ew（t- t） dt。t的临时目标F（t）∈ [0，T）被设置为使用利率r的基金加上贡献的复合值*匹配内部目标和最终目标之间的连续性条件，即F（t）=xer*t+^tc（s）er*（t-s） ds，（8）带r*这样的限制→T-F（t）=F（t）。（9） 员工的目标是最大限度地减少基金在退休前可能遭受的有条件预期损失0，x^Te-ρsL（s，X（s））ds+e-ρTL（T，X（T））, （10） 其中ρ>0是（主观）短期贴现系数。与DC养老金计划中的优化问题一样，缴费率不是控制变量，工人的唯一控制变量是投资组合y（t）在时间t投资于风险资产的份额∈ [0，T]。为了描述优化问题，我们将近似值r*采用牛顿-拉斐逊算法。我们用财富x定义时间t的性能标准，即Jt，x（y（·））=Et，x^Tte-ρsL（s，X（s））ds+e-ρTL（T，X（T））（11） 以及可接受的策略。定义3.1。

如果y（·），则称投资策略y（·）是可接受的∈ LF（0，T；R）。那么，最小化问题就变成了在一组可容许策略上最小化J0，x（y（·））（12）。4解决方案为了解决优化问题（12），值函数定义为asV（t，x）：=infy（·）Jt，x（y（·））（t，x）∈ U=[0，T]×(-∞, +∞). （13） 备注2。在这项工作中，我们既没有设定基金X（·）可以设定的价值的界限，也没有设定要投资于风险资产的份额y（t）的界限。在X（t）上存在一个最小界限是可取的，并且在投资策略上有适当的界限。该法案旨在保护退休人员，使其不致于超过资产寿命，也不致于在一段时间内购买最低水平的养老金，后者是为了遵守通常禁止卖空和借贷的规定。然而，向状态变量和控制变量添加限制意味着向问题添加边界条件，这使得解析求解非常困难（通常不可能）。在研究DC养老金计划限制优化问题的新工作中，seeDi Gia cinto、Federico&Gozzi（2011）和Di Giacinto、Federico、Gozzi&Vigna（2014）。我们写HJB方程∈R【e】-ρtL（t，x）+LyV（t，x）]=0， （t，x）∈ U（14）V（T，x）=e-ρTL（T，x）， x个∈ R、 其中luf（t，x）=tf（t，x）+b（t，x，u）xf（t，x）+σ（t，x，u）xf（t，x）是微元运算符，函数b（·）和σ（·）是过程x={x（t）}t的漂移和微分项≥0定义人（6）。代入（14），我们得到（t，x）∈ U、 infy公司∈Re-ρt（F（t）- x）+五、t+[x（y）（u- r） +r）+c（t）]五、x+xyσ五、x个= 0，（15），边界条件v（T，x）=e-ρTL（T，x）。（16） 为了有一个更简单的表示法，让我们定义ψ（t，x，y）：=e-ρt（F（t）- x）+五、t+[x（y）（u- r） +r）+c（t）]五、x+xyσ五、x。

（17） 因此，方程式（15）变为∈Rψ（t，x，y）=0=> ψ（t，x，y*) = 0。（18）一阶和二阶条件为ψy（t，x，y*) = 0，（19）ψy y（t，x，y*) > 因此，（19）变成x（u- r）五、x+xy*σ五、x=0，所以y*= -u - rσxσVxVxx。（21）此外，当且仅当ifxσ满足条件（20）五、x> 0个<=>五、x> 0。（22）我们将在后面说明该条件实际上是满足的，因此解是最小值。通过将（21）代入（18），我们得到了非线性PDEe-ρt（F（t）- x） +Vt+[接收+c（t）]Vx-u - rσVxVxx=0。（23）我们猜测公式v（t，x）=e的解-ρt[α（t）x+β（t）x+γ（t）]。（24）根据边界条件（16），我们得到-ρT（F（T）- x） =e-ρT[α（T）x+β（T）x+γ（T）]，x个∈ (-∞, +∞),所以α（T）=1，β（T）=-2F（T），γ（T）=[F（T）]。（25）V areVt（t，x）=-ρe-ρt[α（t）x+β（t）x+γ（t）]+e-ρt[α′（t）x+β′（t）x+γ′（t）]，Vx（t，x）=e-ρt[2α（t）x+β（t）]，Vxx（t，x）=2e-ρtα（t），并将其代入（21），我们得出了时间t的最优投资策略，即财富x，即y*（t，x）=-u - rσxσx+β（t）2α（t）.