金融市场的多重分形分析

（340）不仅是CSI所暗示的幂律，而且其形式为[601]O（s）=s-Dψ（s），（3 41），其中D=lnκ/lnλ是分形维数，ψ（λs）=ψ（s）是周期为lnλ的对数周期函数（即lns的周期函数）。在这些情况下，O（s）服从离散尺度不变性（DSI）的对称性，其中系统仅在磁化因子λ的特定值的整数次幂下具有尺度不变性，对数周期振荡的符号修饰幂律标度关系。对数周期幂律奇异性（LPPLS）信号已在金融时间序列中观测到，并已用于识别泡沫和反泡沫以及预测转折点【40】。这已经应用于日经225指数的反泡沫（30）、美国房地产泡沫（39）、中国股市的反泡沫（602）和泡沫（42）以及2008年的原油泡沫（603）。除了LPPLS在分形时间序列中的普遍存在【604】之外，Zhou和Sornette还揭示了DSI在某些多重分形测度中的存在，并通过MF-PF和MF-X-PF的方法将多重分形m e测度连接起来【274】，例如多重实际二项度量的去趋势化函数，尽管作者可能没有注意到这一点【139、307、429】。在一部有趣的作品【605】中，肖等人。1998年12月22日至2010年4月30日，使用对数周期振荡调制的p-owerlaw标度将去趋势互相关分析转换为一种新形式，并使用五个股市指数（道琼斯工业平均指数、富时指数、DAX指数、SSEC指数和日经指数）、上海股市的板块和道琼斯工业平均指数的十个板块说明了这一想法。

如果LPPLS存在于DCCA中，人们可以合理地预期它会出现在MF-DCCA演示文稿中。在不同多重分形分析方法计算的动量中，LPPLS的存在对标度指数的确定具有重要的影响。这个问题与标度的选择密切相关，因此标度范围[s，sm]=[smin，smax]。自然策略是确保标度范围包含几个完整的振荡，以便（ln smax-ln smin）/lnλ是一个整数，每个对数周期振荡包含具有相同相位集的相同标度数。5.2.2. 翻译不变性detrendin g方法的创新之处在累积求和程序之前，通常将X调整为零均值。当趋势函数具有常数项时，如多项式趋势，则校正方法（如MF-DFA）具有平移不变性，即，X和X+c具有相同的多重分形性质，其中c是任意的c常数。然而，对于其他去趋势方法，如MF-DMA，情况可能会非常不同【606】。累计金额（或利润）X+c isU（t）=ct，（342）和从t中获得的t处的移动平均值- 窗口大小s iseU（t）=c“t+（2θ- 1） （s）- 1） #，（343），其中θ在公式（118）中定义。因此，移除移动平均值后，常数偏移c的剩余值为c（t）=c（2θ- 1） （s）- 1） （344）是给定窗口大小s的常数。我们发现，只有当θ=0.5时，残差c（t）=0。否则，我们将在F与s缩放图中观察到交叉【606】。因此，中心MF-DMA是平移不变的，而其他MF-DMA版本则不是。这一分析提出了一个严重的问题，即是否应该将mea n从等式（117）中的inn ovations中移除。

对于均值非零的时间序列，该分析至少部分解释了不同θ值下MF-DMA结果的差异。5.2.3. 负维f（α）<0多重分形的一个有趣特征是多重分形谱中可能存在负维，即对于大小奇点α，f（α）<0【607–609】。在金融TIME系列的奇异谱中也观察到了负维度，如金融波动率[312]、交易持续时间[454]、WIG指数回报率[56 1]、WTI原油现货和期货价格回报率[61 0]、外汇汇率[611]、CSI 300指数回报率[612]、MA SI指数回报率和MADEX指数回报率[613]、以及标准普尔500指数回报率[112]，很快，不同的多重分形分析方法被应用。Cates和Witten首先讨论了负f（α）的含义[1 66]，他们指出了“超级样本”的整体平均所导致的负维度。如果乘数分布连续[311449450614]，如金融波动率乘数[312]，则也会出现负维度s。一个简单的说明性分析示例表明，负d维要么来自内在随机性的存在，要么来自确定性过程的arandom处理【310】。这与Mandelb rot基于其关于随机多重分形的著作的见解不谋而合【608，609】。5.2.4. 多重分形谱扩散限制聚集（DLA）过程的严重性，多重分形谱显示异常，其中存在临界值qc，使得分配函数偏离幂律的速度更快，并且当q<qc时τ（q）函数不存在[615–617]。

这些异常可以在基于有限多项式测度的左sid e d多重分形的框架内解释，其中g生成函数读取s【618，619】∞Xi=1pqir-τi=1。（345）可在参考文献[188]中找到数学处理。pi=2时-i和ri=i-λ- （i+1）-λ（这样p∞i=1pi=P∞i=1ri=1），其中λ>0为参数r，临界q值qc=0，多重分形谱为单侧：f（α）≈ 1.-c[αλ（0）- α] κ，λ>1，ααλ（0）c exp(-c′α），λ=1，α→ ∞cακ，0<λ<1，α→ ∞（346）其中c和c′是依赖于λ的正常数，κ=max{2，λ/（λ）- 1)} [618, 619]. 因此，f（α）是α的非单调函数，fmax=1。在数值上，我们必须对测量值采用有限近似，得到的多重分形谱是左侧的，并逐渐收敛到精确的单侧表达式。显然，逆多重分形谱是右侧的（逆测度s见第2.1.4节）。对于经验多重分形谱，偏态可以类似于概率分布来定义。负偏态光谱的左尾更长或更胖，也被称为左偏或左偏。正偏态谱的右尾更长或更胖，也被称为右偏或向右偏态。光谱偏度的一个简单度量是f（α）左侧的斜率与f（α）右侧的绝对斜率之比【599】。如果比值大于1，则整个频谱左偏。倾斜度的一个更自然的度量是[600]倾斜=αmax- α(0)α(0) - αmin（347），其中，对于非斜态光谱，skew=1；对于右斜态光谱，ske w>1；对于左斜态光谱，skew<1。无偏谱不一定是对称的。在实证分析中也采用了这种方法【620621】。

在经验应用中，我们建议在表达式（347）中的偏斜估计中施加qmax=qinfor。有人认为，左偏多重分形在大的波动中有更多的精细结构，而右偏多重分形在小的波动中有更多的精细结构。在许多经验金融系统中，都观察到了扭曲（或不对称）多重分形谱，其中金融回报谱更可能是左偏的，而贸易比率在多重分形中相当系统地发展为右偏的不对称【622，623】。社会科学中总是有例外，这并不意外。5.3. 重叠成分和交叉现象金融时间序列标度行为中的交叉现象无处不在【165、458、562、564–568】。在湍流中，有明确的惯性范围和粘性范围[6 24]。在某种意义上，金融市场可能会让我们陷入动荡[17,18,137]。然而，金融摩擦是这种交叉现象的主要原因，因为交叉尺度通常比“摩擦尺度”大得多。相反，有一些机械的解释，叠加的时间序列会导致交叉。20年前已经研究了趋势的影响[625]。Kantelhardt等人对多项式和周期趋势对DFA标度行为的影响进行了广泛的数值分析【626】。5.3.1. S上置规则假设将加性趋势u（t）添加到长期相关时间序列X（t）中，以形成新的时间序列Z（t）=X（t）+u（t）（348），其中X（t）显示单标度行为，而无交叉FX（S）=bsH。（349）如果X（t）和u（t）的去趋势d残差不相关，则re是DFA【405】和DMA【606】的函数行为中的叠加定律，Fz（s）=Fx（s）+Fu（s），（350），适用于MF-DFA和MF-DMA。

交叉尺度s×可通过以下等式确定：Fx（s×）=Fu（s×）。（351）在许多情况下，s<s×和s>s×分别出现两个幂律。更一般地说，交叉现象的出现可以被视为多种机制之间竞争的结果，无论它们是自生还是异源的，都会产生幂律相关特性【627】。5.3.2. 多项式趋势在一项开创性的工作中，Hu等人对叠加多项式趋势的影响进行了分析和数值研究【405】。考虑添加到增量系列中的以下多项式趋势：对于DFA，u（t）=mXp=0aptp（352）-l, 哪里l 是多项式去趋势函数的阶数，如果l > p+1，叠加多项式趋势u（t）被去趋势函数X（t）“吸收”b。因此，u（t）对X（t）的标度行为没有影响，也不存在交叉现象。对于线性叠加趋势u（t）=at，其终止函数为fu（s）=kas，（353），其中k=√5/60. 根据式（351），我们有×=akb！1/（小时）-2） ，（354）表明交叉尺度s×仅取决于幂律指数为1/（H）的幂律形式- 2).当s<< s×，Fx（s）占主导地位，z（t）的标度指数为H>> s×，Fu（s）占主导地位，z（t）的标度指数为2。对于二次趋势u（t）=at，趋势衰减函数为fu（s）=kNas，（355），其中k=√15/90. 交叉刻度iss×=kbNa！1/（小时）-3). （356）观察到s的固有标度行为<< s×。发现s×不仅取决于a，还取决于时间序列N的长度。由于H<1，对于较长的时间序列，s×较小。在这种情况下，标度范围bec omesnarrower，更难估计H。多项式趋势对DMA的影响不同【606】。对于p=0的恒定趋势，当θ=0.5时，Fu（s）=0，并且没有交叉。回忆θ处的th在等式（118）中定义。

当θ=0和θ=1时，我们有fu（s）=a（s- 1). （357）有一个交叉ats×=2ba！1/(1-H） 。（358）表明交叉尺度s×是指数为a的幂律函数-1/(1 - H） 。对于p=1的线性趋势，当1<< s<< N、 F（s）继承asFu（s）≈as，θ=0.5aNs√, θ=0或1（359），它紧跟在ts×≈24ba！1/(2-H） ，θ=0.5√12禁止1/(1-H） ，θ=0或1（360）当出现交叉时，s<s×的函数左侧反映X（t）的行为，而s>s×的右侧部分受多项式趋势支配。5.3.3. 周期趋势Montanari等人进行的数值研究表明，时间序列中周期性的存在可能会影响赫斯特指数H的估计，一些估计器错误地检测到长程依赖的存在【628】。对于DFA，Hu等人研究了正弦趋势的影响，发现Fz（s）函数有三个交叉点，并且在模型中显示了一个驼峰，反映了正弦趋势的影响【405】。对于正弦趋势u（t）=aSsin（2πt/t），（361）fu具有两个交叉标度为s2×。当s<< s2×，我们有fu1（s）=kaSs/T.（362a），当s>> s2×，我们有fu2（s）=kaST~ s、 （362b）以下为ts2×≈ T、 （363）当s<s2×，Fu1（s）和Fx（s）的共同竞争产生交叉，即S1×=bkTaS！1/(2-H） 。（364）当s>s2×，Fu2（s）和Fx（s）的竞争引入第三个交叉点ats3×=kbT aS！因此，有四个幂律标度区域：（1）当s<s1×，fx占主导地位，标度指数为H；（2） 当s1×<s<s2×，fu1占优势，标度指数为αs=2；（3） 当s2×<s<s3×，fu2为常数，标度指数为0；（4）当s>s3×，FX占主导地位，标度指数t为H。注意，所有三个交叉标度都与N的t无关。

当时间序列较短时，第四个缩放区域可能消失。第一尺度g区域通常很短，估计H不可靠。如果我们想基于第一和第四区域估计H，我们需要很长的时间序列。这些性质也适用于多重分形时间序列。很难有一个合适的标度范围，通常会导致选择的标度范围不正确，从而导致无法检测到固有的多重分形谱[6 29]。5.3.4. 幂律趋势Shu等人还研究了幂律趋势[405]u（t）=aPtλ，（366）的影响，其去趋势函数读取Sfu（s）~ sα（λ）Nγ（λ）（367）函数α（λ）具有以下形式α（λ）=l + 1，对于λ>l - 0.5λ+1.5，用于- 1.5 6 λ 6 l - 0 .50，对于λ<-1.5. （368）其中l 是detren-ding多项式函数（116）的阶数，函数γ（λ）是γ（λ）=（λ- l, 对于λ>l - 0.5-0.5，对于λ6l - 0.5. （369）它遵循交叉比例大约为×≈haPNγ（λ）i1/[H-α(λ)]. （370）显然，缩放区域强烈依赖于l, 与aP、N和λ相同。5.3.5. 加性噪声当u（t）是具有赫斯特指数Hu的分数高斯噪声时，衰减函数为fu（s）=asHu。（371）结合式（349），我们得到×≈ab！1/（小时）-Hu）。（372）在不丧失一般性的情况下，我们假设H>Hu。因此，当s<s×，Fu（s）dom发生变化。为了正确识别X（t）的内在相关特性，应将标度范围选择在s×。对X（t）为单分形或多重分形时间序列的情况进行的数值研究表明，正确识别交叉尺度和尺度范围的重要性【629，630】。当ais足够小时，u（t）对X（t）的标度行为没有影响。考虑H- Hu=0.3。

如果无ise u（t）的幅度增加10倍，交叉点s×将减少2000倍左右！这意味着交叉尺度不容易观察[629，630]。5.3.6. tren dsMany高频金融时间序列的预处理时间序列具有日周期，称为日内模式，出现在收益率【631–633】、交易量【46464634–636】、波动率【631、637、638】、买卖价差【639–642】、交易期间【454、455、643–645】等方面。因此，可以通过提供日内模式或周期对原始时间序列进行预处理，然后对周期调整后的时间序列进行分形分析。经济物理学中广泛使用的预处理方法是去除日内模式（或更一般的季节模式）。假设{Y（i）：i=1，2，····，NDK}是在NDtrading days上均匀采样的高频时间序列，其中K是每天的点数。日内模式通过对不同交易日内每个时刻的值进行平均来确定：Y（k）=NDNDXn=1Y（（n- 1） K+K），（373），其中K=1，2，···，K。通过从原始数据中删除日内模式重新获得调整后的数据【638】：X（（n- 1） K+K）=Y（（n- 1） K+K）/Y（K），（374），其中n=1，2，···，ND。对于bid-a sk价差【641】、交易持续时间【454】和交易量【464】，原始时间序列和调整时间序列的标度结果之间没有太大差异。如果某些Y（k）非常小，我们可以采用以下程序：X（（n- 1） K+K）=Y（（n- 1） K+K）-Y（k）（375）对于n和k的所有值。Hu等人建议对原始时间序列采用自适应去趋势，然后对去趋势的时间序列执行MF-DFA【646】。适应性趋势确定如下。

原始时间序列被划分为长度为2n+1的段，其中任意两个连续段重叠n+1个点，最后一段的长度可能小于2n+1。对于每段Sv，我们拟合一个阶多项式l, 用j=1，2，···，2n+1表示yv（j）。重叠区域的自适应趋势可确定为asy（a）v（j）=1-j- 1n！yv（n+j）+j- 1nyv+1（j）。（376）对于j=1，2，····，n+1。整体适应趋势是y（a）（j）=y（j），j=1，2，···，ny（a）（nv+j）=y（a）v（j），v=1，2，···，v和j=1，2，···，ny（a）（nv+j）=yV+1（j），j=1，2，···，N- nV（377），其中V=int[不适用]。进一步多重分形分析的结果时间序列为Y（i）=Y（i）- y（a）（i），i=1，2，····，N.（378）自适应tr端没有任何跳跃或间断。然而，这种预处理并不能消除MF-D FA中趋势函数y（t）的跳跃。我们强调n与盒子大小s无关，并且l 与l inEq无关。(116). 参数n和l 建议通过要求detre ndeddata y（i）的方差在以下情况下缓慢衰减来确定l 进一步增加和/或2n+1进一步减少[646]。Ferreira等人使用适应性多重分形方法（A-MF-DFA和A-MF-X-DFA）研究了1995年1月至2014年2月20日48个股票市场的每日指数时间序列[647]。