金融市场的多重分形分析

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2.1线性和非线性相关关系的影响（Shuf fle）。917.2.2非线性相关性的影响（替代项）。927.2.3广泛分配的影响。947.2.4极值的影响。957.3具有明显多重性的成分。967.4统计检验。987.4.1基于参数化多重分形模型的测试。987.4.2基于f（α）的试验。987.4.3基于τ（q）的试验。998应用1008.1多重分形强度的度量。1008.1.1基于多重分形谱的测量。1008.1.2基于广义赫斯特指数的度量。1008.1.3间歇性。1018.1.4不同措施之间的关系。1028.2衡量市场效率。1028.2.1基于分形测度的市场效率指数。1028.2.2市场效率排名。

. . . . . . 1038.2.3不同时期的效率变化。1048.2.4时变效率。1058.3多重分形波动率。1058.3.1多重分形波动率的定义。10 58.3.2波动性预测。1068.3.3价值风险预测。1078.4复杂网络。1088.4.1多尺度互相关系数。1088.4.2多尺度DCCA网络。1098.4.3基于多重分形的网络。1108.4.4网络变量的时间序列。1118.4.5特征投资组合。1118.4.6相关矩阵结构和多重性。11 18.5其他应用。1118.5.1基于代理的模型校准。1118.5.2异常值检测。1128.5.3交易策略。

1129透视112确认113参考1131。引言1.1。经济物理学家的历史很短，长期以来，无论是在实践上还是在学术上，他们都对金融市场感兴趣。在投资方面，据报道，历史上最伟大的科学家之一艾萨克·牛顿爵士于17世纪20年代投资了南海公司股票，并因臭名昭著的南海泡沫破裂而损失了20000英镑（约合300万美元）。他的思辨努力促成了一句名言：“我能理解天体的运动，但不能理解人类的疯狂。”1991年，Doyne Farmer与Norman Packard和James McGill共同成立了PredictionCompany，以设计自动统计套利策略。预测公司非常成功，于2006年被出售给瑞银，然后于2013年重新出售给千禧管理公司。1994年，Jean-Philippe Boucha ud和Didier Sornette共同成立了一家名为Science&Finance的研究公司，该公司于2000年与资本基金管理公司合并。与此同时，索内特离开了科学与金融，布沙德成为了资本基金管理的主席和首席科学家。许多其他物理学家与华尔街有着密切关系的例子，艾曼纽尔·德曼就是一个榜样。从智力上讲，物理学和金融之间存在着深刻的关系（以及本质上的差异），这激发了物理学家和经济学家的基因定量。一般来说，物理学家将金融市场视为一个复杂的系统，因此他们进行了大量的科学研究。

19世纪30年代，Ettore Majorana撰写了一篇题为“物理学和社会科学中统计定律的价值”的论文，该论文由GiovanniGentile Jr于1942年失踪后发表[4]，其英文译本b y Mantegna于2005年发表在《定量金融杂志》上[5]。20世纪60年代，Benoit B.Mandelbrot开创了一种经验主义方法，后来被视为经济学sics的先驱，在一系列开创性的工作中，收入分配【6-10】、投机资产的价格变化分布【11，12】以及使用重标度范围（R/S）分析的金融和经济时间序列中的长期相关性【13，14】。当前的经济物理学有多个起源于20世纪90年代的种子。我们可以确定过去二十年经济物理学领域最活跃的四个主要研究方向。根据曼德尔布罗特的想法，第一批研究集中于财务回报的分布以及概念框架。1991年，Rosario M antegna研究了米兰斯托克交易所指数的列维行走式超扩散行为[15]，并与Gene Stanley研究了1995年标准普尔500指数的标度行为[16，17]。1996年，Ghashghaie等人研究了不同时间尺度上不断演变的汇率分布以及美元-德国马克汇率结构函数的多重分形行为[18]。1998年，Laherr\'ere和Sornette propo Sedpo拉伸了自然和经济中时间序列的经验分布，作为常用幂律分布的补充【19】，而Gopikrishnan等人观察到了逆三次定律【20–22】。

我们注意到，与幂律相比，拉伸指数[23–25]和对数正态分布[26]是收益分布的竞争变量，它们具有难以区分的尾部特性。第二流致力于金融市场的宏观建模。1994年，Bouchaud和Sornette利用功能集成和导数方法，对一大类随机过程的Black-Scholes期权定价问题进行了归纳[27]。1996年，Sornette等人提出了对数周期幂律信号（LPPLS）模型，以研究建模为关键事件的金融崩溃[28]，。Sornette和Jo hansen【29，30】、Feigenbaum和Freund【31，32】、Vandewalle等人【33，34】、Dro˙zd˙z等人【35】、Sornette和Zhou【36–39】以及许多其他人很快进一步利用了这种方法。金融泡沫的识别和市场转折点的预测在不同的市场中取得了成功【40–42】。第三条流与竞争电子物理学有关。1992年，Takay asu等人【43】开发了经济物理学中基于时间的模型，目的是通过结合主体的异质特征和扩展网络的作用，提供动态随机一般均衡（DSGE）模型的替代模型。1994年，Palmer等人设计了一个由具有有限理性的自适应代理组成的人工股票市场模型[44]。1996年，Bak等人提出了一种基于扩散和湮灭的多智能体模型[45]。1997年，Challet和Zhang推出了少数派比赛[46]。1999年，Lux和Marchesi提出了一个基于代理的模型，其中包含了异源论者和基础论者[47]。

一般来说，金融市场价格形成过程有三个基本要素，包括或多或少影响所有市场参与者的全球新闻、交易者之间的相互模仿以及交易者的特殊偏好【48，49】。交易员在解释全球新闻的预测力时的过度自信，错误地将新闻预测收益的成功归因于交易员自身的选股能力，并导致积极的反馈和羊群行为，在产生主要的程式化事实[2、48、49]方面起着至关重要的作用，如收益的厚尾分布、收益中没有线性相关性，长期记忆波动性和金融时间序列的多重性。最近，应用于金融的新兴网络理论领域的使用涉及到四个调查流。1999年，Mantegna stu从最小生成树的角度研究了美国股票市场的层次结构[50]。L aloux et al.和Plerou et al.将随机矩阵理论应用于股票收益相关矩阵，以识别隐藏在特征值及其对应特征向量中的信息内容【51–53】。1.2. 程式化事实金融市场是一个复杂的自适应系统，其中普遍和非普遍的统计规律在宏观层面上通过自组织方式对外部刺激的反应，从异质交易者的微观行为中产生【40、41、54–59】。这些规律可以从金融股票市场价格时间序列的丰富数据集中探索。如图1所示，le ft pannel显示了两个股票市场指数的每日价格轨迹I（t），即1896年5月26日至2017年12月2日的道琼斯工业平均指数（DJIA）和1990年12月19日至2017年12月29日的上海证券交易所综合指数（SSEC）。

这两个股票市场代表着备受关注的发达市场和新兴市场。I（t）在时间间隔上的对数返回t由R定义t（t）=ln I（t）- ln I（t- t） 。（1） 图1的中间面板显示了每日返回时间序列r（t），其中t=1天，右侧面板显示了相应的波动率时间序列。这里，给定一天的波动率定义为该天日内回报的平方和的平方根，其中日内时间尺度需要足够短（比如1分钟），以提供波动率估计器的良好收敛性。在与波动率聚类相关的返回时间序列中可以观察到明显的突发行为。在不同的金融市场中报告了许多统计规律或程式化事实【60–63】。我们首先回顾了三个主要的程式化事实，它们是社会市场的一般公共财产。第一个典型的事实是财务回报的尾部分布。资产价格波动的分布形式在资产定价和风险管理中起着至关重要的作用【25、54、55】。早期的经验和理论著作认为资产价格遵循几何布朗运动[64，65]，这是Black-Scholes期权定价模型的主要假设[66]。20世纪60年代，Mandelbrot提出收入和投机价格回报遵循帕累托-列维分布，该分布具有幂律尾~ |r|-γ-1，（2）其指数1<γ<2声称处于稳定L'evy定律吸引的主要位置[6，7，9-11]。

回想一下，atL'evy定律推广了高斯分布，并且它们的族穷尽了卷积下稳定的所有可能分布，随机变量之间没有或只有弱依赖性。1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 20201.52.53.54.51890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050.050.11890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 20200.050.10.150.20.250.31990 1995 2000 2005 2010 2015 20202.53.51990 1995 2000 2005 2010 2015 2020-0.20.20.40.60.81990 1995 2000 2005 2010 2015 20200.10.20.30.40.50.60.70.8图1：两个股市指数的日收盘价（左）、日收益率（中）和日波动率（右）的时间序列。上图为道琼斯工业平均指数，下图为上海证券交易所综合指数。金融回报可能根据列维定律而非高斯分布的可能性，立即吸引了著名金融经济学家的兴趣，如Fama【67】、Fama and Roll【68】、Samuelson【69】、Sargent【70】等。但是，也有人立即抵制放弃正常情况下存在的统计理论，这对于列维定律的其他成员来说是不存在的，库特纳（Cootner）[71]，格兰杰（Granger）和奥尔（Orr）[7 2]等反对强有力的论点。更深入的研究得出的结论是Mandelbrot的错误，即虽然收益率分布是厚尾分布，但它们并不像Levylaws所描述的那么重：越来越多的统计测试带来了越来越多不可避免的证据，证明收益率的方差不是有限的（因此指数γ大于2），因此，不可补救地排除了尾指数小于2的L’evy定律的重尾机制【73–76】。

毕竟，基于方差和协方差的工具仍然可以使用。这导致了人们对厚尾分布兴趣的停滞，这被20世纪90年代初经济物理学家的重新发现所打断[15-17]。最近的实证研究越多，数据越接近γ≈ 3（或更谨慎地认为2<γ<4）[20-22]。对不同时间尺度下的财务回报进行了进一步的实证研究t和报告称，分布从指数分布到拉伸指数分布再到幂律分布【19，77–94】。这些观察结果与以下事实相一致：γ>2的小尺度收益率分布的厚尾性质意味着大尺度的吸引域是高斯分布。因此，我们应该观察到，在所有时间尺度上，从一个类似幂律的区域逐渐过渡到大尺度上的高斯区域【18】。请注意，拉伸指数分布是指数分布和幂律分布之间的一种方便的结合[19，95]。事实上，幂律分布族可以显示为渐近嵌套在拉伸指数族中，后者在拉伸指数消失的极限下收敛到前者【23–25】。这一看似深奥的性质在实际中非常有用，因为它为任何感兴趣的数据集提供了强大的Wilks检验来比较幂律和拉伸指数。如上图所示，图。2显示了theDJIA和SSEC指数日收益率的经验分布。

与高加索假设下预期的倒抛物线形状相比，存在明显的厚尾和异常值。另外两个主要的程式化事实是返回中没有长记忆，以及存在长记忆不相关，分别如图2的中间和右侧面板所示。从数量上来说，对收益率和波动率时间序列进行去趋势波动分析或去趋势移动平均分析可以获得相应的赫斯特指数。1.3. 基准计量经济模型在计量经济金融中，有几种科尔斯通模型，如自回归条件异方差（ARCH）模型[96]，广义自回归条件异方差（GARCH）模型[97]，-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2-20 5 10 15 20-0.20.20.40.60.80 5 10 15 200.20.40.60.8-0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8-20 5 10 15 20-0.20.20.40.80 5 10 200.20.60.8图2：三个主要风格化事实：收益率的厚尾分布（左）、收益率的无自相关（中）和波动率的长期相关性（右）。上面板用于道琼斯工业平均指数，下面板用于苏格兰和南方能源公司指数GARCH（EGARCH）模型【98】、综合GARCH（IGARCH）模型【99】、分数积分广义自回归条件异方差（FIGARCH）模型【100】和自回归分数积分滑动平均（ARFIMA）模型【101、102】。p阶自回归模型AR（p）定义为r（t）=a+pXk=1akr（t- k） +t，（3）其中a，···，a是模型的参数，ais是常数，而t是白噪声。为了使用ARCH p过程对金融时间序列进行建模[96]，误差ter m被分为一个随机片段Zt和一个时间相关的标准偏差σTsch，即t=σtzt。（4） 随机变量ZT是一个强白噪声过程。