基于深度学习的伦敦银行同业拆借利率市场模型BSDE求解器及其应用

当通过一个行使日期时，该行使日期的行使信息可通过以下公式轻松用于更新值：u（t-, L（t-)) = 最大值（u（t+，L（t+），DiscIntrinsicV值（t））（3.22），其中t-表示紧接运动时间之前的时间，t+表示紧接运动时间之后的时间。DiscIntrinsicV value（t）表示期权在行权时的贴现内在价值，这取决于期权的类型。例如，破产管理人百慕大掉期期权在行使时间t的贴现内在价值为：DiscIntrinsicV value（t）=N-1Xi=q（t）（K- Li（t））τi/q（t）-1Yj=0（1+Lj（t）τj）（3.23）其中K是基础掉期的固定利率，q（t）是在行权时间t未重置的利率指数，N是liborrate总数，τ是应计时间。在此，我们假设固定期限和浮动期限的应计时间相同，行权时间t是伦敦银行同业拆借利率重置日期的一部分。更详细地说，假设百慕大掉期期权在tk上有行使日期，tkp（对于百慕大掉期期权，所有行权日期都是伦敦银行同业拆借利率重置日期的一部分），其中最后行权日期tkp=TN-百慕大掉期期权在行权日所需的唯一调整是将公式（3.19）替换为以下反向预测评估：^u（ti，L（ti））=^u（ti+1，L（ti+1））- (^uσ）（ti，L（ti）|θi）（W（ti+1）- W（ti））i/∈ {k1，，…，kp-1，kp}max{u（ti+1，L（ti+1））- (^uσ）（ti，L（ti）|θi）（W（ti+1）- W（ti）），DiscIntrinsicV value（t）}i∈ {k1，，…，kp-1} （3.24）此处，练习日期将时间范围划分为多个时间间隔（t0，tk），（tk，tk）。（tkp-1，tkp）和每个时间间隔内的迭代公式与欧洲掉期期权情况相同，但在行使日期tk。

，TkP其中向后更新现在是（1）具有向后携带信息的价格函数的一阶近似值和（2）当前行使值的最大值。在任何两个连续的锻炼日期之间，例如在（tki）内-1，tki），^u是特定子区间持有价值的近似值，即第3.3小节中的^Hias。公式3.10保证了该近似值的有效性，该公式是对持有价值进行定价的反向迭代。与文献[1、6、7]中的backwardsimulation方法类似，反向BSDE解算器实际上是stillforward模拟Libor利率的动态。然而，基于模拟的潜在伦敦银行同业拆借利率动态的贝尔曼动态规划的应用——后期持有价值的可靠近似值（tki，tki+1）有助于确定该时期的持有价值（tki-1，tki），因此，以向后的方式近似保持所有模拟路径的值是可行的。与传统的蒙特卡罗定价法不同，传统蒙特卡罗定价法可能依赖于成倍增长的路径数来评估预期的未来值，我们的神经网络BSDE解算器需要使用数量非常有限的样本路径，因为它使用参数形式的梯度近似，从而在所有样本场景中高效地使用信息。

与文献[1,6,7]中的经典方法相比，神经网络方法采用了一种可训练且更复杂的函数逼近形式，从而大大提高了精度。反向解算器对百慕大掉期期权定价的能力使基于DNN的BSDE解算器在各种不同百慕大风格的利率期权中具有潜在的应用，例如百慕大掉期期权、可赎回CMSspread期权、可赎回债券和可赎回范围应计项目等。在下一节中，我们将测试不同交易设置下远期和远期解算器对利率期权定价的稳健性，包括解算器的收敛性、稳定性和准确性。4数值结果在本节中，我们展示了使用深度神经网络BSDE解算器对各种利率选项进行定价的数值示例。第一个示例是使用正向解算器对同终端欧洲掉期期权进行定价。第二个示例假设分别使用正向和反向解算器为欧洲掉期期权定价的浮动收益率曲线。两个解决方案之间的定价差异非常小。第三个示例使用实际市场收益率曲线，而不是浮动收益率曲线。定价结果再次表明，两个BSDE解算器之间的差异是非实质性的。第四个示例是使用反向求解器对短期到期的百慕大掉期期权定价。最后一个例子是使用反向求解器进行的百慕大远期掉期期权定价。每个数字示例都是使用TensorFlow通过Python编程执行的。4.1共同终端欧洲掉期期权定价使用远期解算器首先，我们使用远期解算器对欧洲掉期期权进行定价。

在spot measure下，我们可以通过组合等式来构建BSDE解算器。（2.6、3.6、3.7和3.9）。交换选项、市场输入和LMM设置如下所示：o我们用于测试的交换选项是ATM共终端交换选项，概念上等于1，终端时间T=5.0722 Y r。下表列出了到期时间：跨一系列任务进行数据流编程的开源库。T TTTTTTTTTT到期日0.0000 0.5028 1.0139 1.5167 2.0278 2.5333 3.0472 3.5528 4.0583 4.5639表2：共同终端掉期期权的到期日o为了对这些掉期期权进行定价，有九个动态过程inLMM对应于伦敦银行同业拆借利率Li（T），i=1，··，9。这些过程由九个布朗运动驱动，模型由九个因素组成。由于第一个伦敦银行同业拆借利率L（t）已在t=0时重置，因此有一个怀旧过程驱动该利率每个伦敦银行同业拆借利率Li（t）的波动性期限结构是一个驼峰形函数：ξi（t，L（t））=kσi（t，L（t））k=Li（t）（（a（Ti- t） +d）经验(-b（Ti- t） ）+c）。下表列出了波动率参数值：参数a b c D值0.291 1.483 0.116 0.00001表3：波动率参数值o伦敦银行同业拆借利率Li（t），i=1，··，9的相关结构由函数定义：ρij=exp(-β| i- j |），其中β设置为0.5。o收益率曲线是连续复利率为4.00%的浮动零曲线，根据该曲线计算初始伦敦银行同业拆借利率，如下表所示：伦敦银行同业拆借利率LLLLLLLLLL值4.0405%4.0412%4.0405%4.0412%4.0407%4.0414%4.0407%4.0407%4.0407%4.0409%4表4：初始伦敦银行同业拆借利率。我们使用预测-校正方法对方程（2.6）进行离散化，时间步长为一个月。图4.1显示了收益率曲线的一些投影形状。

从图中，我们可以观察到，这种9因素LMM可以生成丰富的收益率曲线形状：反转、弯曲和向上。图4.1：1年预测收益率曲线深层神经网络设置为：每个子神经网络近似梯度u由4个层组成（1个输入层[d维]、2个隐藏层[均为d+10维]、1个输出层[d维]）。在这种情况下，d=10。该子神经网络的输入为伦敦银行同业拆借利率Li（t），i=0，···，9，其输出为期权价格相对于输入的梯度。在测试中，我们运行了10000次优化迭代，并使用4096个蒙特卡罗样本进行优化。我们将结果和Quantlib的结果进行比较，以进行某种基准测试。QuantLib中使用的方法是传统的蒙特卡罗模拟，有50000个场景。在测试中，我们将Swoption的概念设为1。结果非常接近，它们的相对差异在0.5%以内。详情列于表5至表7中。到期日\\t期限1.0139 2.0250 3.0444 3.5556 4.0583 4.56940.5028 0.0040501.0139 0.0053121.5167 0.0058792.0278 0.0060343.0472 0.0053944.0583 0.003554表5:QuantLibExpiry的ATM co终端交换选项的NPV \\t期限1.0139 2.0250 3.0444 3.5556 4.0583 4.56940.5028 0.0040681.0139 0.0053281.5167 0.0053281 58832.0278 0.0060243.0472 0.0053854.0583 0.003566表6:ATM co终端交换选项的NPV远期解算器收益率1.0139 2.0250 3.0444 3.5556 4.0583 4.56940.5028 0.44%1.0139 0.31%1.5167 0.06%2.0278-0.16%3.0472-0.17%4.0583 0.35%表7：基于DNN的远期解算器的ATM共终端掉期期权NPV与远期解算器的其他收益之间的差异在于，第一个订单敏感性增量可以是估值过程的直接输出，这节省了大量的计算时间。

而在传统的蒙特卡洛模拟中，增量是通过冲击和重估方法计算的，表8显示了互换期权的比较（到期日：1.5167年，期限：3.5556年）。从表中，我们得出的结论非常接近：对于伦敦银行同业拆借利率L、L和L，它们主要用于贴现现金流，对购买价格的敞口非常小。因此，Deltas w.r.t这些比率非常小，其相对差异相对较大。伦敦银行同业拆借利率LLLLLLLL QuantLib-0.0029-0.0029-0.0029-0.2234-0.2131-0.2144-0.2096-0.2084-0.2075-0.2074正向解算器0.0007-0.0028-0.0018-0.2249-0.2127-0.2149-0.2099-0.2095-0.2083-0.2077相对差值-125.14%-2.97%-37.31%0.67%-0.19%0.25%0.12%0.51%0.39%0.15%，我们发现，基于深度神经网络的BSDE解算器对于LMM下的衍生定价是有效的。最大的好处之一是它可以直接产生一阶灵敏度。4.2前向解算器和后向解算器的比较在欧洲交换选项原则中，我们使用基于DNN的前向解算器和后向解算器来定价欧洲交换选项，然后从准确性和收敛性的角度比较它们的性能。

Libor市场模型设置、市场信息、BSDE和神经网络设置与第4.1节相同。我们用于测试的欧洲掉期期权是ATM，到期时间T=1.0139Y，基础掉期的终端时间T=5.0722Y r，其名义值为1。表9和表10给出了计算u（t）的平均值、u（t）的标准偏差、损失函数l（θ）的平均值、损失函数l（θ）的标准偏差以及根据优化迭代次数m计算一次实现u（t，l（t））所需的运行时间（以秒为单位）∈ {2000、4000、6000}基于5次独立运行和4096个Monte Carlosamples（每月时间步长）。从表中，我们得出以下结论：o两个解算器得出的近似欧洲掉期期权价格收敛速度非常快，约为0.00532。对于正向解算器，价格收敛于4000次迭代，而反向解算器只需要2000次迭代测试在DGX-1服务器中的一个V100 GPU上运行，前进和后退解算器的速度相似。迭代步数mMean of u（0）STD of u（0）loss FunctionSTD of the loss FunctionRuntime inse。对于onerun0.0053304.39E-06 1.70E-05 4.31E-06 370.0053301.14E-06 1.67E-06 4.48E-07 740.0053291.53E-06 1.18E-06 2.90E-08 106表9：欧洲深BSDE前向解算器的数值模拟可选迭代步数uSTD的u平均值OSS FunctionRuntime insec。对于onerun0.0053183.31E-06 3.39E-06 1.13E-08 380.0053157.94E-06 3.31E-06 5.55E-09 730.0053227.17E-06 3.30E-06 1.01E-08 109表10：欧洲swaptionFigure 4.2至图4.5的深BSDE反向解算器的数值模拟显示了两个解算器的NPVS和Delta的收敛速度和精度。

从图中，我们得出结论：o两个解算器的精度非常接近，但后向解算器的收敛速度快于前向解算器；o反向解算器的损失函数高于正向解算器的损失函数，因为它们代表两个不同的目标。后向解算器的损失函数表示u（t，L（t））的方差，而前向解算器的损失函数表示预测终端支付和实际终端支付之间差异的平方平均值。很明显，BSDE解算器的性能密切依赖于为收敛而施加的损失函数。图4.2：损失函数前向和后向解算器的收敛速度比较图4.3：NPV前向和后向解算器的收敛速度比较图4.4：Delta w.r.t L前向和后向解算器的收敛速度比较图4.5：Delta w.r.t L4.3前向和后向解算器的收敛速度比较Solver和Backward Solverin共同终端欧洲掉期期权定价在本小节中，我们使用2017年1月3日的实际市场收益率曲线进行利率期权定价。曲线如下图所示：图4.6：2017年1月3日营业日的零伦敦银行同业拆借利率曲线。这是一条上行收益率曲线，用于计算初始伦敦银行同业拆借利率，如表11所示：伦敦银行同业拆借利率LLLLLLLLLL值1.1842%1.1843%1.9085%1.9087%1.9067%1.9035%2.3785%2.3826%2.3826%2.3827%表11：2017年1月3日的初始伦敦银行同业拆借利率。。除收益率曲线外，所有其他信息，如掉期期权数据、市场数据、LMM设置和神经网络设置，与第4.1节中包含的信息相同。

我们主要比较三个数值结果：o前向解算器的结果。o来自反向解算器的结果。oQuantLib的结果。数值结果包括ATM共同终端欧洲掉期期权的NPV和一个掉期期权（到期日：1.5167年，期限：3.5556年）的Delta直接输出。结果列于表12至表17。通过检查结果，我们得出以下结论：o所有NPV都非常接近，它们与QuantLib的相对差异都在0.5%以内。o除w.r.t.Libor利率L、L和L外，所有Detlas都非常接近，这些利率主要用于贴现现金流，对掉期期权价格的敞口非常小。因此，Deltas w.r.t.这三个Libor利率非常小，接近于0，尽管它们的相对差异更大使用QuantLib作为基础，正向解算器的精度略高于反向解算器。