因素分解原理在经济学中的运用举例

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　　因素分解原理在经济学中的运用举例
　　　　文/王羹渊（号更远大侠）
【happy：本来很少奖励一百币的，这次为了鼓励楼主，破格奖励！也希望大家积极为论坛做贡献，人人为我，我为人人！】
　　
一、因素分解（Factors Decompostion）的概念
　　设有一个二元函数Z＝F(X,Y)，基期自变量的值为（X0，Y0），报告期自变量的值为（X1，Y1），那么函数值的改变量为
　　F(X1,Y1)－F(X0,Y0)
　　这个函数值的改变可以分解为两个自变量的影响之和，或者说设Z是一个事物，影响这个事物的因素有多个，这里先分析两个因素X、Y，当事物改变之后，是由X与Y两个因素的改变引起的，那么现在我们的问题是考察每个因素变化对于事物Z的影响各是多少。这称作原因分解或因素分解问题。这种问题在经济学、管理学等人文社会科学与物理学等自然科学中非常常见。
　　为了对函数值变化或事物变化的原因或因素进行分解，引入两个中间辅助点F(X0,Y1)和F(X1,Y0），将函数值的变化分解如下：
　　分解路径1：F(X1,Y1)－F(X0,Y0)＝[F(X1,Y1)－F(X0,Y1)]+[F(X0,Y1)－F(X0,Y0)]
　　　　　　　　Z事物总变化　　＝X变化引起的Z的变化量＋Y变化引起的Z变化量
　　在[F(X1,Y1)－F(X0,Y1)]中表示X变化引起Z的变化时，Y保持不变，统计学称为同度量因素，这里干脆将同度量因素这个名称一般化为因素分解中的名称，即X变化引起Z变化的向量中，保持不变的Y称为同度量因素。
　　分解路径2：F(X1,Y1)－F(X0,Y0)＝[F(X1,Y1)－F(X1,Y0)]+[F(X1,Y0)－F(X0,Y0)]
　　　　　　　　Z事物总变化　　＝Y变化引起的Z的变化量＋X变化引起的Z变化量
　　这两种分解路径都是合理的。当然，读者们很容易将之推广为，一个有n个因素的事物的总体变化，在进行原因分解时，可以有n!种分解路径，这类似于n重积分可能有n!种累次积分次序，可微n元函数的n阶交叉偏导数有n!种求导顺序一样。
　　理解因素分解理论的关键在于，在分析一个因素对于事物的总体影响时，一定得保持其他因素不变(hold other things constant)，这即是我所谓的偏导数思维或偏变思维。偏变思维在逻辑学上求因果联系时，即是穆勒五法中的共变法。
　　　　图示如下：
　　
       　图1：两因素事物的原因分解示意图

　　　读者们可以使用向量分解来记忆，但是这却并非真正的向量分解。因为单从向量分解角度，可以分解为：
　　　向量F(X1,Y1)－F(X0,Y0)＝向量[F(X1,Y1)－F(X0,Y1)]+[F(X1,Y1)－F(X1,Y0)]
　　　但是显然这样分解是不能说明问题的。因此，这里的因素分解，必须沿上述两条路径进行，也即因素分解中的各个分量之间必须是一系列中间辅助点所分割的向量，它们之间具有内在联系。

　　当自变量变化量是无穷小量时，上面两种分解路径的差别无关紧要，或两种分解路径合二为一，这就是所谓的全微分，即：
　　路径1：F(X1,Y1)－F(X0,Y0)＝[F(X1,Y1)－F(X0,Y1)]+[F(X0,Y1)－F(X0,Y0)]（由Lagrange定理）
　　　　　　　　　　＝DF/DX (delta X) +DF/DY (delta Y)
       路径2：F(X1,Y1)－F(X0,Y0)＝[F(X1,Y1)－F(X1,Y0)]+[F(X1,Y0)－F(X0,Y0)]（由Lagrange定理）
　　　　　　　　　　＝DF/DX (delta Y) +DF/DY (delta X)　　
　　其中偏导数在（X0，Y0）处取值，这样一来，两种分解路径就变成一样的了。这就是全微分。或者说，全微分的证明或理解可以按照两种路径进行。
　　小结一下：二元函数函数值变化的因素分解，在自变量变化不是无穷小量时，有两种因素分解路径，n元函数函数值变化的因素分解有n!种分解路径；在自变量变化是无穷小量时，所有分解路径重合为一，即变成了全微分。
二、因素分解理论在统计学和宏观经济学中的运用
　　统计学统计指数一章，所基于的理论基础，基本上就是上面的因素分解理论。
　　比如这里为简单计，就设一个企业销售多种产品，那么其销售收入由销售价格与销售量两种因素决定，其绝对量分解式可图示如下：　
　　


　　　图2　销售收入或GDP的绝对量因素分解示意图


其相对量分解式可图示如下：

　　　
        
　　　　　　　　图3：销售收入或GDP的相对量因素分解示意图

　　上面的例子也可以视为GDP的分解。即将厂商的销售收入看成是一个国家的GDP，第0期的销售收入类似于基期的GDP，报告期的销售收入类似于报告期的GDP。其中因素分解辅助点sum(p0q1)在宏观经济学上一般称为所谓实际GDP。
　　按照统计学上的概念，物价指数与数量指数都有两种，其中同度量因素选在基期的称为Laspeyre指数（拉氏指数），同度量因素固定在报告期称为Paasche指数（帕氏指数）。
　　当然，宏观经济学中通常是选择图2与图3种第二条分解路径。我在讲述宏观经济学GDP及物价指数一节时，就全面介绍因素分解原理与统计指数分解原理。因为一个简单的因素分解原理，一个小时之类绝对讲得清清楚楚，何必要等到统计学上来讲。
三、因素分解理论在微观经济学中的运用
　　为了简单计，这里主要分析一下因素分解理论在价格效应分解中的运用。由于价格效用分解为替代效应与收入效应的理论在福利经济学中有重要运用，因此它是微观经济学中最重要的因素分解。先说明一下价格效应分解为替代效应与收入效应的四种分解方式（详见《价格效应的四种分解及其福利度量》本文来自: 人大经济论坛 微观经济学上传下载区 版，详细出处参考：https://bbs.pinggu.org/viewthread.php?tid=204834&page=1&from^^uid=187681），即首先按照实际收入的定义，如果实际收入定义为效用水平，则称为Hicks分解，如果实际收入定义为购买的商品实物组合，则称为Slutsky分解。而根据前面所讲，任何二因素因素分解，根据其中间辅助点的不同，必然可以分为两种分解方式。希克斯分解见图4，斯卢茨基分解见图5。
　　
　

　　　图4　价格效应的希克斯分解

　
　　　
　　　图5　价格效应的斯卢茨基分解　　

　　
　　我这里想顺便指出的是，一般的微观经济学教材上，都为了省事，将X价格变化（Y价格与货币支出m保持不变）的价格效应的分解，只是看成X的数量变化的分解，而不是把它看成是向量（X，Y）变化的分解。但是我们则完整地将价格效应看成是一个商品空间的向量。其向量分解示意图如图4与图5。
　　图4与图5的因素分解看起来与图1不同，但实际上是相同的。只不过展示的坐标系不同。如果我们将价格变化引起的收入效应与相对价格效应画在｛相对价格－实际收入｝的坐标系中，那么其分解图示就与图1完全一样了。见下面图6：
　　　

　　　　图6　价格效应的两个因素：相对价格变化与实际收入变化

　　　在福利经济学中，图4与图5中的四种分解方式对应了福利变化测度的四种方式。第五种福利度量方式是消费者剩余。这五种福利度量指标的详细内容请参考黄有光的《福利经济学》。
　　
四、结论
　　因素分解理论是科学研究的基本理论，共变法是求因果联系的基本方法之一（穆勒五法之一）。影响一个事物通常有多个因素，分析其中一个因素对于事物总体的影响时，必须要保持其它因素不变，这即是求因果联系的基本方法，也是比较研究一个因素的两种取值对于事物的影响的基本方法。而多种因素同时变化时，则需要通过因素分解将函数值或事物总体变化分解为不同因素引起的变化的和。但是n种因素变化的因素分解路径有n!条路径。
　　笔者在人大论坛上发表本文的目的，是鼓励读者们把各门学科的知识融会贯通起来，其中特别强调数学思维的运用。很多东西，看起来与数学没有关系，但是使用数学方式表达起来却非常方便。

　　

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关键词：经济学 Lagrange constant Laspeyre factors 经济学 原理 因素 分解 举例

嗯，学习了！有点道理！

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　　多谢版主鼓励了。这只是一些教学体会，虽然谈不上学术创新，但是有助于经济学学生深刻理解因素分解的原理。

设有一个二元函数Z＝FX,Y)，

这叫二元函数？在我的记忆中好象应该叫三元吧？Y=F（X）形态的叫二元吧？

hhgxyzp 发表于 2011-5-31 04:11
设有一个二元函数Z＝FX,Y)，

这叫二元函数？在我的记忆中好象应该叫三元吧？Y=F（X）形态的叫二元吧？

  多谢指出错误。写错了，二元函数应该写成Z＝F（X，Y）。Y＝F（X）叫一元函数。

witswang 发表于 2011-5-31 09:22

hhgxyzp 发表于 2011-5-31 04:11
设有一个二元函数Z＝FX,Y)，

这叫二元函数？在我的记忆中好象应该叫三元吧？Y=F（X）形态的叫二元吧？

  多谢指出错误。写错了，二元函数应该写成Z＝F（X，Y）。Y＝F（X）叫一元函数。

你对我错！混了！！

　　常识总结

　　逻辑学中求因果联系的方法有五种，称为穆勒五法，即求同法、求异法、求同求异法、共变法、剩余法。其中差异法与共变法与偏导数思想完全一样。