一个简单失业保险模型的最优停止与效用

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英文标题：
《Optimal Stopping and Utility in a Simple Model of Unemployment Insurance》
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作者：
Jason S. Anquandah and Leonid V. Bogachev
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Managing unemployment is one of the key issues in social policies. Unemployment insurance schemes are designed to cushion the financial and morale blow of loss of job but also to encourage the unemployed to seek new jobs more pro-actively due to the continuous reduction of benefit payments. In the present paper, a simple model of unemployment insurance is proposed with a focus on optimality of the individual\'s entry to the scheme. The corresponding optimal stopping problem is solved, and its similarity and differences with the perpetual American call option are discussed. Beyond a purely financial point of view, we argue that in the actuarial context the optimal decisions should take into account other possible preferences through a suitable utility function. Some examples in this direction are worked out.
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中文摘要：
失业管理是社会政策的关键问题之一。失业保险计划旨在缓解失业对经济和士气的打击，但也鼓励失业者由于福利金的不断减少而更积极地寻找新工作。本文提出了一个简单的失业保险模型，重点研究了个人参与计划的最优性。解决了相应的最优停止问题，并讨论了其与永久美式看涨期权的异同。除了纯粹的财务观点外，我们认为，在精算背景下，最优决策应通过适当的效用函数考虑其他可能的偏好。文中给出了这方面的一些例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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PDF下载：
--> Optimal_Stopping_and_Utility_in_a_Simple_Model_of_Unemployment_Insurance.pdf (2.47 MB)

2022-6-14 04:18:15 上传

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关键词：失业保险 unemployment Mathematical Quantitative Applications

失业保险简单模型中的最优停止与效用Jason S.Anquandah*Leonid V.Bogachev+英国利兹大学数学学院统计系，利兹LS2 9JT摘要失业管理是社会政策中的关键问题之一。失业保险计划旨在缓冲失业对经济和士气的打击，同时也鼓励失业者由于福利金的不断减少而更积极地寻找新工作。本文提出了一个简单的失业保险模型，重点讨论了个人进入该计划的最优性。解决了相应的最优停止问题，并讨论了其与永久美式看涨期权的异同。除了纯粹的财务观点外，我们认为，在精算背景下，最优决策应通过适当的效用函数考虑其他可能的偏好。文中给出了这方面的一些例子。关键词：保险；失业最优停车；几何布朗运动；鞅；自由边界问题；美式看涨期权；公用事业MSC 2010：初级97M 30；次级60G40、91B16、91B301。引言评估金融行业的风险通常旨在找到决策中的最佳选择。在保险行业，最优考虑主要对保险人来说至关重要，他们必须解决许多问题（例如，如何为保单定价，使其不致于亏损，同时保持产品的竞争力）和时间问题（例如，何时将产品投放市场）。

研究较少但也很重要的是代表被保险人的最佳决策，涉及货币问题（例如，如何购买保险单和正确的财富投资比例）、消费决策（例如，是否最大化或优化自己的消费）或与时间相关的决策（例如，何时最好加入或退出保险计划）。在本文中，我们关注与失业保险（unemploymentinsurance，UI）相关的特定类型的产品，通过这种产品，就业人员可以获得投资性失业风险的保障（例如，由于冗余）。各种UI系统旨在帮助缓解失业带来的财务（以及士气）打击，并鼓励失业人员在福利持续下降的情况下尽早找到新工作*通信作者。电子邮件：mmjsa@leeds.ac.uk+电子邮件：L.V。Bogachev@leeds.ac.ukprotection通常在被保险人失业后直至找到新工作之前，以定期财务福利（通常免税）的形式提供，但通常仅在最长期限内达到一定的金额，并且付款时间会相应减少。许多国家都有UI计划【19，25】，通常由政府运营和资助，由雇主和工人出资，也由私人保险公司出资【15】。例如，20世纪90年代在法国和比利时管理的政府用户界面系统按照一定的时间表提供了随着时间而减少的效益；福利金额由工人的年龄、最终工资/薪金、就业资格年数、家庭情况等决定。在这项工作中，我们介绍并分析了一个简单的UI模型，重点关注个人加入计划的最佳时间。在正式设定模型之前，让我们概括描述一下情况。

考虑一个目前正在工作但担心可能失业的个人，由于就业市场的流动性和就业部门的需求水平，这可能是一个真正的潜在威胁。为了缓解这一风险，雇主或社会服务机构有一个失业保险计划，可以为此人提供失业保险（可能在工作的某个合格期之后），支付一次入职保险费将保证被保险人获得与最终工资成比例的特定福利支付，并由特定的递减福利计划确定，直到找到新作业（见图1）。0时间t付款率0τττ+τXtFig。1： 失业保险计划的时间表。水平轴显示（连续）时间；纵轴表示付款率（即单位时间的应收收入）。原点t=0表示开始就业。随机路径X的两部分描述了个人在就业期间的工资动态。个人在进入时间τ加入UI方案（通过支付溢价P）。当当前工作结束（时间τ>τ）时，根据预定计划（例如，见示例2.1）支付与最终工资Xτ成比例的福利，直到在失业持续时间τ后找到新工作为止。个人面临的决定是何时（而不是是否）加入该计划。在考虑做出这样的决定时，考虑了哪些因素？一方面，考虑到货币流动超时，推迟进场可能是一个好主意-由于进场溢价是固定的，其实际价值随着时间的推移而减少。此外，可以合理预计，工资可能会随着时间推移而变化（例如，由于通货膨胀，但也作为技能和经验提高的回报），这可能会增加未来的总收益（取决于最终工资）。

最后但并非最不重要的一点是，在支付入门级保险费成为财务可行之前，可能需要节省一些费用。另一方面，推迟加入保险计划的决定是有风险的，因为个人仍然没有受到失业的保护，这会对财务和士气产生影响。因此，有一个优化进入时间决策的空间-可能不太早，也不太迟。显然，此类决策应基于迄今为止可用的信息，其中当然包括通货膨胀率以及失业率和再就业率，所有这些原则上都应通过公布的统计数据提供。决策的另一个重要输入是个人的时间波动。我们更喜欢将其建模为rando mprocess，其v值可以上升也可以下降。这就是为什么我们不考虑工资（实际上工资是分段不变的，不太可能下降），而是讨论工资，工资更能响应供求关系，也会受到“实际工资”的调整（例如，通过消费者价格指数CPI）。此外，由于就业市场的流动性，在以工资为基础的就业中，失去b类工作的可能性更大。为了简单起见，我们使用一种称为计量布朗运动的扩散过程来模拟波动动力学。综上所述，我们模型的优化问题旨在通过选择最佳进入时间τ来最大化UI方案的预期净现值*. 我们将证明，使用成熟的最优停止理论可以准确地解决这个问题【35、36、39】。结果表明，a nswer是由合适阈值b的命中时间提供的*, 也就是说，第一次τb*当工资流程XT达到此水平时。

因为b的值*这将导致解决与微分过程（Xt）相关的微分算子（生成器）的自由边界问题。事实上，我们首先猜测上述解决方案的结构，并找到值b*, 然后验证这确实是最优停止问题的真实解。在保险文献中，人们对使用最优性考虑因素，包括最优停止问题非常感兴趣。从保险公司寻求最大化其预期回报的角度来看，最佳停止时间可以解释为如果情况不好，暂停当前交易的时间，以及重新计算保费的时间（例如，参见[22、24、32]和其中的进一步参考）。保险研究也从个人的角度着眼于最优化。与UI环境相关的一个重要方向是调查求职过程，尤其是从失业状态返回时[4，29，4 3]。此外，还开展了一项更为广泛的研究，探索如何优化和提高用户界面系统的效率（也包括减少ZF支出），利用诸如在失业期间减少福利等激励措施，以及制裁和工作福利（请参见[13、17、20、26、27]）。

一项相关的研究是在存在非自愿失业风险和借款约束的情况下研究最优退休策略[6、7、14、21、40]。据我们所知，UI环境中的最佳停止问题（如UI策略的最佳进入/退出）尚未得到足够的研究关注。这个问题很重要，因为知道最佳进入策略可能会增强技术便利性，我们选择使用连续s时间模型，但我们的想法也可以适应离散时间（这可能更自然一些，因为工资过程是由个人在每周的时间尺度上观察的）。个人加入UI计划的动机，从而通过UI政策确保更好的社会效益（见[37]中的分析和讨论）。了解被保险人的最佳入职时间，这会影响所申请福利的金额和期限，也将有助于保险公司（国家和私人）优化其财务实践（见[28]中的讨论）。因此，我们目前的工作试图通过解决加入UI方案的最佳时机问题来填补这一空白。有意思的是，我们的最优止损问题及其解决方案与金融数学中著名的美国看涨期权有很多共同点（但不完全相同），其中期权持有人有权在任何时候行使期权（即，以商定的价格购买特定股票），问题是确定最佳时间，旨在最大化预期财务收益。

然而，与基于纯粹财务目标的美国看涨期权设置不同，我们的UI模型中获得的最佳停止解决方案从个人角度来看并不完全令人满意，因为（最佳）等待时间τb*可能以正概率确定（至少对于某些参数值而言），即使以概率1确定，预期等待时间也可能很长。基于这一观察结果，我们认为应该在分析中加入某些效用元素，以量化个人的“不耐烦”，作为目标和满意度的衡量标准。我们建议在UI最佳停止框架中如何适应实用程序的一些简单想法。尽管这些例子很简单，但在大多数情况下，它们会导致更难的最优停止问题。我们并不试图全面地解决这些问题，我们致力于探索命中时间类别中的次优解决方案，尽管如此，这为将效用纳入最优停止环境的可能影响提供了有用的见解。沃恩·诺依曼（Von Neumann）和摩根斯特恩（Morgenstern）[33]在经典著作中大力提倡经济学中的效用的一般概念，其目的尤其是要克服市场主体严格理性行为的理想假设。这些理念很快被保险业所采用，可以追溯到Borch[3]，并很快成为保险业主流的一部分，最终形成了预期效用理论（见Kaas等人最近的一本书[23]），通常被用作保险产品定价的标准工具。特别是，在UI分析中使用实用程序的例子无处不在（例如，参见[1,2,13,17,19,20,26,27,28]）。此外，还提供了将最佳停止和效用相结合的功能【5、6、18、24、32、43】。

然而，所有这些例子都被限制为使用效用函数来重新计算财富，而据我们所知，其他重要目标和偏好，如购买保单的意愿或缩短等待时间，尚未得到考虑。布局论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们详细介绍了我们的保险模型，并建立了优化问题。在第3节中，通过将问题简化为合适的自由边界问题来解决最优停止问题，包括确定临界阈值b*. 第4节补充了这一点，使用了关于几何布朗运动命中时间分布的显式信息进行了元素推导。第5节讨论了各种统计问题，并提供了一个说明临界阈值b最优性的数字示例*. 在第6节中，我们对模型中的两个最重要的外部参数失业率和工资漂移进行了参数依赖性分析，并给出了经济学中个人主义（并非总是理性）认知的经济影响，金融市场是现代行为经济学的主题（参见，例如，最近的单图形[8]）。本协议的解释。在第7节中，我们将我们的问题及其解决方案与经典的美式看涨期权进行了有益的比较，从而得出了在最优停止条件下基于效用的考虑的必要性。最后，第8节对我们的结果进行了总结性讨论，包括对进一步工作的建议。符号我们使用标准符号a∧ b：=最小值{a，b}，a∨ b：=最大值{a，b}，anda+：=a∨ 0.2. 最优停止问题2.1。失业保险模型让我们更详细地描述一下我们的模型。

假设时间t≥ 0是连续的，从个人开始就业开始测量（以周为单位）。我们假设失业保险政策可以立即生效，但不失普遍性（尽管在实践中，通常需要一段合格的工作期才能生效）。设Xt>0表示个人工资（即每周工资、国内工资）作为时间t的函数≥ 0，这样X=X。我们处理X=（Xt，t≥ 0）作为在过滤概率空间上定义的随机过程(Ohm, F、 （Ft），P），其中Ohm 是可测量的样本空间（例如，由（Xt）的所有可能路径组成），过滤比n（Ft）是σ-代数Ft的递增序列 F、 P是可测空间上的概率测度(Ohm, F） 它确定模型中各种随机输入的分布，包括（Xt）。假设过程（Xt）与过滤（Ft）相适应，即Xtis Ft可测量每个t≥ 直观地说，FTI被解释为时间t之前可用的全部信息，而Xt对FTI的可测量性意味着该信息包括对过程Xt值的了解。此外，记住Xt是正值，我们使用一个简单的几何布朗运动模型，由随机微分方程dxtxt=udt+σdBt，X=X，（2.1）驱动，其中Bt是标准布朗运动（即，平均值为零，e（Bt）=0，方差var（Bt）=t，且具有连续样本路径），以及∈ R和σ>0分别是漂移率和波动率。众所周知，方程（2.1）具有显式解（参见，例如，[39，Ch.III，§3a，p.237]）Xt=x exp(u -σ） t+σBt（t≥ 0).