与目标波动率策略相关的期权的封闭式公式

：fN（0，t）（x）=√2πte-x2t，通过N（x）标准高斯随机变量的累积分布函数，我们得到在时间tequals∏（t，Φcall（Vbσ（t）））=Ehe时，投资组合价值上的看涨期权价格-r（T-t） （Vbσ（t）- K）+Fti=e-r（T-t） Z+∞zbσ（t）v扩展r-bσ（T- t） +bσx- KfN（0，T-t） （x）dx=e-r（T-t） v er-bσ（T-t） +bσ/2（t-t）1.- Nzbσ（t）- bσ（T- t）√T- t型- K e公司-r（T-t）1.- Nzbσ（t）√T- t型= v N型-zbσ（t）+bσ（t- t）√T- t型- K e公司-r（T-t） N个-zbσ（t）√T- t型.推论2.4假设风险资产动态遵循具有随机FW适应漂移和波动性的广义几何布朗运动，见方程式（1），带payoff（11）的putoption的价格表示为Φput，与VTS投资组合Vbσ（t）相关，见方程式（7），由以下显式公式∏（t，Φput（Vbσ（t））=K e给出-r（T-t） N个(-d（t））- v N型(-d（t）），（13），其中参数d、d和zeσ的定义如命题2.3所示。证据通过看跌期权平价公式，例如，参见[19，4.5.6]，我们得出，看涨期权的价格与具有相同执行价格、到期时间和基础的看跌期权价格之间的差异，等于基础的实际价格（在我们的设置中由VTportfolio表示）与贴现执行价格之间的差异，即∏（t，Φcall（Vbσ（t）））- π（t，Φput（Vbσ（t））=v- K e公司-r（T-t） ，因此，我们有（13），因为N(-x） =1- 每x N（x）∈ R3具有最大允许杠杆因子的Voltaget策略接下来，我们将从从业者的角度研究一个更有趣的策略。特别地，我们引入了一个参数L≥ 1确定投资组合的最大允许杠杆，即我们强制权重过程小于或等于参数L：eα（t）：=min{L；bσ/σ（t）}。

（14） 从现在起，我们将通过分别用帽子和颚化符标记波动性和权重符号，将标准VTS的符号与最大允许杠杆因子VTS（简称MLVTS）的符号区分开来。特别是，虽然bσ和bα指的是标准VTS投资组合，但eσ和eα指的是MLVTS投资组合。实施这一限制是为了禁止VTS通过贷款为大部分风险投资融资。真实场景中出现的典型设置为L=2，有关更多详细信息，请参见[2]。下一个命题给出了写在MLVTS投资组合上的欧洲看涨期权价值的分析表达式，杠杆率有限，波动率随时间变化。特别地，我们正在考虑方程（1）的一种特殊情况：dS（t）=S（t）u（t）dt+σ（t）dW（t）, （15） 式中u，σ：R+→ R+是时间的确定函数，相反，允许百分比漂移项是随机的，并适应FW。命题3.1假设风险资产动态遵循几何布朗运动，具有随时间变化的漂移和波动性，见方程（15），带payoff（10）的看涨期权的价格，表示为Φcall，与MLVTS投资组合Veσ（t）相关联，由以下显式公式∏（t，Φcall（Veσ（t））=v N给出ed（t）- K e公司-r（T-t） N个ed（t）（16） 其中，投资于风险资产的组合价值比例为eα（t）：=min{L；bσ/σ（t）}，N是标准正态分布的累积分布函数，v=Vbσ（t）是组合的起始值，我们定义了以下参数（t）=-ezbσ（t）+（t）p（t），ed（t）=-ezbσ（t）p（t），zeσ（t）=对数千伏- r（T- t） +（t），（t）=ZTteσ（s）ds，eσ（t）=min{Lσ（t），bσ}。证据

对于这种策略，我们知道投资组合价值没有恒定的波动性，它有以下表达式veσ（t，t）=v expr（t- t）- （t）/2+Zttmin（Lσ（s），bσ）dWQ（s）,我们有fw（t-t） ：=Rttmin（Lσ（s），bσ）dWQ（s）~ N（0，（t）），这意味着其概率密度函数为fn（0，（t））（x）=p2π（t）exp-x2（t）.因此，我们有Veσ（T）>K i fff fW（T- t） >日志千伏- r（T- t） +（t）=：zeσ（t），我们有没有考虑的期权值等于∏（t，Φcall（Veσ（t））=Ehe-r（T-t） （Veσ（t）- K）+Fti=e-r（T-t） Z+∞zeσnv expr（T- t）- （t）/2+x- KofN（0，（t））（x）dx=e-r（T-t） v er（t-t）-（t）/2+（t）/21- Nzeσ（t）- （t）p（t）！！- K e公司-r（T-t） 1个- Nzeσ（t）p（t）！！=v N型-zeσ（t）+（t）p（t）！- K e公司-r（T-t） N个-zeσ（t）p（t）！。备注3.2请注意，该看涨期权的价格取决于未来的波动率，但由于其具有确定性，因此这不是一个问题，事实上，我们已经获得了准确的公式。推论3.3假设风险资产动态遵循具有时间依赖性漂移和波动性的几何布朗运动，见方程式（15），带payoff（11）的看跌期权的价格，表示为Φput，与MLVTS投资组合Veσ（t）相关，由以下显式公式∏（t，Φput（Veσ（t））=K e给出-r（T-t） N个-ed（t）- v N型-ed（t）（17） 其中，定义见命题3.1，投资于风险资产的投资组合价值比例为eα（t）：=min{L；bσ/σ（t）}。证据put调用奇偶校验公式的直接结果。4 Greek在本节中，我们将继续对悉尼威立雅运输公司港口组合上的期权价格进行定量研究。

特别是，我们将明确推导出相关的希腊值，后者是表示衍生品价格对其表征基础参数随时间变化的敏感性的数量。在接下来的内容中，我们将考虑一种风险资产的演变，如Black-Scholes模型。因此，在VTS和MLVTS基础投资组合中，看涨期权和看跌期权的价格公式（12）、（13）、（16）和（17）减少到∏（t，Φcall（Vbσ（t）））=v N（d）- K e公司-r（T-t） N（d），π（t，Φcall（Veσ（t））=（v N（ed）- K e公司-r（T-t） N（ed），对于σ<bσ/L，v N（d）- K e公司-r（T-t） N（d），对于σ>bσ/L，π（t，Φput（Vbσ（t））=K e-r（T-t） N个(-d）- v N型(-d） ，π（t，Φput（Veσ（t））=（K e-r（T-t） N个(-ed）- v N型(-ed），对于σ<bσ/L，K e-r（T-t） N个(-d）- v N型(-d） ，对于σ>bσ/L，其中d=bσ√T- t型对数（v/K）+（r+bσ/2）（T- t）,d=bσ√T- t型对数（v/K）+（r- bσ/2）（T- t）,ed=σL√T- t型对数（v/K）+（r+Lσ/2）（T- t）,ed=σL√T- t型对数（v/K）+（r- Lσ/2）（T- t）.4.1 VegaSince VTS投资组合旨在保持固定的波动率水平，最具代表性的Greekvalue是Vega值，因为它代表了期权价格对风险资产波动率的敏感性。命题4.1加权策略分别为bα=bσ/σ和eα：=min{L；bσ/σ}的VTS和MLVTS投资组合上，带payoff（10）和（11）的看涨期权的Vega分别由ν{Φcall，Vbσ}=σ∏（t，Φcall（Vbσ（t）））=0，ν{Φcall，Veσ}=σ∏（t，Φcall（Veσ（t）））=v√2πexp-预计起飞时间L√T- t、 对于σ<bσL，0，对于σ>bσL，（18）带ν{Φput，Vbσ}=ν{Φcall，Vbσ}和ν{Φput，Veσ}=ν{Φcall，Veσ}，其中ed=log（v/K）+r+Lσ（T- t） Lσ√T- t、 证明。

让我们考虑一下σ<bσL的情况下的MLVT，然后我们回顾一下，看涨期权的价格简化为∏（t，Φcall（Vbσ（t）））=v N（ed）- K经验值(-r（T- t） ）N（ed），其中=-对数（K/v）+（r+Lσ/2）（T- t） Lσ√T- t、 教育部=-对数（K/v）+（r- Lσ/2）（T- t） Lσ√T- t、 然后，计算关于σ的偏导数，我们得到σ∏（t，Φcall（Veσ（t）））=√2πv e-ed/2LpT- t型-edσ！+K e公司-教育/2-r（T-t） LpT公司- t+edσ=√2πv e-第22版LpT- t型-预计起飞时间-edσ=v√2πexp-（ed）！LpT公司- t、 其中第二行从identity exp（ed-ed）=vKexp（r（T- t） ）和最后一个byed-ed=Lσ√T- t、 类似的计算也适用于看跌期权的织女星。备注4.2让我们强调，如果σ<bσ/L，则MLVTS看涨期权和标准杠杆看涨期权共享相同的价格，可以用标准看涨期权价格表示，表示为∏S：=∏（t，Φ看涨期权（S（t）））；hnce说明了风险资产波动率的依赖性∏Veσ（σ）=∏s（Lσ），因此，计算波动率的偏导数，我们有ν{Φcall，Veσ}=σ∏Veσ（σ）=Lσ∏S（Lσ），即与方程式（18）中的表达式相同。在图1中，我们对采用MLVTS的投资组合中的看涨期权的Vega图和标准看涨期权的Vega图进行了比较。左图显示了at货币选项的EGAS。在这里，可以注意到，对于高于σ>bσL的波动率，MLVTS Vega为空，而对于较小的波动率，MLVTS Vega甚至高于Vega的标准看涨期权。图1中的右图表示考虑到织女星对投资组合价值的敏感性的比较。

请注意，对于标准看涨期权，当标的股票价值等于V时，达到了最高的Vega*= s*= K e公司-（T-t） （r）-σ） ，对于MLVTS看涨期权，达到inv*= K e公司-（T-t） （r）-Lσ）。最后，在图2中，我们总结了织女星对波动率和基础投资组合价值的依赖性。图1：曲线图显示了MLVTSportfolio上期权的Vega值行为，权重策略eα=min（L，bσ/σ）给出了最大允许杠杆，突出了其对波动率σ（左）值和v（右）值的依赖性。参数设置为r=5%、v=12、K=10、t=0、t=1、bσ=20%、L=2。对于volatilitydependence（左），MLVTS Vega线（蓝色）也与持有L倍于其在风险资产中财富的无资本投资组合的虚线（蓝色）和Vega For astandard看涨期权（其基础只是风险资产）进行了比较。相反，对于投资组合初始值相关性（右），我们考虑σ=0.08，即σ<bσ/L。MLVTS Vega线（蓝色）与持有风险资产财富L倍的假设投资组合的Vega相同。这条线与将所有资本投资于风险资产的投资组合的Vega相比较。我们注意到，MLVTS选项的Vega值大于standardoption选项的Vega值。这是因为我们认为波动率相对较小，即小于bσ/L）。相反，如果我们认为波动率大于bσ/L，则MLVTS上所写期权的Vega值将为零。图2：这两个曲面分别是采用MLVTS的投资组合的Vega（左图）和投资组合的Vega（右图），前者是风险资产财富v的L倍。

可以注意到，当波动率较高（高于eσ/L）时，MLVTS可以很好地对冲投资组合的波动变化。参数设置为r=5%、t=0、t=1、bσ=20%、L=2、K=10.4.2 Delta在处理VTS和MLVTS投资组合上的期权Delta之前，有必要开始分析VTS投资组合对风险资产价格微小变化的敏感性。为了实现这一点，我们将悉尼威立雅运输公司的投资组合动力学写成dvbσ（t）=Дbσ（t）dS（t）+ψbσ（t）dB（t），（19），其中我们定义了投资组合中持有的股票和债券的瞬时数量。通过自融资方程（5），我们得到了φbσ（t）=V（t）bα（t）S（t），ψbσ（t）=V（t）（1- bα（t））b（t），这意味着VT投资组合的增量为Vbσ=V（t）bσS（t）σ。（20） 备注4.3让我们强调，悉尼威立雅运输公司投资组合上的期权价格可能仅由悉尼威立雅运输公司投资组合的动态和实际时间，或由天空资产动态、债券动态和实际时间等效确定。也就是说，我们可以将悉尼威立雅运输公司投资组合的普通期权价格表示为∏（t，V）或∏（t，S，B）。因此，在第一种设置中，通过方程式（19）和It^o-D¨oeblin公式，参见[19，Ch。

4] ，我们有∏（t，V）=t∏（t，V）dt+V∏（t，V）dVt+V V∏（t，V）d[V，V]t=t∏（t，V）dt+V∏（t，V）^1（t）dSt+ψ（t）dBt+V V∏（t，V）Д（t）d[S，S]t，（21），其中[V，V]表示随机过程V的二次变化，参见，例如，[19，3.4.2]。相反，考虑期权价格是时间、风险资产价格和债券价格的函数，根据o-D-oeblin公式，我们得到了∏（t，S，B）=t∏（t，S，B）dt+S∏（t，S，B）dSt+B∏（t，S，B）dBt+SS∏（t，S，B）d[S，S]t，（22）因此，结合方程式（21）和（22），我们导出了VTS投资组合期权的Delta和Gammaof的更简单表达式S∏（t，S，B）=V∏（t，V）Д（t），SS∏（t，S，B）=V V∏（t，V）Д（t）。命题4.4加权策略为bα=bσ/σ和eα：=min{L；bσ/σ}的VTS和MLVTSportfolios上具有payoff（10）的欧洲看涨期权的Delta分别由下式给出：{Φcall，Vbσ}=S∏（t，Φcall（Vbσ（t））=v bσSσN（d），（23）{Φcall，Veσ}=S∏（t，Φcall（Veσ（t））=（L vsN（bd），对于σ<bσL，vbσSσN（d），对于σ>bσL，（24），其中d=log（v/K）+r+bσ（T- t） bσ√T- t、 ed=对数（v/K）+r+Lσ（T- t） Lσ√T- t、 而带payoff（11）的欧洲看跌期权的Delta是{Φput，Vbσ}=S∏（t，Φput（Vbσ（t））=v bσSσ（N（d）- 1), (25){Φput，Veσ}=S∏（t，Φput（Veσ（t））=（L vs（N（bd）- 1） ，对于σ<bσL，v bσsσ（N（d）- 1） ，对于σ>bσL.（26）证明。根据It^o微积分链式法则（见备注4.3）{Φcall，Vbσ}=V∏（t，Φcall（Vbσ（t）））Vbσ。（27）此外，很容易获得V∏（t，Φcall（Vbσ（t））=N（d）+V N（d）vd公司- K e公司-r、 （T-t） N（d）vd=N（d）+√2π√T- tbσvv e-d- K e公司-r（T-t） e类-d= N（d）+e-d√2π√T- tbσv1.-Kve公司-r（T-t） e类-（d）-d）= N（d），（28），其中自e起最后一个等式成立-（d）-d） =v/K er（T-t） 。

因此，代入式（27）中的（20）和（28），我们得到（23）。相同的参数适用于Veσ，注意在这种情况下Veσ=L vs，对于σ<bσL，因为对于σ<bσL，eα=L。对于看跌期权的情况，我们有V∏（t，Φcall（Vbσ（t）））=N（d）-因此，与之前类似，我们得到了方程（25）。在图3中，我们比较了悉尼威立雅运输公司投资组合中的看涨期权和看跌期权与风险资产中的看涨期权和看跌期权的差值。可以注意到，VTS链接期权的Delta在低波动率和高波动率下都表现出无症状行为。这是因为，对于极低波动性，悉尼威立雅运输公司投资组合通过卖空无风险资产来融资大量股票，而对于极高波动性，悉尼威立雅运输公司投资组合仅将其价值的一小部分投资于天空资产。有关此影响的数学解释，请参见备注4.3。对于MLVTS投资组合，风险资产波动性的增量分析与标准期权的增量分析没有显著差异，因为有必要考虑标准Delta值中变量σL=Lσ的变化，并通过最大杠杆参数L提高后者。图3：右图表示标准看涨期权（上图）和看跌期权（下图）相对于不同波动率值的Delta行为。左边的图表表示VTS投资组合上的看涨期权和看跌期权的增量。我们考虑了行使价格，以获得现金期权、现金期权、现金转帐期权和现金外期权。请注意，VTS关联期权的增量显示两条渐近线：垂直线对应于零波动率，水平线对应于进入单位的波动率值。

参数固定为s=v=10，bσ=0.2，u=8%，r=5%，T=1，T=0，波动率从σ=0.1.4.3开始。VTS和MLVTS投资组合期权的伽马计算可按第4.2节推导，尤其见备注4.3。命题4.5加权策略为bα=bσ/σ和eα：=min{L；bσ/σ}的VTS和MLVTS投资组合上带有payoff（10）的期权的Gamma分别由{Φcall，Vbσ}=SS∏（t，Φcall（Vbσ（t））=v bσsσ√T- tfN（0,1）（d），（29）Γ{Φcall，Veσ}=SS∏（t，Φcall（Veσ（t））=（L vsσ√T-tfN（0,1）（bd），对于σ<bσL，v bσsσ√T-tfN（0,1）（d），对于σ>bσL，（30）带{Φput，Vbσ}=Φcall，Vbσ}和{Φput，Veσ}=Φcall，Veσ}，其中fN（0,1）表示标准正态随机变量的概率密度函数，d=log（v/K）+r+bσ（T- t） bσ√T- t、 ed=对数（v/K）+r+Lσ（T- t） Lσ√T- t、 证明。根据备注4.3，我们SS∏（t，S，B）=V V∏（t，V）Д（t）。计算V V∏（t，V）：V V∏（t，V）=五[V∏（t，Φcall（Vbσ（t）））]=VN（d）=N（d）Vd=fN（0,1）（d）bσv√T- t、 由于ν（t）=v bσsσ，我们得到（29）。由于二阶偏导数w.r.t.两种期权价格的投资组合价值相同，因此卖出VTS挂钩期权的伽马值与买入VTS挂钩期权的伽马值相同。在图4中，我们将标准欧洲期权的Gamma与VTS投资组合中的Gamma欧洲期权进行了比较。请注意，虽然标准Europeanoptions的Gamma仅在基础风险资产为货币远期（ATMF）时才显示两条渐近线，即。