连续时间金融市场模型的解析解

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英文标题：
《Analytic solutions in a continuous-time financial market model》
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作者：
Zsolt Bihary and Attila Andr\\\'as V\\\'ig
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We propose a heterogeneous agent market model (HAM) in continuous time. The market is populated by fundamental traders and chartists, who both use simple linear trading rules. Most of the related literature explores stability, price dynamics and profitability either within deterministic models or by simulation. Our novel formulation lends itself to analytic treatment even in the stochastic case. We prove conditions for the (stochastic) stability of the price process, and also for the price to mean-revert to the fundamental value. Assuming stability, we derive analytic formulae on how the population ratios influence price dynamics and the profitability of the strategies. Our results suggest that whichever trader type is more present in the market will achieve higher returns.
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中文摘要：
我们提出了一个连续时间的异构代理市场模型（HAM）。市场上充斥着基本面交易员和图表师，他们都使用简单的线性交易规则。大多数相关文献在确定性模型内或通过模拟探索稳定性、价格动态和盈利能力。即使在随机情况下，我们的新公式也适用于分析处理。我们证明了价格过程（随机）稳定的条件，以及价格均值回归基本值的条件。假设稳定，我们推导出人口比率如何影响价格动态和策略盈利能力的分析公式。我们的结果表明，无论哪种交易者类型在市场上出现得更多，都将获得更高的回报。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Analytic_solutions_in_a_continuous-time_financial_market_model.pdf (187.45 KB)

2022-6-14 05:20:58 上传

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关键词：连续时间金融 连续时间 金融市场 Quantitative Contribution

工作文件连续时间金融市场模型中的解析解Solt Bihary*Attila A.Víg+2019年2月27日摘要我们提出了一个连续时间的异构代理市场模型（HAM）。市场上充斥着基本面交易员和图表师，他们都使用简单的线性交易规则。大多数相关文献探讨了确定性模型或模拟中的稳定性、价格动态和可预测性。即使在随机情况下，我们的新公式也适用于分析处理。我们证明了价格过程（随机）稳定性的条件，以及价格均值回归基本值的条件。假设稳定，我们推导出人口比率如何影响价格动态和策略可行性的分析公式。我们的结果表明，无论哪种交易者类型在市场上出现得更多，都将获得更高的回报。《经济文献杂志》（JEL）代码：G11、G17。*布达佩斯科尔维纳斯大学金融系副教授+布达佩斯科尔维纳斯大学金融系博士生。电子邮件：阿提拉。vig@uni-科尔维纳斯。Hut这项研究得到了布达佩斯科尔维纳斯大学“金融和公共服务”研究项目（1783-3/2018/FEKUTSTRAT）框架下人力资源部高等教育机构卓越计划的支持。1引言异质代理模型在解释金融市场现象方面取得了巨大成功，如收益分布中的厚尾、波动性的长期依赖性以及时间序列动量和反转。Brock和Hommes（1998）是最早证明具有异质信念的有限理性主体在进化背景下会导致市场不稳定的人之一。

他们的离散时间模型使用不同的期望方案产生了一系列具有相互作用主体的模型（例如，见Hommes et al.（2005）、Chiarella et al.（2006）和Chiarella et al.（2013））。在离散时间框架的基础上，最近提出了许多连续时间模型。当某些延迟变量参与系统时，连续时间模型是有利的，它们更希望得到分析结果。他等人（2009年）研究了技术分析师或“图表专家”使用的移动平均线规则的不同长度对预测的影响。He和Zheng（2010）发现，图表作者增加记忆长度不仅可以稳定市场价格，还可以稳定原本不稳定的市场价格，导致记忆长度增加时的稳定性转换。He和Li（2012）表明，随着适应性异质代理的存在，市场不稳定的合理途径出现了，代理的适应性转换行为可以增加市场价格波动。He和Li（2015）发现动量策略的表现取决于时间范围和动量交易者的市场主导地位。引用的论文中反复出现的一个主题是，在随机模型的“确定性框架”上检验市场稳定性，同时通过数值模拟评估策略的可行性。在本文中，我们在随机环境中分析处理这两个感兴趣的领域。我们提出了一个简单的线性随机模型，该模型具有不连续时间的异构代理。相互作用的主体是通常的基础理论和图表学家。市场价格由做市商情景得出。我们将市场稳定性定义为某些适当过程的渐近平稳性，并证明市场稳定的条件。

在给定稳定性的情况下，我们展示了交易的策略参数和人口比率如何影响市场的渐近随机行为。我们还给出了两种策略的适当定义的可操作性的分析公式——仍然处于随机环境中。我们的初步结果表明，从长远来看，Vertrader在市场上的占有率更高，将获得更高的回报。2模型在本节中，我们建立了一个连续时间内具有异构代理的资产定价模型。我们采用的方法与He和Zheng（2010）以及He和L i（2012）等人的方法类似，并且是异构agent建模文献中的标准方法。我们将投资者异质性和有限理性结合起来，考察它们对市场价格行为的影响。该模型由四个主体组成：基本交易方，他们根据基本价值定位；图表学家，根据时间序列动量确定位置；噪音交易，他们在模型中提供了额外的随机成分；做市商，收集交易员的头寸并相应调整价格。基本交易员和图表师是相互作用的代理人，而噪音交易员和做市商则被建模为潜在代理人。我们认为的金融市场由单一风险资产（我们认为是股市指数）和单一无风险资产（我们认为是货币市场账户）组成。交互代理构建这两个资产的por-tfolio。

我们关注市场价格动态本身，因此我们将代理人的效用最大化问题放在背景中，并直接建模他们的投资组合选择。2.1基本tradersLet(Ohm, A、 P）是概率空间，设W：[0，∞ ) × Ohm 7.→ R2×1是一个具有独立分量的二维维纳过程，代表我们模型的两个不同（基本风险和噪声交易者）风险因素，let（Ft）t≥0表示W的自然过滤。本文中描述的所有过程都适用于此过滤。Let Stand Ft表示风险资产在t时间t的（连同股息）市场价格和基本价值≥ 分别为0，其对数为st=log Stand ft=log ft。基本值遵循标准g几何布朗（GBM）过程，漂移u>0，波动率σf∈ R1×2，其对数如下：dft=u-σfσfdt+σfdWt（1），其中x表示x的转置。我们用UTT表示价格错位：市场价格与基本价值的对数差异：ut=st-ft.我们假设基本面交易者能够估计基本面价值，并相信市场价格正在均值回归到该基本面价值。因此，价格错位UTI越大（越低），他们投资于风险资产的财富比例就越低（越高）。因此，他们投资于风险资产的财富比例——短期投资组合选择——Zf（ut）取决于ut的价格错位采埃孚ut<0，我们假设一个简单的函数类似于He和Li（2015）：Zft=Z- αfut，（2）其中αf≥ 0是交易员对价格错位的基本敏感参数，Z>0是他们投资风险集合的自然（正）均值。我们假设正均值，因为我们假设投资者（基础交易者和图表交易者）都知道基本价值的正漂移。

我们在这里注意到，基本面交易者在这个市场中扮演着一个固有的均值回复角色：他们越强大，市场价格就越接近基本面价值。2.2图表学家不知道基本价值。相反，他们认为他们可以根据风险资产过去的表现来估计未来的价格变动。我们假设图表绘制者是趋势跟踪者（动量引导者）：他们推测最近的价格走势，并相信最近的趋势将继续下去。我们对动量的定义与Chiarella et al.（2006）和He et al.（2018）略有不同。首先，我们定义了原木市场价格的变化与原木基本价值的平均变化相比：ds′t=dst-u -σfσfdtWe确定通过ds′t的动量MTT：mt=Ztt-τe-k（t-v） ds′v，（3）回望视界τ>0，衰减率k>0。换句话说，Momentumi被定义为过去原木价格变动（与平均原木基本价值变动相比）的指数加权平均值，其权重随着时间的推移而增加。利用莱布尼茨积分规则，（3）可以表示为一个随机时滞微分方程，时滞τ：dmt=ds′t- e-kτds′t-τ- 国民党。（4） 我们将特别关注τ的情况→ ∞, 在这种情况下，e-kτ→0和（4）成为标准随机微分方程：dmt=-kmtdt+ds′t=-国民党-u -σfσfdt+dst（5）τ→ ∞ 这种情况很有趣，因为（5）比（4）更易于数学处理，而重要的是要注意到，k ful定义了一个类似的roletoτ本身：所考虑的相关历史具有k的量级。在这种情况下，我们也可以将动量解释为thekyear log返回。图表学家认为，最近的价格变动可以推断：动量越大（越低），他们投资于风险资产的财富比例就越大（越低）。

他们的政策选择Zc（mt）取决于Zc公司mt>0，我们再次假设一个简单的函数：Zct=Z+αcmt，（6），其中Z>0与（2）中的相同，αc≥ 0是图表师的动量敏感性参数。我们在这里注意到图表作者在异质代理建模文献中扮演着内在的爆炸性（关于价格动态）角色。使用boundeddemand函数通常可以缓解此角色。与Chiarella等人（2006）使用的递增和有界的S形gra ph相反，我们在（6）中假设了一个简单的a ffne形式，因为我们的目标是一个可以解析求解的线性随机模型。我们的线性模型是文献中S形图原点的近似值。通过这个假设，我们在确定性的情况下失去了一些有趣的动力学方面（σf=σn=0），但这些有趣的方面大多被随机性冲走，这在本文中我们从未改变。2.3做市商，噪音交易者做市商调整市场价格的方式与Beja和Goldman（1980）和Chiarella et al.（2006）类似。做市商将基本面交易者和图表师的超额需求进行汇总，并调整市场价格，以减少超额需求，同时考虑基本面价值的平均增长。假设pf∈ [0，1]和PC∈ [0，1]pf+pc=1时，市场上基本面交易者和图表活跃者的比率分别为。基本交易员和图表师的总需求由ZT=pfZft+pcZct给出，（7），因此做市商的定价规则为ST=u-σfσfdt+βZt公司- Zdt，（8）其中β≥ 0是控制做市商价格调整速度的参数。我们还可以将β视为一个参数，它决定了供需压力对市场价格的强度。我们还假设存在噪音交易员或流动性交易员。

我们直接通过其价格影响对其完全随机的超额需求进行建模，并在最终（对数）市场价格动态中使用附加随机成分完成（8）：dst=u-σfσfdt+βZt公司- Zdt+σndWt，（9），其中σn∈ R1×2和wt是与（1）相同的二维维纳过程。2.4价格错位以来的市场稳定性和价格动态ut=st- ftis添加剂，其变化仅为dut=dst-dft，所以我们可以结合（1）、（2）、（6）、（7）和（9）得出其动力学：dut=β（pcαcmt- pfαfut）dt+（σn- σf）dWt（10）我们更喜欢使用Utin而不是stitself的原因是，Utan和Ft的动力学一起包含了关于st的所有随机信息。由于Utandft之间没有任何明确的联系，因此可以单独检查它们。此外，由于FTI是一个没有平稳分布的随机游走过程，因此ST也不能有平稳分布，而UT可能确实存在：如果我们的示例fix pc=0 in（10）（对应于没有图表师的市场），UT将成为一个具有众所周知的渐近平稳正态分布的标准Ornstein-Uhlenbeck过程。我们也可以将（5）和（10）结合起来，在mt的动力学中使用事实dst=dut+dfttoarrive，只有mt和u在右侧：dmt=（βpcαc- k） mtdt- βpfαfutdt+σndWt（11）我们金融市场的全部动态可以表示为一个三维随机微分方程系统：d烟t型=u -σfσfdt公司++0 0 00 -βpfαfβpcαc0-βpfαfβpcαc- kftutmtdt公司+σfσn- σfσndWt（12）我们可以注意到（12）中ftand（ut，mt）之间的明显断开. 实际上，我们单独研究后者：设Xt=（ut，mt）, anddXt=-ΘXtdt+∑dWt，其中（13）Θ=βpfαf-βpcαcβpfαfk- βpcαc∈ R2×2和∑=σn- σfσn∈ R2×2。XT是一个二维的Ornstein-Uhlenbeck过程，没有常数裂谷项，由一个具有独立分量的二维维纳过程驱动。

让我们用σu表示波动率矩阵的第一行，即σu=σn- σf，也让我们引入qi=βpiαi，i∈ {f，c}。定义1。我们认为，如果（1 2）定义的市场成分Xt=（ut，mt），则该市场是稳定的是（渐近）平稳的。系统XT的渐近平稳性意味着组件UT和mt都不会“爆炸”——原木市场价格ST不会偏离原木基本值太远，因此价格错位和动量是遍历的。我们将市场的这一定性属性解释为s表位性。提案1。条件β（pcαc- pfαf）<k（C1）βpfαf>0（C2）对于（12）定义的标记稳定是必要的和有效的。证据由（13）定义的XT具有解XT=e-ΘtX+中兴通讯Θ（t-v） ∑dWv，（14）当且仅当-根据（Shreve 2004）-普通微分方程组˙x=-Θxis强稳定，要求Θ的所有特征值的实部严格为正。如果pcαc- pfαf<kβ，βpfαfk>0倍。我们通过价格错位ut来解释命题1。条件（C1）表示，市场稳定要求图表的相对强度与基本面交易者的相对强度（pcαc）相比较- pfαf）不要太大。在这里，我们将相对强度定义为交易者的人口比率与其策略的敏感性参数αIo的乘积。在所有其他条件相同的情况下，基本面交易者（图表绘制者）的相对实力越大，他们对市场的均值回复（爆炸性）价格影响就越强。虽然图表师被允许比基本面交易者更强大，但他们的实力不可能太强，市场就不会稳定。相对强度的最大差值iskβ。

做市商的价格调整速度参数β越大，允许将实力较弱的图表师与基础交易员进行比较：如果β高，这里eA：=P∞k=0Akk！，它认为吃′= AeAt公司。图表学家的外推效应在市场上更为明显，他们更容易“炸毁”市场价格。衰变率k的情况正好相反，衰变率k在计算动量时控制相关的时间范围k。k值越高，价格的历史越短，这实际上推动了动能。当k非常高时，动量主要由噪音交易者的完全随机效应驱动，图表师无法抓住不断上涨（或下跌）的市场价格。条件（C2）表明，原教旨主义者的相对力量、做市商的参数和衰减率都必须为正。这一条件表明，原木市场价格与原木基本价值有任何联系的唯一途径是，基本面交易者在市场上具有正的相对实力。此外，在没有价格影响（β=0）的情况下，基本面交易者无法将市场价格拉向其基本面价值，无论他们有多强大。提案2。假设（12）定义的市场是稳定的。然后，（14）具有多元正态极限分布→∞E[文本]。=E[X∞] =,D[u]∞].= Eu∞=（kσu+qcσf）（kσu+qcσf）+ qfkσuσu2qfk（qf+k- qc），COV【u】∞, m级∞].= E【u】∞m级∞] =（qc- k） σfσf+kσnσn2k（qf+k- qc），D[米∞].= Em级∞=qfσfσf+kσnσn2k（qf+k- qc），其中σu=σn- σf.证明。（14） 是一个简单的随机积分，因此它是整体的正态分布。