习惯形成下的最优进入与消费

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英文标题：
《Optimal Entry and Consumption under Habit Formation》
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作者：
Yue Yang and Xiang Yu
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  This paper studies a composite problem involving the decision making of the optimal entry time and dynamic consumption afterwards. In stage-1, the investor has access to full market information subjecting to some information costs and needs to choose an optimal stopping time to initiate stage-2; in stage-2, the investor terminates the costly full information acquisition and starts dynamic investment and consumption under partial observations of free public stock prices. The habit formation preference is employed, in which the past consumption affects the investor\'s current decisions. By using the stochastic Perron\'s method, the value function of the composite problem is proved to be the unique viscosity solution of some variational inequalities.
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中文摘要：
本文研究了一个包含最优进入时间和动态消费决策的组合问题。在第1阶段，投资者可以获得完整的市场信息，但要承受一定的信息成本，需要选择最佳的停止时间来启动第2阶段；在第二阶段，投资者终止代价高昂的全面信息获取，并在部分观察自由公开股票价格的情况下开始动态投资和消费。采用习惯形成偏好，即过去的消费影响投资者当前的决策。利用随机Perron方法，证明了复合问题的值函数是一些变分不等式的唯一粘性解。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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2022-6-14 06:57:15 上传

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关键词：Optimization Mathematical Quantitative observations inequalities

习惯形成条件下的最优进入和消费岳阳和项羽摘要。本文研究了一个涉及最优进入时间和动态消费决策的组合问题。在第1阶段，投资者可以获得完整的市场信息，但要承受一定的信息成本，需要选择最佳的停止时间来启动第2阶段；在第二阶段，投资者终止了代价高昂的全面信息获取，并在部分观察自由公开股票价格的情况下开始动态投资和消费。采用习惯形成偏好，即过去的消费影响投资者当前的决策。利用随机Perron方法，证明了复合问题的值函数是一些变分不等式的唯一粘性解。关键词：最优进入问题；消费习惯形成；随机Perron方法；粘度解决方案2020数学主题分类：91G10；49L25；93E11；93E20；简介我们考虑一个简单的模型，将信息成本纳入连续时间投资组合消费问题。特别地，我们依次研究了完全过滤和不完全过滤下的两阶段复合问题。假设股票价格的漂移过程为Ornstein-Uhlenbeck型。在初始阶段的第一阶段，投资者需要支付信息成本，以获取漂移和股价过程产生的完整市场信息，更新其动态分布，并确定进入第二阶段的最佳时间。信息成本可指搜索成本、存储成本、通信成本、投资者关注成本或其他服务成本。

在本文中，我们考虑了简单的线性信息成本，它由一个固定的成本率建模，并将直接从投资者的超额金额中减去。也就是说，第一阶段越长，投资者需要承担的信息成本就越高。以前的一些工作从不同的角度讨论了信息成本对最优投资的影响，请参见[18]、[29]、[1]和[20]。在我们的第一阶段，数学问题成为完全市场信息过滤下的最优停止问题。第二阶段从chosenentry时间开始，投资者终止漂移过程的完整观察。相反，投资者开始根据先前的数据输入和股票价格的自由部分观察动态选择投资和消费，这可以表述为不完全信息过滤下的最优控制问题。由于内部控制问题的值函数取决于漂移过程的停止时间和数据输入，因此外部问题可以解释为以最佳方式等待，以便输入值可以达到内部函数的最大值。在过去几十年中，部分观察下的投资组合优化得到了广泛的研究，参见[6、7、8、22、25、34]中的几个例子，这些例子具有不同的财务动机。如这些工作所示，不完全信息过滤下的价值函数严格低于完全信息过滤下的价值函数，这种差距通常被视为信息的价值。本文试图从不同的角度研究部分观察结果，即由于涉及更多的数据、服务和个人关注，完整的市场信息是可用的，但成本高昂。

信息成本可能会改变投资者对使用完整观察结果的态度，因为他观察到的信息越多，他能获得的利益就越高，这已不再是事实。此外，从以前关于部分观测的一些工作中，我们知道值函数最终取决于随机因子的给定初始输入，例如漂移过程。如【8，22】中所述，通常假设不可观测漂移的初始数据是高斯随机变量，因此可以应用Kalman-Bucy滤波。我们将此投入考虑在内，并考虑一个模型，即投资者可以等待，并根据信息成本，使用完整的市场信息动态更新投入的分配。我们可以证明，在不完全信息的情况下，从初始时间开始夏普投资和消费可能不是最优的。另一方面，近年来，习惯形成已成为消费率偏好建模的新范式，它可以更好地与一些实证观察结果相匹配，参见【11，24】。文献表明，过去的消费模式可能会对个人当前的消费决策产生持续的影响。特别是，线性习惯形成偏好已被广泛接受，其中存在一个代表累积消费历史的指数项。[12，14，26]和[35，36]分别在完全市场模型和不完全市场模型中对习惯形成偏好进行了深入研究。值得注意的是，效用函数在习惯水平上呈下降趋势。在本文中，我们假设第一阶段没有消费，投资者开始养成消费习惯，只有第二阶段。因此，早期进入第二阶段可能不是最佳决策，因为投资者有更长的时间来培养更高的习惯水平。

这是我们研究外部最优进入时间问题的第二个动机，以了解更长的等待时间是否能让投资者受益更多，因为由此产生的习惯水平可能会低得多，从而导致更高的价值函数。我们证明了复合问题的值函数是一些变分不等式的唯一粘性解。为此，我们可以选择应用经典的Perron方法或[2]中介绍的Perron方法的随机版本。对于经典的P erron方法，要建立值函数和粘度解之间的等价关系，我们要么证明动态规划原理，要么升级解的全局正则性并证明验证定理。在一些标准参数中，值函数相对于状态变量的凸性（凹性）通常是总结全局正则性的关键。然而，这个属性在我们的复合问题中并不清楚，请参见Remark4.1了解详细信息。值函数的全局正则性无法保证，外部问题的直接证明变得困难。因此，我们选择了随机Perron\'s方法，它允许我们在没有全局正则性的情况下显示值函数和粘性解之间的等价性。关于利用粘性解进行最优停止的相关工作，我们参考了文献[31]和文献[27]。另请参见[2，3，4，5，23，33]中使用随机Perron方法研究随机控制问题的一些最新工作。完成随机Perron方法论证的一个重要步骤是本文建立的关联变分不等式的比较原理。第二部分介绍了市场模型和习惯形成偏好，并提出了两阶段优化问题。

第3节给出了具有习惯形成和部分观察的内部效用最大化问题的主要结果。第四节研究了具有线性信息代价的外部最优进入问题。利用随机Perron方法，证明了复合问题的值函数是一些变分不等式的唯一粘性解。附录A和B.2中报告了一些辅助结果和证明。数学模型和准备工作2.1。市场模型。给定概率空间(Ohm, F、 P）完整信息过滤F=（Ft）0≤t型≤T为了满足通常的条件，我们考虑在有限的时间范围内有一个无风险债券和一个风险资产的市场[0，T]。假设债券过程满足≡ 1，对于t∈ [0，T]，这相当于数字的标准变化。股票价格标准=utStdt+σSStdWt，0≤ t型≤ T、 （2.1）S=S>0。一些实证研究，如[9、10、15、30]已经观察到，许多风险资产的漂移过程遵循所谓的均值回复扩散。在此，我们还认为漂移过程utin（2.1）满足Ornstein-Uhlenbeck SDE比dut=-λ（ut- u）dt+σudBt，0≤ t型≤ T、 （2.2）此处，（Wt）0≤t型≤Tand（Bt）0≤t型≤皮重-英尺适应相关系数ρ的B-rownian运动∈ [-1, 1].为简单起见，漂移的初始值u为给定常数。我们假设市场系数σS、λ、(R)u和σu根据历史数据的校准给出非负常数。假设投资者从初始财富x（0）=x>0开始，时间t=0。此外，从初始时间t=0开始，访问W和B生成的完整市场信息fts会产生信息成本κt，其中κ>0是单位时间的恒定成本率。

信息成本可以指存储成本、搜索成本、通信成本、投资者注意力成本或其他服务成本，以充分观察市场信息Ft。此外，为了简化数学问题，假设从t=0开始到选定的停止时间τ，投资者只需等待和更新流程的动态分布，而展位根本不进行投资和消费。只要模型中最佳进入时间τ的值较短，该假设就有意义。信息成本之后的动态财富过程由确定性函数x（t）=x简单给出- k t表示任何t≤ τ.由于完整的市场信息过滤成本高昂，投资者需要选择最佳的FTA适应停止时间τ来终止完整的信息采集并进入第二阶段。从CHOSEN停止时间τ，他切换到部分观测值过滤FSt=FτWσ（Su：τ≤ u≤ t） 对于τ≤ t型≤ T，它是西格玛代数Fτ和截至时间T的股票价格产生的自然过滤的联合。此外，对于任何时间τ≤ t型≤ T、 投资者选择动态消费率ct≥ 并决定其财富的π投资于风险资产和债券的剩余金额。在不支付信息成本的情况下，漂移过程u和布朗运动wt和bt对于t不再可见≥ τ.因此，仅假设投资-消费对（πt，ct）适用于τ的部分观测过滤fstf≤ t型≤ T回想一下，在进入时间τ时，投资者只有财富x（τ）=x- κτ左。在不完全过滤FSt下，投资者的总财富过程可以写成d^Xt=（πtut- ct）dt+σSπtdWt，τ≤ t型≤ T、 （2.3）初始值^Xτ=X（τ）=X- κτ > 0.

注意，在部分观测过滤FSt下，Wt不再是布朗运动，我们必须应用Kalman-Bucy过滤，并考虑由D^Wt定义的创新过程：=σSh（ut- ^ut）dt+σSdWti=σSdStSt公司- ^utdt, τ ≤ t型≤ T、 这是FSt下的布朗运动。不可观测漂移过程的最佳估计是条件期望过程^ut=EhutFSti，用于τ≤ t型≤ T，初始输入^uτ=uτ，P-a.s.，在停止时间τ，其中uτ的分布通过（2.2）确定，通过支付高达τ的信息成本。通过标准Kalman-Bucy滤波（见[8]中的方程式（18）或[25]中的方程式（21）），utsatis fies thessedut=-λ（ut）- u）dt+^∑（t）+σSσuρS！d^Wt，τ≤ t型≤ T、 （2.4）带^uτ=uτ，P-a.s。。此外，条件方差∑（t）=Eh（ut- ^ut）F表示确定性Riccati ODE（见[8]的方程式（19）或[25]的方程式（23）），d^∑（t）dt=-σS^∑（t）+-2σuρσS- 2λ∑（t）+（1）- ρ)σu, τ ≤ t型≤ T、 （2.5）初始值^∑（τ）=Eh（uτ- ^uτ)FSti=0，鉴于^uτ=uτ，P-a.s。。它可以明确地解为∑（t）=√kσSkexp（2(√kσS）t）+kkexp（2(√kσS）t）-k-λ+σuρσSσS，τ≤ t型≤ T、 式中，k=λσS+2σSσ|Μλρ+σu，k=√kσS+（λσS+σSσuρ）和k=-√kσS+（λσS+σSσuρ）。对于第二阶段的动态控制问题，我们采用习惯形成偏好。特别是，我们将Zt：=Z（ct）表示为习惯形成过程或生活水平过程，它描述了消费习惯水平。按照惯例，假设累积参考值zt满足递推方程（见[12]），即dZt=（δ（t）ct- α（t）Zt）dt，τ≤ t型≤ T，其中Zτ=Z≥ 0被称为投资者的初始消费习惯。等效地，我们有zt=ze-Rtτα（u）du+Ztτδ（u）e-Rtuα（s）dscudu，τ≤ t型≤ T、 这是初始习惯和过去消费的指数加权平均值。

这里，确定性贴现因子α（t）≥ 0和δ（t）≥ 0分别衡量过去水平的持续性和消费历史的强度。我们对本文中的成瘾习惯感兴趣，即要求投资者当前的消费策略不得低于该ct的生活标准≥ Zta。s、 ，对于τ≤ t型≤ T在部分观察过滤（FSt）τ下≤t型≤T、 股票价格动态（2.1）可以用dst=utStdt+σSStd^wt重写，财富动态（2.3）可以用d^Xt=（πTuT）重写-ct）dt+σSπtd^Wt，τ≤ t型≤ T为了便于制定随机控制问题和推导动态规划方程，对于任何t∈ [0，T]，我们在（x）处表示投资和消费过程（πs，cs）T的时间调制容许集≤s≤Twith the initial wealth^Xt=x，它是fss渐进可测的，并且满足可积条件rttπsds<+∞, P-a.s.和RTTCSDS<+∞, P-a.s。。具有成瘾性习惯形成约束的cs≥ Zs，P-a.s.，t≤ s≤ T此外，不允许破产，即投资者的财富保持非负，即^x≥ 0，P-a.s.，t≤ s≤ T2.2. 问题公式。两阶段最优决策问题被描述为包含最优停止和随后的随机控制的组合问题，由ev（0，u；x，z）：=supτ≥0E“esssup（π，c）∈Aτ（x-κτ）EZTτ（cs- Zs）PPDFSτ#.（2.6）特别是，从选择的停止时间τ开始，我们对习惯形成的消费效用最大化感兴趣，其中功率效用函数U（x）=xp/p定义在差异ct上-Zt。为了简化表述，我们在本文中仅考虑风险规避系数p<0。

内部控制问题的间接效用过程用bv（t，x）表示- κt，z，ut；0）：=esssup（π，c）∈在（x-κt）EZTt（cs- Zs）PPDFSt公司= esssup（π，c）∈在（x-κt）EZTt（cs- Zs）PPD^Xt=x- κt，ut=ut，Zt=z；^∑（t）=0.为了确定外部最佳停车时间，我们需要最大化τ、^Xτ、Zτ和^uτ的输入值。回想一下，投资者在τ之前并不管理其投资和消费，它遵循的是^Xτ=X- κτ，Zτ=zand∑（τ）=0都可以作为参数，而不是变量。也就是说，uτ=^uτ是唯一的随机输入，我们可以将utas视为唯一的底层状态过程。因此，（2.6）的动态对应物由EV（t，η；x）定义- κt，z）：=esssupτ≥tE“esssup（π，c）∈Aτ（x-κτ）EZTτ（cs- Zs）pp）dsFSτut=η#。（2.7）备注2.1。在本文中，我们关注的是p<0的情况，因为函数A（t，s）、B（t，s）和C（t，s）作为一些未来ODE（3.4）、（3.5）、（3.6）的解都是有界的，并且效用U（x）也是有界的，这可以显著简化定理3.1中验证结果的证明和命题4.1中比较结果的证明。另一种情况0<p<1基本上可以以类似的方式处理。然而，由于过程^utin（2.4）是无界的，并且函数A（t，s）、B（t，s）和C（t，s）可能在某些时间爆炸∈ 在证明一些主要结果时，需要一些额外的参数假设来保证可积条件和鞅性质。假设2.1。根据内部控制问题的Remark3.1，从这一点开始，假设x- 对于任何0，κt>zm（t）≤ t型≤ T，即。