现代遗产托丁：集合年金产品的创新

如果相应的财富过程X，其动力学满足（1），则ful fillsehz∞e-ρtS（t）日志c（t）X（t）+ bλ（t）对数(1 - α） X（t）dti>-∞, （63）则存在实数序列tn↑ ∞, 取决于c和ω，例如limn→∞E[V（tn，X（tn））]=0。证据根据引理A.3、引理A.4和假设（63），我们可以看到ehz∞e-ρtS（t）日志c（t）X（t）+ bλ（t）对数(1 - α） X（t）dti公司∈ R、 此外，由于积分中的两个求和都在期望和积分下有界-参见引理A.3和引理A.4-我们发现Ehz∞e-ρtS（t）对数c（t）X（t）dti公司∈ R、 （64）根据Protter（2005，p.84，定理37），方程（1）有唯一解；参见（23）。特别是，我们可以重写（64）asEhZ∞e-ρtS（t）对数c（t）X（t）dti=EhZ∞e-ρtS（t）对数X（0）+Ztαλ（s）ds+对数c（t）-Ztc（s）ds-Ztc（s）ds+Zt（1- ω（s））r+ω（s）u-σω（s）ds-Ztσω（s）ds+Ztσω（s）dW（s）-Ztσω（s）dsdti。（65）我们使用与之前相同的论点：由于上述所有术语在期望和积分上都有界-参见（24），（26），（29），（31），（33）-我们可以证明（64）的一致性意味着EHZ∞e-ρtS（t）对数X（0）+Ztαλ（s）dsdti公司∈ R、 （66）EhZ∞e-ρtS（t）Ztc（s）dsdti公司∈ R、 （67）EhZ∞e-ρtS（t）Ztσω（s）dsdti公司∈ R、 （68）从（68）中，我们推导出E[Rtσω（s）ds]<∞ 对于所有t≥ 0，反过来t 7→Rtσω（s）dW（s）是真鞅。因此，再次使用（65），EhZ∞e-ρtS（t）Zt（1- ω（s））r+ω（s）u-σω（s）dsdti公司∈ R、 （69）结果（66）、（67）、（69）和t 7的鞅性质→Rtσω（s）dW（s）表示EHZ∞e-ρtS（t）log X（t）dti∈ R、 因此，存在一个实数序列tn↑ ∞ 这样，Limn→∞e-ρtnS（tn）E[对数X（tn）]=0。最后，将其与（55）、（53）、（59）进行比较，确定结果。注意ψ（t）→ 0作为t↑∞.提案A.11（验证）。Letα≤ 1和X是（1）中相应的财富过程。此外，让c*, ω*分别由（13）、（14）和X定义*是相应的财富过程。

ThenV（0，X）≥ EhZ公司∞S（t）e-ρt日志c（t）X（t）+ b日志(1 - α） X（t）λ（t）dti（70）和V（0，X）=EhZ∞S（t）e-ρt日志c*（t） X个*（t）+ b日志(1 - α） X个*（t）λ（t）dti。证据对于α=1，（70）的右侧等于-∞. 因此，我们可以假设α<1。如果（63）中的期望值等于-∞, 那么不等式（70）就微不足道了。因此，我们可以假设（63）中的预期是有限的。此外，在这种情况下，（68）成立，因此[Rtσω（s）Д（s）ds]<∞ 对于所有t≥ 0，因为Д是一个连续的确定性函数。亨塞特7→Rtσω（s）Д（s）dW（s）是鞅。现在，该语句来自It^o公式对C1,1,2-函数（ψ，log（x），ψ）7的应用→ νlog（x）+ψ在引理A.10的特殊序列上计算，对于给定的c，ω与引理A.9一起对应于x。特别是，将引理A.4和命题A.11结合起来，表明w*, c*, α*（13）–（15）是对数问题（10）的最优解。B、 表格、图表和图表B。1、重新平衡前的DiagramsTontine accountBequest accountInvestment returns Investment returns Investment returnsLongevity creditsAmount（a）。Tontine accountBequest accountAmount（b）消耗50个单位并重新平衡后。图B.1.1:tontine账户和遗赠账户在重新平衡（图B.1.1a）之前和重新平衡（图B.1.1b）之后按照选定的固定比例对账户价值进行说明，此处假设为50%。在重新平衡之前和扣除消费之前，tontine账户的价值为520个单位，遗赠账户的价值为500个单位，总养老金储蓄价值为1020。消费50个单位（每个账户25个单位）后，养老金储蓄的总价值为970个单位。将托丁账户重新平衡至选定的养老金储蓄总额的50%，每个账户的价值为485个单位。B、 2。

图70 80 90 100 110 1200.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0死亡率（年）年龄死亡率（a）年龄死亡率。70 80 90 100 110 1200.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 65岁存活概率（岁）65岁存活概率（b）65岁存活概率。图B.2.1：第4.3.0 1 2 3 4节中详述的马克汉定律的死亡率和65岁以后的生存概率恒定相对风险规避1- tontine0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7图b.2.2:tontine账户总养老金储蓄的最佳固定百分比100α风险规避1- 在动力效用下，对于遗赠动机b的各种强度，γ增加。65 70 75 80 85 90 95 100 15 20 25 30 35 40消费率=0.09和α=0.8年龄（年）遗赠账户年龄价值（a）遗赠账户年龄100.70 80 90 100 110 1200.0e+00 5.0e+09 1.0e+10 1.5e+10消费率=0.09和α=0.8年龄（年）遗赠账户年龄价值（b）遗赠账户年龄120。图B.2.3：不同年龄段的遗赠账户价值，用于第5.1.1节中的数值分析。。0 1 2 3恒定相对风险规避1- tontine0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7图b.2.4:tontine账户总养老金储蓄的最佳固定百分比100α风险规避1- 在动力效用下，对于遗赠动机b的各种强度，γ增加。优化仅考虑65岁至100岁的前35年。

因此，参与者不会从100岁后可能发生的事情中获得效用。1 2 3 4持续相对风险规避1- γ对于消费0%2%4%6%8%10%12%b=1b=2b=3b=6b=7，而不是Tont图b.2.5：对于各种遗赠动机强度，在电力效用下，随着风险厌恶程度的增加，最优消费率占养老金储蓄总额的百分比。当退休人员可以将养老金储蓄总额的固定比例分配到一个临时账户时，结果用实线表示。虚线显示了退休人员只能将钱分配给遗产账户（经典的收入提取问题）的结果。0 1 2 3恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（a）（r，u，σ）=（1%，3%，15%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（b）（r，u，σ）=（1%，3%，25%）0 1恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（c）（r，u，σ）=（1%，10%，15%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（d）（r，u，σ）=（1%，10%，25%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（e）（r，u，σ）=（7%，10%，15%）0恒定相对风险规避1- tontine0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（f）（r，u，σ）=（7%，10%，25%）图b.2.6：当65岁以后的预期寿命增加5年时，tontine账户分配的最佳百分比的敏感性分析。这是第5.1.2节讨论的第一次分析，相关金融市场模型参数值显示在每个图的下方。

表中的死亡率模型参数C=1.134，与C=1.124.0时的原始预期寿命相比，该参数对应于从65岁到5岁的预期寿命增加1相对恒定的风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（a）（r，u，σ）=（1%，3%，15%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（b）（r，u，σ）=（1%，3%，25%）0 1恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（c）（r，u，σ）=（1%，10%，15%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（d）（r，u，σ）=（1%，10%，25%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（e）（r，u，σ）=（7%，10%，15%）0恒定相对风险规避1- tontine0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（f）（r，u，σ）=（7%，10%，25%）图b.2.7：65岁以后的预期寿命减少5年时分配给tontine账户的百分比的敏感性分析。这是第5.1.2节中讨论的第二次分析，相关金融市场模型参数值显示在每个图的下方。

表中的人口模型参数C=1.116，对应于从65岁到5岁的预期寿命下降，与C=1.124.0时的原始预期寿命相比，当C=1.124.0时，托汀账户中的最佳百分比100α为0%20%40%60%80%100%图B.2.8：在对数效用下，随着遗赠动机B的强度变化。65 70 75 80 85 90 95 100消费年龄0%5%10%15%20%25%30%b=1b=2b=3b=6b=7图b.2.9：最佳消费率c（y- 65）占养老金储蓄总额的百分比x（y- 65）随着退休人员的年龄y从65岁增加到100岁，对于不同的遗赠动机强度b，在对数效用下。