随机视界上的Epstein-Zin效用最大化

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Epstein-Zin Utility Maximization on a Random Horizon》
---
作者：
Joshua Aurand, Yu-Jui Huang
---
最新提交年份：
2021
---
英文摘要：
  This paper solves the consumption-investment problem under Epstein-Zin preferences on a random horizon. In an incomplete market, we take the random horizon to be a stopping time adapted to the market filtration, generated by all observable, but not necessarily tradable, state processes. Contrary to prior studies, we do not impose any fixed upper bound for the random horizon, allowing for truly unbounded ones. Focusing on the empirically relevant case where the risk aversion and the elasticity of intertemporal substitution are both larger than one, we characterize the optimal consumption and investment strategies using backward stochastic differential equations with superlinear growth on unbounded random horizons. This characterization, compared with the classical fixed-horizon result, involves an additional stochastic process that serves to capture the randomness of the horizon. As demonstrated in two concrete examples, changing from a fixed horizon to a random one drastically alters the optimal strategies.
---
中文摘要：
本文在随机视界上求解了Epstein-Zin偏好下的消费投资问题。在不完全市场中，我们将随机视界视为适应市场过滤的停止时间，由所有可观察但不一定可交易的状态过程生成。与之前的研究相反，我们没有对随机视界施加任何固定的上界，允许真正的无界。针对风险厌恶和跨期替代弹性均大于1的经验相关案例，我们利用无界随机视界上具有超线性增长的倒向随机微分方程刻画了最优消费和投资策略。与经典的固定视界结果相比，这种表征涉及一个额外的随机过程，用于捕捉视界的随机性。如两个具体例子所示，从固定视界到随机视界的变化极大地改变了最优策略。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

---
PDF下载：
--> Epstein-Zin_Utility_Maximization_on_a_Random_Horizon.pdf (890.4 KB)

2022-6-14 08:12:19 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Epstein 效用最大化 Stein TEI EPS

随机水平上的Epstein-Zin效用最大化Joshua Aurand*Yu Jui Huang+2021年7月5日摘要本文解决了arandom horizon上Epstein Zin偏好下的消费投资问题。在不完全市场中，我们将随机视界视为适应市场过滤的停止时间，由所有可观察但不一定可交易的状态过程生成。与之前的研究相反，我们没有对随机视界施加任何固定的上界，允许真正的无界。针对风险厌恶和跨期替代弹性均大于1的经验相关案例，我们利用无界随机视界上具有超线性增长的倒向随机微分方程刻画了最优消费和投资策略。与经典的固定视界结果相比，这种表征涉及一个额外的随机过程，以捕捉视界的随机性。如两个具体例子所示，从固定的视野到随机视野的变化会极大地改变最佳策略。理学硕士（2010）：93E20、91G10。杰尔：G11，C61。关键词：消费投资问题，爱泼斯坦-辛效用，随机视界，倒向随机微分方程。1引言经典的时间可分离效用无意中在代理人的风险厌恶（用γ表示）和跨期替代弹性（EIS，用ψ表示）之间强加了一种艺术关系：后者必须是前者的倒数。这种关系在经验上被广泛拒绝。Bansal和Yaron【3】、Bansal【2】、Bhamra【6】和Benzoni【5】都指出了经验数据中ψ>1的事实，而Vissing-Jorgensen和Attanasio【53】、Bansal和Yaron【3】和Hansen等人【26】中的估计表明γ>1。

为了将EIS从风险规避中分离出来，Epstein和Zin【22】在离散时间内指定了递归效用，其连续时间对应物在Du ffee和Epstein【19】中制定。这些Epstein-Zin型公用事业已被证明有助于解决观察到的市场异常；参见[3、2、6、5]等。自开创性工作【22，19】以来，爱泼斯坦·辛偏好下的消费投资问题已在固定时间范围T>0上进行了广泛研究，如【20，49，34，50，33，54】，而最近在【41】中探讨了有限时间范围的情况。在实践中，代理人进入市场时，不需要有固定的规划期限，无论是固定的还是固定的。退出的时间可能是随机的，这取决于市场中的各种因素。*都柏林城市大学数学科学学院，都柏林9号，爱尔兰，电子邮件：joshua。aurand@dcu.ie.+科罗拉多大学应用数学系，美国科罗拉多州博尔德80309-0526，电子邮箱：yujui。huang@colorado.edu.部分由美国国家科学基金会（DMS-1715439）和科罗拉多大学（11003573）资助。本文研究了随机视界上Epstein-Zin偏好下的最优消费和投资。我们关注经验相关的情况γ，ψ>1，并考虑一个不完全市场，其中一个代理观察所有的状态过程，但不能交易所有的状态过程。随机视界τ被视为适应市场过滤的停止时间，由所有可观察（但不一定可交易）状态过程生成。

也就是说，τ的实现取决于市场条件，但所涉及的不确定性只能通过交易部分对冲。之前对随机视界τ的研究，所有时间可分离的效用，包括[55、42、25]（其中τ独立于市场）、[29、35]（其中τ完全取决于市场）、[8、28]（其中τ取决于市场和其他外部因素）等。在所有这些工作中，都要求τ先验有界（即τ≤ T a.s.对于已知的T>0）。也就是说，未知的地平线T>0仍然存在，只是不太明确。相比之下，我们的框架摒弃了任何固定视界的存在，允许真正无限的随机视界。此外，除[28]外，上述所有要求都要求市场完整性，我们对实际应用放宽了限制。我们的主要发现是，随机视界τ极大地改变了最优消费和投资策略。与Xing[54]中的固定视界结果相比，我们在下面的（3.9）中的最优策略涉及一个额外的过程^Z。虽然对于固定视界情况，^Z非常灵活，但它可以捕捉随机视界τ对最优策略的影响；见备注3.1和C。1了解详情。两个具体例子明确说明了我们的发现。在第4.1节中，企业的随机违约时间表明，在固定期限的情况下，企业的最优消费和投资比其经典水平有所降低，当企业接近破产时，这一点更为显著。此外，我们发现最佳投资比率对EISψ敏感，并且实际上随着EISψ的增加而增加，这与之前在固定范围内的发现相反；请参见图1及其下面的讨论。

在赫斯顿随机波动率模型中，第4.2节表明，虽然固定期限最优策略规定了风险资产中财富的恒定比例，但在极端市场条件下考虑随机退出时间会将最优投资比率转化为市场状态的函数；参见图2、图3及其下面的讨论。我们的分析基于倒向随机微分方程（BSDE）技术。在固定的范围内，BSDE对于Epstain-Zin效用最大化来说用途相当广泛，如【54】所示。然而，随机的视野带来了一系列挑战。我们调查的第一步是证明Epstein-Zin效用过程的存在，给定消费流（ct）t≥这转化为求解具有非均匀超线性增长的随机视界BSDE：其生成器在一个变量中呈超线性增长，而在其他变量中呈非均匀增长。随机视界τ上的BSDE文献经常强调“τ”≤ T a.s.对于固定的T>0”，我们的目标是放松。在处理无界τ的少数结果中（参见[17，46，31，48，10]），没有一个允许非均匀超线性生长。作为响应，我们在区间[0，n]上为所有n引入一个截断的BSDE∈ N、 对于固定的视界N，可以使用[54]中的构造来处理非均匀的超线性生长，其中存在每个截断BSDE的唯一解决方案。受Pardoux[46]和Briand以及Carmona[10]的启发，我们证明了这一解序列在随机过程的完备空间中是Cauchy的。限制，如n→ ∞, 存在并求解原始随机视界BSDE。详见命题2.1和定理2.1。接下来，我们寻找能够最大化爱泼斯坦-辛效用的消费和投资策略。通过动态规划，我们得到了一个随机视界BSDE，即。

（3.6），从中可以得出候选最优策略。该BSDE是非标准的：其生成器在几个不同变量中具有二次和指数增长。通过一种精细的截断技术，我们包含指数增长，使生成器线性增长，并在其中一个变量中保持严格增长，从而可以应用随机地平线二次BSDE的结果。具体而言，仔细使用Briand和Confortola【11，定理3.3】中的存在性结果，以及Kobylanski【31，定理2.3】中的比较原则，得出了我们非标准BSDE的解决方案；见提案3.1。请注意，我们使用的截断技术不同于[54]，因为后者需要固定的视界；见备注B.1。采用候选最优策略（π*, c*) 导出后，仍需显示其在以下（3.11）中定义的一组允许策略中的最优性。BMO参数在Fixedhorizon情况下可用于确定允许性（如[54]所示），但在当前环境下不再有效：BMO规范可以很容易地在无界随机视界τ上爆炸。有鉴于此，我们直接在τ上施加适当的指数矩条件（即下面的假设2），由此可以得出（π）的容许性*, c*) 可以建立；见引理3.1。（π）的最优性*, c*) 然后遵循标准参数；见本文的主要结果定理3.1。请注意，对τ提出的条件没有看起来那么严格，它们很容易涵盖所有先前关于随机期消费投资问题的研究（其中“τ≤ T a.s.对于固定T>0“的情况下，将其包括在内），并且常见于随机视界BSDE的文献中；见备注3.4。考虑不限于市场过滤的更一般的随机视界τ很有意义。

配套论文[1]追求这一方向：它研究了在代理人随机生命周期内，在爱泼斯坦-辛偏好下的最优消费、投资和医疗支出；即，τ是代理人的死亡时间，不需要依赖于金融市场。论文的其余部分组织如下。第2节确定了给定消费流的Epstein-Zin效用过程的存在性和唯一性。第三节介绍了消费投资问题，导出了候选的最优策略，并证明了它们确实是最优的。通过将BSDE框架与马尔可夫环境相联系，第4节从数值上说明了随机水平如何在两个具体金融模型中彻底改变最优策略。附录包含辅助结果和所有证明。2随机水平面上的Epstein Zin偏好(Ohm, F、 P）是支持d维布朗运动（Bt）t的概率空间≥0.LetF=（Ft）t≥0是B生成的自然过滤的P-增强，T是所有F停止时间的集合。让我们定义一个随机视界τ∈ T代理从消费流获取实用程序C=（ct）0≤t型≤τ、 一个非负的渐进可测量过程，在随机视界上定义[0，τ]。这里，Ctr表示所有0在时间t的消耗率≤ t<τ，而cτ表示时间τ的铝消耗总量。设δ>0为折现率，γ>0 6=1为相对风险厌恶，ψ>0为跨期替代弹性（EIS）。假设代理人的遗赠函数为U（c）=c1-γ1-γ.

然后，给定消费流c，随机视界τ上的Epstein-Zinutility过程是一个过程Vc=（Vct）t≥0满足度vct=EtZτt∧τf（cs，Vcs）ds+c1-γτ1 - γ, t型≥ 0，（2.1）其中Et[·]表示E[·| Ft]，而函数f（c，v），即Epstein-Zin聚合器，由f（c，v）定义：=δ（1- γ） v1-ψc（（1- γ） v）1-γ1.-ψ- 1!= δc1-ψ1 -ψ(1 - γ） 五1.-θ- Δθv，其中θ：=1- γ1 -ψ.（2.2）在本文中，我们重点关注规范γ，ψ>1，这是在引言中讨论的经验相关案例。注意，这意味着θ<0，这将经常使用。本节的目标是建立Epstein Zin实用程序processVcin（2.1）的存在性和唯一性。这是针对固定水平情况（即τ≡ T表示固定T>0）或θ>0的情况；参见例如[49、33、54]。我们将通过BSDEVct=c1构建Vcin（2.1）-γτ1 - γ+Zτt∧τf（cs，Vcs）ds-Zτt∧τZcsdBs，t型≥ 0。（2.3）如【54】中所观察到的，当γ，ψ>1时，f（c，v）在v中具有超线性增长，因此是非Lipschitz。根据【54，第2.1节】中的转换，我们考虑（Yt，Zt）：=e-Δθt（1-γ） （Vct，Zct），相应的BSDEYt=e-Δθτc1-γτ+Zτt∧τF（s，cs，Ys）ds-Zτt∧τZsdBs，t型≥ 0，（2.4），其中f（t，c，y）：=Δθe-δtc1-ψy1-θ.预计（2.4）更易于管理，因为它满足单调性条件：由于θ<0和y，F（t，c，y）在y中减少≥ 0.可接受的消耗流集采用asC：=c∈ R+：EZτe-2δsc2（1-ψ） 十二烷基硫酸钠< ∞ 和Ee-2δθ(2-θ） τc2（2-θ)(1-γ)τ< ∞, （2.5）其中R+是所有非负逐步可测过程的集合。备注2.1。我们的容许集C比Epstein Zin效用下在固定视界（即τ）上的常用集C大≡ T表示固定T>0）。

例如，[49]要求中兴通讯tdt< ∞ 和E[c`T]<∞, 全部`∈ R、 最近，[54]提出了一个更弱的条件中兴通讯-δsc1-1/ψsds< ∞ 和Ec1类-γT< ∞.（2.5）中规定的可积性比这强，但正如我们将看到的那样，附加可积性有助于将[54]中的结果从固定视界扩展到随机视界。为了说明本节的主要结果，让我们介绍以下符号。o对于任何q>1，设sq表示R值渐进可测过程的集合Y，这样kY kqSq：=E[supt≥0年至今∧τ| q]<∞.o 让我们∞表示R值渐进可测过程Y的集合，使得kY k∞:=inf{C≥ 0：| Yt |≤ Ct型≥ 0 a.s.}<∞.o 对于任何q>1，让mq表示Rd值渐进可测过程Z的集合，例如kZkqMq：=E[（R∞kZtkdt）q]<∞.o 对于任何q>1，Bq：=Sq×Mq，范数k（Y，Z）kqBq：=kY kqSq+kZkqMq。提案2.1。假设γ，ψ>1且c∈ C、 然后，（2.4）允许在Bwith Y中有一个唯一的解（Y，Z）≥ 0 a.s.命题2.1的证明被归入附录a.1。备注2.2。命题2.1并非出自【12，定理5.2】，与它看起来的相反。事实上，我们的条件c∈ C弱于[12]中所要求的可积性。为了使[12，定理5.2]适用，我们需要一个更强的条件：存在ε>0，使得eZτe-2(δ-ε） sc2（1-ψ） 十二烷基硫酸钠< ∞ 和Ee-2(δ+ε)θ(2-θ） τc2（2-θ)(1-γ)τ< ∞.备注2.3。为了证明命题2.1，附录A.1使用[54]中的固定层位构造设计了一系列解决方案，其极限最终解决（2.4）。或者，根据[48，定理3.1]，可以通过有界消费流设计一系列解决方案，其极限将通过单调性参数求解（2.4）。

然而，证明并不比附录A.1简单，单调性论证也需要（2.5）这样的条件。现在可以构建Epstein-Zin实用程序流程。定理2.1。假设γ，ψ>1。对于任何c∈ C、 设（Y，Z）为B中（2.4）的唯一解，则（Vct，Zct）：=eΔθt1-γ（Yt，Zt）是B中满足（2.1）a.s的（2.3）的唯一解。定理2.1的证明被归入附录a.2。备注2.4。值得注意的是，Y，Vc∈ 特别是暗示他们属于D.3类消费投资问题。在本节中，我们在第2节的框架下介绍了不完全市场中的消费投资问题。通过动态规划，我们导出了随机视界τ上的BSDE，从中可以推断出候选的最优策略。在适当的市场系数条件下（假设1），存在BSDE的解决方案；见提案3.1。根据τ（假设2）上指数矩条件的强度，下面（3.9）中给出的候选策略在适当的策略类别中确实是最优的；见定理3.1.3.1设置我们采用第2节中的框架，其中B=（W，^W）为二维布朗运动（即d=2）。设E是R中的一个开域，并考虑一个E值状态过程Dyt=a（t，Yt）dt+b（t，Yt）dWt，Y=Y∈ E、 （3.1）式中a，b:R+×E→ R给出了Borel可测函数。市场由无风险资产和风险资产St组成，满足动态St=r（t，Yt）Stdt，dSt=St（r（t，Yt）+λ（t，Yt））dt+σ（t，Yt）ρ（t，Yt）dWt+ρ（t，Yt）d^Wt,（3.2）式中，r，λ，σ，ρ，^ρ：r+×E→ R给出了Borel可测函数。