在竞争激烈的广告市场中进行平行试验

如下所示，这些对象使用f来计算A上任何概率分布的ATE-f，t.4识别我们现在讨论通过上述实验设计实现的感兴趣对象的非参数识别：方程式（8）和（12）中给出的ATE，以及构成它们的对象，即PWT和uf Wts。这些识别结果是必需的，因此我们可以讨论实验结果是否以及在什么情况下可以传输到实验后环境，这是我们在第5.4.1节τf tτf tτf tS的识别中所做的。我们首先讨论方程（8）中定义的ATE的识别，这是我们感兴趣的主要对象。在此之前，我们首先陈述以下内容。备注3。评估ATE的最低要求（i）如果f∈ Et.（ii）公司f只能评估目标受众t的ATE如何随Agtif g变化∈ 等，如果g∈ Ot，f无法评估g广告对t的影响。如果g/∈ Et公司∪Ot，f无法评估gnot广告对t的影响。这些陈述很简单。备注3（i）指出，如果f在目标受众身上进行实验，f公司只能估计其广告对目标受众t的预期效果。如果是这样的话，t中有资格接收f的广告的用户，也有没有资格接收f的广告的用户，使f能够对比这两个组之间的结果以恢复ATE。否则，就不可能进行这种比较，也不可能识别出ATE。同样的逻辑，注释3（ii）指出，如果g在目标受众t上进行实验，f只能衡量ATE与g公司广告的变化情况。特别是，如果g不做广告，f无法评估g广告的影响。反过来，如果g是广告而不是实验，f无法评估g不是广告的影响。

最后，请注意，我们显式地编写了一个ATE，因为如等式（8）所示，有2F-1可能的目标受众t对公司f的ATE。我们现在给出一个关键结果，将这些陈述形式化。为此，它利用了第3节中给出的实验和假设。定理1。τf t的确定假设假设假设1和2成立。对于每个t、x和Ot。进一步假设Ditis已知并已使用。那么对于所有f∈ E和所有t，τf tA.-f，t, 如等式（8）所示，所有-f，t如果g，则Agt=1/∈ Et公司∪如果g，则T和Agt=0∈ 加班费。证据附录A.1中给出了证明。定理1指出，如果已知并利用用户的全面治疗分配，则所有实验公司对给定目标受众的广告政策的预期效果可从通过上述实验收集的数据中确定。然而，这些对象仅在没有广告的竞争企业没有广告的点识别，也就是说，仅在所有g的Agt=0的点识别∈ Ot，以及正在做广告但未进行试验的竞争企业的广告点，即只有Agt=1的所有g/∈ Et公司∪ 加班费。对于正在进行试验的竞争企业，它们在两个点上都是相同的，即所有g的Agt=1和Agt=0∈ 此外，由于使用了用户的完整治疗分配，因此这三组患者的所有可能组合都是相同的。请注意，如果所有公司都在所有目标受众身上进行实验，那么实验将产生所有F×T×2F的识别-1广告政策的可能性。4.2ξf tξf tξf tS的识别我们现在讨论ATE的识别，作为公司竞争对手实验政策的函数，如等式（12）所定义。第一个结果是定理1的直接结果。推论1。

ξf t的确定假设定理1的条件成立。然后ξf t（σ-f，t），如方程式（12）所定义，对于所有σ-f，t与A相关-f，t，即所有σ-f，t如果g，则σgt=1/∈ Et公司∪如果g，则t和σgt=0∈ 加班费。假设定理1确保了τf t的识别A.-f，t, 可以计算相关ξf t（σ-f，t）对于任何可行σ-f，tvia方程（12）。我们强调，这仅适用于可行σ-f，t因为g/∈ Et公司∪Ot，则必须保持σgt=1，且ifg∈ Ot，则必须保持σgt=0。这个结果可以进一步推广，我们将在第5节中这样做。我们现在考虑在更严格的条件下识别一些ξf。特别是，我们关注最具限制性的条件，其中Di，-f，未被观察或忽视。这是一个特别相关的情况，因为它对应于一个企业忽视或不知道竞争对手平行实验的情况。WEE建立以下结果。定理2。实验中ξf的确定假设假设假设1和2成立。对于每个t、fix和Ot，但假设Di，-f，未被观察或忽视。那么对于所有f∈ E和所有t，ξf tσ-f，t, 如等式（12）所示，仅针对σ-f，t在实验过程中保持不变。证据附录A.2给出了证明。在一个典型的实验设计中，只有重点企业的治疗任务是被考虑的，唯一确定的ATE是在实验期间持有的ATE。在存在平行实验的情况下，该ATE对应于与竞争对手实验所暗示的每个部分治疗分配相关的ATE的凸组合，其中归属于每个ATE的权重由用户分配给竞争对手治疗组的概率σ确定-f，t。

结果对象是ξf tσ-f，t如等式（12）所示。4.3 PWTPWTPWT和uf Wtuf Wtuf WTS的识别我们现在讨论构成方程式（8）中定义的ATE的对象的识别。它们与评估从实验中获得的结果是否以及如何在实验结束后传达给企业决策相关。我们首先做出以下假设，然后是我们的第一个识别结果。假设3。对于所有i，观察显示的广告序列∈ t和t∈ T、 观察和利用Witis。定理3。PWT的识别假设假设假设假设1、2和3成立。对于每个t、x和Ot。进一步假设Ditis已知并已使用。那么对于所有t∈ T、 pWt公司Af t，A-f，t识别所有W∈ WAf t，A-, f t公司如果g，则Agt=1/∈ Et公司∪如果g，则T和Agt=0∈ 加班费。证据附录A.3中给出了证明。定理3的证明很简单：假设1和3保证实验生成估计PWT所需的所有数据，而假设2确保实验中观察到的显示概率与未经实验的环境中的显示概率相等。我们现在确定第二个结果。定理4。uf wt的识别假设1、2和3成立。对于每个t、x和Ot。进一步假设Ditisknown和Used。那么对于所有f∈ Fand所有t∈ T、 uf重量（W）针对所有W进行识别∈WAf t，A-, f t公司这样pWtAf t，A-f，t> 0和所有，如果g，则Agt=1/∈ Et公司∪如果g，则OtandAgt=0∈ 加班费。证据附录A.4中给出了证明。相对于定理3，唯一需要的附加条件是pWtAf t，A-f，t> 这是为了确保在数据中获得暴露于序列W的观测值。最后，请注意，与定理1和2不同，定理3和4依赖于假设3。

然而，这些定理确定的对象并不局限于实验企业。4.4评论上述结果值得进一步评论。定理1是关键，因为它表明我们要恢复的对象，即方程式（8）中给出的ATE是确定的。定理2的目的是描述如果按照通常的方式进行，企业将恢复的对象的特征。对于实验者来说，典型的方法是比较治疗组和对照组中各单元的平均结果，从而缩小均值估计量的通常差异。在平行实验下，该估计器忽略了单元属于多个治疗组和对照组，恢复了定理2中描述的对象和方程（12）中给出的对象：方程（8）中给出的原始数据的凸组合。这一目标不能被解释为与政策相关的治疗效果，但在实践中很可能不会出现的特殊情况除外。定理3和4解决了构成ATE的对象的识别问题。我们将使用以下对象来描述ATE的稳定性。5可运输性企业的最终目标不仅是使用实验数据估计ATE，而且还要使用这些估计值为实验后的未来政策提供信息。我们现在讨论在什么情况下，从上述实验中获得的估计值可以传输到这个新环境中。我们考虑一种情况，即每家公司只学习自己的ATE，而不学习竞争对手的ATE，然后决定是否继续做广告。虽然有许多可能的方式，企业和平台可以在获得结果和实验结束后采取行动，但由于其实际简单性，我们将重点放在这个场景上。

首先，它只要求平台有足够的承诺向每家公司真实报告自己的ATE，而不是竞争对手的ATE，避免担心隐私和竞争泄露。其次，正如下文所述，它只要求企业对竞争对手的未来政策有信念，而这些信念是不受约束的。我们考虑企业在三种不同情况下的单方面反应，这三种情况对应于方程式（8）中构成ATE的对象的稳定性或缺乏稳定性，即PWT和uf Wts。正如下文所述，企业从实验中获得的估计值的传输能力取决于这些对象是否不稳定，从而影响其在实验后的决策。5.1当执行PWTPWTPWT和uf Wtuf Wtuf Wt时，首先考虑PWT和uf Wt在实验后没有变化的情况。pWts的稳定性意味着每个序列W的显示概率不会改变。反过来，uf Wts的稳定性意味着用户对ADS的行为反应保持不变。根据方程式（7）和（8），PWT和uf Wts的稳定性意味着Yi f tAf t，A-f，t和τf tA.-f，t也不要更改。已知τf tA.-f，t, f公司必须决定是否在实验结束后发布广告。因为这些目标取决于f公司竞争对手采取的行动，f需要对这些行动有信心。因此，问题是f公司是否能够根据其对竞争对手广告政策的信念计算出相关ATE。在定理1的条件下，答案是肯定的。为了更清楚地看到这一点，让πf tA.-f，t是a上的概率分布-f，t反映了f公司对其竞争对手针对目标受众的广告政策的信念。对πf t（·）没有限制。

设A为包含竞争对手广告决策的所有可能组合的集合。然后，我们可以将方程式（12）中给出的f广告政策的预期效果定义为πf t（·）：ξf t的函数πf t（·）=∑A.-f，t∈Aπf tA.-f，t×τf t（A-f，t）。（13） 以下结果立竿见影。推论2。可能ξf t的识别πf t（·）对每个t求出定理1的条件hold和fix Etand ots。然后ξf tπf t（·）, 如等式（13）所定义，所有πf t（·）均已确定，如果g/∈ Et公司∪Otand Agt=0if g∈ 加班费。定理1暗示τf t（A-f，t）为所有A-f t如果g，则Agt=1/∈ Et公司∪如果g，则T和Agt=0∈ 加班费。因此，通过方程式（13），可以计算ξf tπf tA.-f，t对于每个可行的πf t（·）。注意，等式（13）是等式（12）的更一般版本。不同之处在于，信念不受等式（12）中乘法形式的限制，这是假设1的结果。假设f可以计算ξf tπf t（·）, 然后，它就可以决定是否在实验结束后发布广告。假设f最大化其预期收益，当且仅当ξf tπf t（·）≥ κ、 其中κ是广告成本。最后，请注意，如上所述，f的预测受到一组实验公司等的限制。准确地说，只有当Et=f.5.2时，才能评估未来所有可能的广告组合。当PWTPWTPWT不固定，但uf Wtuf Wt f Wtuf Wt w时，我们现在考虑在实验结束后，当uf Wts固定时，PWT可以改变的情况。换言之，我们现在假设，在实验后，每个AD序列显示的概率都会发生变化，但向消费者显示序列的平均效果不会发生变化。要了解为什么会发生这种情况，请记住，在线广告通常通过拍卖进行销售。

例如，正如Waisman等人（2022）所讨论的，企业的最佳竞价策略取决于展示其广告相对于竞争对手广告的预期效果。因此，如果企业获得了uf Wt（W）的知识，那么他们可能会更改其投标，这反过来可能会改变pWt的概率Af t，A-f，t.我们现在假设平台真实地向f公司报告uf Wt（W）。在这种情况下，我们可以指定方程式（13）的更一般版本。现在，一家公司的信念不仅是关于其竞争对手中的哪一个将要做广告，而且还有一个前提条件是，将显示哪些广告序列。准确地说，让ζf tWAf t，A-f，t是一个概率分布，反映了f公司的信念，即广告序列W作为所有公司广告政策的函数显示给目标受众t中的用户，其中W∈ WAf t，A-f，t. 再一次，我们没有对这些信念施加任何其他约束。我们现在确定：ξf tπf t（·），ζf t（·）=∑A.-f，t∈Aπf tA.-f，t∑W∈W（1，A-f，t）ζf tW1，A-f，tuf重量（W）-∑W∈W（0，A-f，t）ζf tW0，A-f，tuf重量（W）.（14） 以下结果立竿见影。推论3。可能ξf t的识别πf t（·），ζf t（·）假设定理3和4的条件成立，并且每个t的fix Etand ots成立。然后得出ξf tπf t（·），ζf t（·）, 如等式（14）所示，所有πf t（·）均已确定，Agt=1 ifg/∈ Et公司∪如果g，则T和Agt=0∈ Ot和所有ζf t（·），如果pWt（·）=0，则ζf t（W·）=0。方程式（14）中定义的ATE的识别遵循与推论2类似的论点。计算给定信念集πf t（·）和ζf t（·）的这些ATE所需的输入是uf Wts，其识别条件在定理4中给出。

然而，请注意，现在这些信念不仅受到ETA和Ot的限制，而且还受到哪些广告序列可以以严格的正概率显示的限制，因为相关的uf Wt（W）不会以其他方式识别。5.3当uf Wtuf Wtuf Wt最终无法执行时，请考虑uf Wt发生变化的情况，这可能是最难处理的情况，因为uf Wt的变化意味着显示广告的预期效果会发生变化。这反映了用户在接触广告后行为反应的内在变化，因此意味着环境发生了重大变化。无论PWT是否固定，这种情况都需要平台或公司估计新的uf Wts是什么。虽然他们可能对这种变化的性质有一些知识或信念（例如，uf Wts可能遵循某种ARMA过程），他们可以根据这些知识或信念创建期望，但这种性质的变化通常需要进行新的实验来恢复新的参数。5.4注释我们感兴趣的测量对象是等式（8）中给出的ATE。然而，该方程还表明，这些物体是另外两个物体的函数，即加权平均数和uf加权平均数。本节讨论了在实验结束后，如果、如何以及在什么情况下可以成功地将估计的ATE用于决策。虽然方程式（8）中的ATE确实有可能在实验后发生变化，但我们认为，至少在短期内，它们是企业的政策相关对象，原因有两个，一个与构成它们的每个对象相关。首先，在我们考虑PWT改变的背景下，企业在参与广告拍卖时有必要改变其投标政策。

由于这些算法是自动化的，因此即使是根据实验提供的结果，在实验结束后，投标政策也不太可能迅速改变。其次，要改变uf Wts，需要改变用户对广告的行为反应。在不改变广告活动的前提下，这将需要用户行为的内在变化，这在短期内很难证明是合理的。出于这些原因，我们将等式（8）中的ATE作为我们感兴趣的对象。下面概述的评估策略以及上面给出的框架旨在恢复这些对象。6估计我们现在讨论恢复上述ATE的估计值。更具体地说，我们的目标是估计参数τf tA.-f，t如等式（8）所示，这是f公司竞争对手广告政策的异质平均处理效果。在介绍这些估算值之前，我们就估算可行所需的数据说明如下。备注4。估计x t和σt的数据要求。设D（σt）为所有可能的完整治疗分配Dt的集合，给定σt。为了使所有可能的ATE都可行，样本必须包含所有Dt的观察值∈D（σt）。这是一个简单的要求。要使与给定治疗任务相关的ATE可估计，我们必须有收到该特定治疗任务的观察结果。因此，为了评估所有可能的ATE，我们需要对所有可能的治疗分配进行观察。我们假设我们有来自上述实验设计的数据。