布朗桥的折扣最优停止及其应用

在高频情况下，这种影响得到缓解。图5和图6还显示，随着使用更多数据来估计σ，与估计边界bbσ相关的支付函数的平均值和方差均收敛于与真实边界相关的支付函数。模拟研究的实际底线可以总结为以下通式规则：如果15<n<1000，建议采用置信上限曲线作为停止规则，因为c1，bσnA与所有其他停止规则的平均支付几乎相同，但差异较小；如果n≥ 1000时，三种停止规则的支付平均值和方差非常相似，这是在不计算置信曲线的情况下，仅假设￠bbσn最有效的选择。对于n≤ 15，执行策略的最佳候选者并不明显，这将取决于选择哪个标准来衡量三种策略的均值-方差权衡。5在Streak和真实数据研究中，我们比较了使用Brownianbridge模型的最优停止策略与使用几何布朗运动的经典方法的性能（Peskir，2005b）。后者不考虑资产到期价格的固定信息。我们通过实际数据研究，分析各种场景，显示出不同程度的钉扎强度。如Niet al.（2005）和Krishnan and Nelken（2001）所示，钉扎行为更可能发生在大量交易的期权中。这就是为什么我们考虑在1月11日至9月18日期间到期的基于AppleAndIBM的选项，特别是AppleAnd4833的8905选项。我们用M表示每家公司的期权总数，对于j-thoption，我们让（X（j）ti）Nji=0为标的股票的5分钟收盘价除以罢工价格Sj。

为了量化钉扎效应的强度，我们将钉扎偏差定义为pj：=| X（j）tNj- 1 |，j=1，M、 因此，在完全钉扎下，我们应该期望X（j）tNj=1，pj=0。我们在实际数据应用程序中执行以下步骤：i.使用因子ρ将每条路径（X（j）ti）Nji=0拆分为两个子集∈ P={0.1，0.2，…，0.9}。我们将历史数据集称为价格的第一个ρ100%值（X（j）ti）bρNji=0，将未来数据集称为剩余部分（包括现值）（X（j）ti）Nji=bρNjc）。这里，j=1，M，而1- ρ表示期权寿命的比例。二。我们使用历史数据集来估计波动率，如第4.2节所述。iii.我们将无风险利率λj，ρ计算为（X（j）ti）Nji=0拆分时市场持有的52周国库券利率（摘自美国财政部（2018））。我们将几何布朗运动的漂移设置为无风险利率，使得贴现过程是鞅过程。v、 我们使用算法1计算布朗桥模型（9）的OSB，并使用Pedersen和Peskir（2002，第12页）中介绍的方法计算Peskir（2005b）中研究的几何布朗运动模型。两种数值方法相似，唯一的细微差别在于布朗桥，需要像算法1中那样计算积分的最后一部分，而几何布朗运动不需要特殊处理。SBS的计算采用S=1（股票价格之前使用重击价格标准化）、T=1（所有到期日标准化为1）和第4.1节所述时间分区的201个节点。vi.我们使用未来集合计算剩余时间内最佳行使期权产生的收益。

这是通过计算e来实现的-λj，ρτj，ρBB1.- X（j）tbρNjc+τj，ρBB安第斯山脉-λj，ρτj，ρGBM1.- X（j）tbρNjc+τj，ρGBM, 其中，τj，ρbb和τj，ρGBMare分别是初始条件下与布朗桥和几何布朗运动策略相关的OSTtbρNjc，X（j）tbρNjc.七。我们计算“ρ-聚集”累积曲线，如下所述，以测量两种模型的优度（BB停留在布朗桥上，而GBM停留在几何布朗运动上）：BB（p）=| p | J（p）| Xj∈J（p）Xρ∈体育课-λj，ρτj，ρBB1.- X（j）tbρNjc+τj，ρBB,GBM（p）=| p | | J（p）| Xj∈J（p）Xρ∈体育课-λj，ρτj，ρGBM1.- X（j）tbρNjc+τj，ρGBM,式中，J（p）：={J=1，…，M:pj<p}，| p |和| J（p）|分别是Pand J（p）中的元素数。八。我们最终计算相对平均利润（BB（p）- GBM（p））/GBM（p）。ix.我们绘制了钉扎偏差p与相对平均值的关系图（见图7）。对于钉扎偏差较低的期权，布朗桥模型的表现优于几何布朗运动。当我们在攻击场景中远离理想的钉扎时，这种优势就会消失，也就是说，当钉扎偏差增加时。当应用于整个数据集上的苹果选项时，布朗桥模型优于几何布朗运动，当我们考虑IBM选项时，优势仅存在于60%的钉扎偏差较低的选项中。备注3。除了使用OSB，我们在分析中还考虑了第4.3节中描述的置信曲线。然而，由于这是一个高频率的抽样场景，两条置信曲线提供了几乎无法区分的结果，并且被省略以避免冗余。备注4。

在计算图7中的利润时，我们没有考虑购买期权的价格，因为我们感兴趣的是行使期权的最佳时机，而不是购买持有的期权是否可行。很明显，在存在钉扎走向效应的情况下，布朗桥模型的应用是可行的。然而，事先知道一只股票是否会被钉住并不是一件小事。即使钉住预测不在本文的范围内（为了进行系统处理，我们参考了Avellanda和Lipkin（2003）、Jeannin et al.（2008）和Avellanda et al.（2012）），我们也提供了一些基本证据，证明可以通过与股票相关的期权交易量来预测钉住效应的出现。为此，我们研究了固定偏差（pj）Mj=1与给定期权的未平仓合约数量之间的关联，我们称之为未平仓权益（OI）。特别是，我们计算2017年到期的期权的加权OI。其定义为wOIj：=PKjk=0wj，koj，k，其中oj，kis是第j个期权开放后第k天的OI，Kjis是期权保持可用的总天数，权重wj，k：=e-(1-k/Kj）/PKji=0e-(1-i/Kj），j=1，M，更加重视OIs与到期日的关系。我们强调wOI是一个可观察的量。

斯皮尔曼在wOI和固定偏差之间的rankcorrelation系数得分-苹果和-IBM为0.4281，因此显示出显著性（p值<10-16） WOI和钉扎强度之间存在正相关性。01234钉扎偏差密度00.20.40.60.81.01.21.4相对平均利润0.5 1.0 1.50.25 0.75 0.95钉扎偏差定量钉扎偏差（a）苹果。00.511.522.5计划偏差密度00.10.20.3相对平均利润0.5 1.0 1.50.25 0.75 0.995计划偏差量化计划偏差（b）IBM。图7：实际数据应用程序的结果。黑色曲线是相对平均值（BB（p））-GBM（p））/GBM（p）表示钉扎偏差p，而蓝色虚线表示钉扎偏差的核密度估计。6在任何点固定我们工作中反复出现的假设是，固定点与期权的执行价格一致。接下来，我们将讨论在放松这一假设时应该期待什么。与执行价格不同的固定点是可取的，因为这将提高模型对特定实际情况的适应性。然而，这种额外的灵活性使问题变得更加复杂。例如，用于说明OSB在Proposition 1中是单调的参数不再起作用。事实上，经验证据表明，这种属性不再成立。

假设所有正则条件仍然成立，并且可以应用It^o公式的扩展版本，然后根据第3节的相同参数，可以得到积分方程b（t）=s- e-λ（T-t） （S）- （A）+-ZTtKσ，λ（t，b（t），u，b（u））du，（20），其中A和S分别是固定点和执行价格，其中kσ，λ（t，x，u，x）：=e-λ（u-t）装货单- u+λA-T- u+λu（t，x，u）Φ（zσ（t，x，u，x））+νσ（t，u）φ（zσ（t，x，u，x））]。图8显示了从（20）中获得的不同贴现率的最佳停止边界，表明OSB不是单调的。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5 0 0.5 1λ =  0. 5λ=1λ=2λ=5图8：λ不同值的积分方程（20）的数值解。虚线表示固定点（A=0），虚线表示履约价格（S=1）。如果没有单调性，很难证明边界的连续性和光滑条件等其他性质。De Angelis（2013）和Peskir（2019）分别证明了时间均匀和非均匀差异边界的一些连续性结果，而Cox和Peskir（2015）则阐述了广泛情况下的平滑条件。一些工作向前迈进了一步，试图用随机固定点来解决类似的问题，但在不同的情况下，需要不同种类的简化。例如，在Ekstr"om和Vaicenavicius（2020）中，作者在以恒等式为增益函数的非贴现场景中工作，并给出了具有一般固定点分布的值函数的界。另一个很好的例子是Leung等人。

（2018），其中考虑了班级护理的增益功能。7结论在这项工作中，我们通过建立以执行价格为终点的布朗桥的股票价格模型，解决了在存在折扣的情况下最优行使美式看跌期权的问题。OSP被转化为一个自由边界问题，证明在某类函数中有唯一的解。我们在实践中使用递归定点算法来计算OSB，在没有折扣的情况下证实了其准确性。使用波动率的最大似然估计，我们计算了估计OSB周围的逐点收益曲线，并分析了一些相关的替代停止规则。针对非贴现案例所做的模拟研究表明，较低的置信度曲线是最有吸引力的停止决策，因为由此产生的最优收益方差减少。最后，我们进行了一项实际数据研究，从经验上得出结论，当股价表现出钉扎在走向效应时，布朗桥模型的表现远远好于经典的几何布朗运动。我们的模型不仅需要关于最终价值的准确内幕信息，而且还限于最终价值与执行价格一致的情况。当终点与执行价格不同时，自然延伸将确定最佳策略。我们给出的经验证据表明，一般来说，OSB不再是单调的，这导致了一个更具挑战性的问题。另一个有趣的扩展是使用一个不允许股票价格为负值的模型，例如，布朗桥的指数或几何布朗桥。补充材料以下补充材料可在D\'Auria et al.（2019）在线获取。

R脚本：0-simulations。R、 1-boundary\\u Calculation\\u BB-AmPut\\u折扣。R、 2-推断\\u BB。R、 3-模拟研究。R、 和4位数。R、 RData文件：Prop1。RData，Prop2。RData，收益率\\u N200\\u 1。RData和payoff\\u N200\\u ratio25。RData。致谢第一作者感谢西班牙经济、工业和竞争力部以及欧洲区域发展基金项目MTM2017-85618-P和MTM2015-72907-EXP的支持。第二作者感谢来自相同资助机构的项目PGC2018-097284-BI00、IJCI-2017-32005和MTM2016-76969-P的支持。第三作者获得了马德里卡洛斯三世大学统计系的奖学金。命题1的主要证明。取满足x的容许对（t，x）≥ S和t<t，并考虑停止时间τε：=inf{0≤ s≤ T- t:Xt+s≤ S- ε| Xt=x}（为方便起见，假设inf{} = T- t） ，对于ε>0。注意，Pt，x[τε<T- t] >0，这意味着V（t，x）≥Et，xe-λτεG（Xt+τε）> 0=G（x），从何而来（t，x）∈ C、 定义b（t）：=sup{x∈ R：（t，x）∈ D} 。上述参数保证b（t）<S表示所有t∈ [0，T），我们从（3）得到b（T）=S。此外，从（3）可以很容易地注意到，随着λ的增加，V（T，x）减少。因此，b（T）增加，并且，由于已知当λ=0时，b（T）对所有T都是完整的（见备注1），那么我们可以保证b（T）>-∞ 对于λ的所有值。注意，由于D是一个闭集，b（t）∈ D代表所有t∈ [0，T]。为了证明D具有命题1中要求的形式，让我们取x<b（t）并考虑OSTτ*= τ*（t，x）。

然后，根据（3）、（2）和（6），我们得到v（t，x）- V（t，b（t））≤ Et，xhe-λτ*G（Xt+τ*)我- Et，b（t）he-λτ*G（Xt+τ*)一（21）≤ Et，0“Xt+τ*+ b（t）t- t型- τ*T- t型- Xt+τ*- xT公司- t型- τ*T- t型+#= （b（t）- x） E类T- t型- τ*T- t型≤ b（t）-x、 我们使用关系式（a）的地方- G（b）≤ （b）- a） +，（22）对于所有a、b∈ R、 对于第二个不等式。因为V（t，b（t））=S-b（t），我们从上面的关系式得到V（t，x）≤ S-x=G（x），这意味着（t，x）∈ 因此{（t，x）∈ [0，T]×R:x≤ b（t）}D、 另一方面，如果（t，x）∈ D、 然后是x≥ b（t），这证明了反向包含。现在开始t，t∈ [0，T]和x∈ R使得t<t和（t，x）∈ C、 然后，由于函数t 7→ V（t，x）对于所有x都不增加∈ R（见命题2的（iv），V（t，x）≥ V（t，x）>G（x），即（t，x）∈ C、 因此，b是非递减的。最后，为了证明b的正确连续性，让我们来验证t∈ （0，T）注意，因为b是非递减的，所以b（T+）≥ b（t）。另一方面，由于D是一个闭集且（t+h，b（t+h））∈ D对于所有0<h≤ T- t、 然后（t+，b（t+）∈ D或等效的b（t+）≤ b（t）。命题2的证明。（i） 一半的陈述依赖于Peskir和Shiryaev（2006年，第7.1节）关于Dirichlet问题的结果。它声明tV+LXV=λV（在C上）。此外，它说明了如何从抛物偏微分方程（PDE）的解证明V是C1,2tf+LXf- λf=0 in R，f=V onR、 其中R∈ C是一个非常规则的区域。如果我们将R视为开放矩形，因为V由下面的（V）连续，并且u和σ都是局部H"older连续的，那么上述PDE具有唯一解（见Friedman（1983，定理9，第3节））。最后，因为V（t，x）=G（x）=S-xfor all（t，x）∈ D、 V是C1，2also on D.（ii）我们很容易得到x 7的凸性→ 通过将（2）插入（3）来确定V（t，x）。

为了证明（14），让我们定义一个任意点（t，x）∈ [0，T]×R，并考虑τ*= τ*（t，x）和ε>0。自τε→ τa.s.，通过与（21）类似的论证，我们得到ε-1（V（t，x+ε）- V（t，x））≥ -Ee-λτ*T- t型- τ*T- t型, （23）由于支配收敛定理，极限有效。对于ε<0，在取ε后，出现了反向不等式→ 0，关系-xV（t，x）≤ -Ehe公司-λτ*T-t型-τ*T-ti公司≤ +xV（t，x），由于x 7的连续性→ xV（t，x）开(-∞, b（t））和on（b（t），∞) 对于所有t∈ [0，T]（C和D上的可见C1,2），变成xV（t，x）=-Ehe公司-λτ*T-t型-τ*T-t对于所有（t，x），其中t∈ [0，T]和x 6=b（T）。对于x=b（t），方程（14）也成立，并转化为后来证明的平滑条件（iii）。此外，由于Pt，x[τ*< T- t] 引理1的>0，（14）表明xV<0，因此为7→ 对于所有t，V（t，x）严格递减∈ [0，T]。（iii）取一对（t，x）∈ [0，T）×R位于OSB上，即x=b（T），并考虑ε>0。因为（T，x）∈D和（t，x+ε）∈ C、 我们得到V（t，x）=G（x），V（t，x+ε）>G（x+ε）。因此，考虑到不等式（22），我们得到ε-1（V（t，x+ε）-V（t，x））>ε-1（G（x+ε）-G（x））≥ -1，取ε后→ 0变为+xV（t，x）≥ -另一方面，考虑OSTτε：=τ*（t，x+ε）并遵循类似于（21）的参数得到ε-1（V（t，x+ε）- V（t，x））≤ -Ee-λτεT- t型- τT- t型, （24）除了τε→ 0 a.s.使用支配收敛定理得出+xV（t，x）≤ -1、因此，+xV（t，b（t））=-所有t均为1∈ [0，T）。