有保证金风险和召回风险的卖空

所以，U′（z*+) > 0，与U′（z*+) = U（z*+) = 0，确保某些ε>0的存在，使得U（x）>U（z*) = 0，对于所有x∈ （z）*, z*+ε).特别是，给定任何x∈ （z）*,rκ/（r）- u）]，然后是maxξ∈[z]*,x] U（ξ）>U（z*) = 0，其中U在[z]上有一个正最大值*, x] ，可在间隔的内部点或右端点实现。但是，如果给定任何x∈ （z）*,rκ/（r）- u）]，（4.1）yieldsLXU（ξ）- （λ+r）U（ξ）=rκ- （r）- u）ξ>0，对于所有ξ∈ （z）*, x） （z）*,rκ/（r）- u)). 基于这种差异，最大原则（见Protter and Weinberger 1967，定理1.3）断言，U不能在[z]的内部实现其最大值*, x] ，对于任意x∈ （z）*,rκ/（r）- u）]，因为它是一个非恒常函数，在整个时间间隔内具有非负的最大值。因此，U（x）=maxξ∈[z]*,x] U（ξ）>U（z*) = 0，对于所有x∈ （z）*,rκ/（r）- u)]. 接下来，观察Maxx∈[rκr-u，κ+c]-U（x）≥ -U（κ+c）=0，根据（3.2b）。也就是说，-U在rκr上有一个非负的最大值-u，κ+c），这可以在区间的内点或右端点实现，因为我们已经建立了-U（rκ/（r- u)) < 0. （4.1）givesLX的另一个应用(-U） （十）- （λ+r）(-U） （x）=-"ALXU（x）- （λ+r）U（x）"a=（r- u）x- 对于所有x，rκ>0∈ （rκ/（r- u），κ+c）。最大原则再次确保-U不能在[rκ/（r）的内部达到最大值- u），κ+c]，因为它是一个非常数函数，在区间内具有非负的最大值。因此-U必须在区间的右端点有唯一的最大值，这意味着对于所有x，U（x）>U（κ+c）=0∈ [rκ/（r- u），κ+c）。图4.1使用满足条件（3.7a）的参数值绘制引理4.1中定义的函数U。我们观察到U（x）≥ 0，对于所有x∈ (0, ∞) , 也就是16克里斯托弗·格洛弗和哈迪·赫利说的“V（x）≥ κ - x。

此外，我们看到“V（x）>κ- x、 对于所有x∈ （z）*, κ+c），由引理4.1建立。图4.1还说明了z处U′的连续性*,这是因为（3.2c）确保了“V”在那里的连续性。相比之下，问题（3.2）并没有指定“V”在κ+c处的连续性，这从当时的扭结inU中可以明显看出。具体来说，U′（（κ+c）-) < U′（（κ+c）+）=0，这意味着“V′（（κ+c））-) <“V（（κ+c）+）=-最后，请注意，U′在z处不是连续的*, 因为（4.2）意味着U′（z*+) > 0=U′（z*-). 这转化为“V′（z*+) > 0=“V′（z*-),这并不意外，因为问题（3.2）并没有对z处的“V′”施加连续性要求*.如果条件（3.7b）成立，根据命题3.1（b），H在κ+c处有一个单根。这意味着自由边界方程（3.5）不允许有解，而问题（3.2）也不允许有解。然而，根z的上限∈ （0，rκ/（r- u))  （0，κ+c），在条件（3.7a）下存在，满足esrκ/（r- u) ↑ κ+c为u↑rc/（κ+c），对于任何给定的r>0。这表明根本身可能满足z↑ κ+c为u↑rc/（κ+c）。由于该根是问题（3.1）的候选最优停止阈值，在条件（3.7a）下，z*:= 在条件（3.7b）下，κ+c是自然候选的最佳停止阈值。cand i日期值函数“V∈ C（0，∞) 然后由“V（x）：=κ确定- x、 为了al l x∈ (0, ∞). 经济解释是，如果股票价格的赎回率等于阈值rc/（κ+c），且贴现率为正，卖空者应立即平仓。在这种情况下，等待股价下跌是不理想的，因为预计股价会上涨得太快。接下来，支持条件（3.7c）保持不变。

在这种情况下，命题3.1（c）确定Hpossesses a root z∈ （rκ/（r- u), ∞)  （κ+c，∞), 这也是自由边界方程（3.5）的唯一解。自ˇτz∧^τκ+c=0 Px-a.s.，对于所有x∈ (0, ∞), 我们推测问题（3.1）可以通过立即停止来解决，在这种情况下，z*:= κ+c是最佳停止阈值的自然候选。候选值函数“V∈ C（0，∞) 然后由“V（x）：=κ确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞). 这似乎在经济上是合理的，因为它表明，如果股价相对于贴现率的漂移率足够大，并且贴现率是积极的，那么短期卖方应该立即平仓。换言之，如果预计股价将以足够高的速度升值，那么等待股价下跌就会破坏价值。同样的经济逻辑适用于条件（3.7d）成立的情况，在这种情况下，股票价格的漂移率相对于贴现率更高。我们再次推测，最佳停止阈值为z*:= κ+c和值函数“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）：=κ给出- x、 对于所有x∈ (0, ∞).接下来，fixu<0，观察rκ/（r- u) ↓ 0作为r↓ 0，表示z↓ 0as r↓ 0，其中z∈ （0，rκ/（r- u））是命题3.1（a）中H的根。根据对条件（3.7a）成立时情况的讨论，这表明最佳停止阈值为z*:= 当条件（3.7e）保持时为0，在这种情况下为ˇτz*= ∞, 因为原点是X的自然边界。

从经济上讲，这抓住了这样一种直觉，即当股票价格漂移率为负且贴现率为零时，卖空者自愿平仓从来都不是最优的，因为预计股票价格会随着时间的推移而下跌，而不实现早期盈利的机会成本为零。带保证金风险和召回风险的卖空17基于上述论点，我们得到候选价值函数“V”的以下表达式∈ C（0，∞) ∩ C（0，κ+C）和er条件（3.7e）：“V（x）：=J（x，ˇτ）=Ex（κ- X^τκ+c∧ρ) = κ -Ex"A{^τκ+c≤ρ} X^τκ+c"a- Ex"A{τκ+c>ρ}Xρ"a=κ- （κ+c）Ex"APx（^τκ+c）≤ ρ| F^τκ+c）"a- Ex（Xρ）+ExAEx"A{710;τκ+c≤ρ} Xρ| F^τκ+c"a~a=κ- （κ+c）ExCZ∞^τκ+cλe-λtdta-Z∞λe-λtEx（Xt）dt+ExCZ∞^τκ+cλe-λtXtdta=κ- （κ+c）Ex"Ae-λ^τκ+c"a-Z∞λxe-(λ-u）tdt+ExCZ∞λe-λ（^τκ+c+s）X^τκ+c+sdsa=κ- （κ+c）ψλ（x）ψλ（κ+c）-λxλ- u+ExC-λ^τκ+cZ∞λe-λsEx^τκ+c+s | F^τκ+c"adsa=κ- （κ+c）ψλ（x）ψλ（κ+c）-λxλ- u+ExC-λ^τκ+cZ∞λe-λsEX^τκ+c（Xs）dsa=κ- （κ+c）ψλ（x）ψλ（κ+c）-λxλ- u+μZ∞λ（κ+c）e-(λ-u）sdsaEx"Ae-λ^τκ+c"a=κ- （κ+c）ψλ（x）ψλ（κ+c）-λxλ- u+λ（κ+c）λ- uψλ（x）ψλ（κ+c）=κ-λxλ- u+u（κ+c）λ- 对于所有x，uψλ（x）ψλ（κ+c），（4.3）∈ （0，κ+c）和“V（x）=κ- x、 对于所有x∈ [κ+c，∞). 上述第三个等式来自于一个事实，即经验随机变量是有限的，这意味着1{τκ+c≤ρ} X^τκ+c=1{τκ+c≤ρ} （κ+c），对于所有x∈ （0，κ+c）。还请注意，表达式X^τκ+c+s≥ 0，第四至第六行定义良好，自-λ{τκ+c=1{τκ+c<∞}e-λ^τκ+c。最后，第六个和第九个等式采用拉普拉斯变换恒等式（2.7b）。下面的引理导出了上述候选值函数的下界。在定理4.3（e）的证明中，证明了在条件（3.7e）下，c andidate value函数和相关的候选最优停止阈值解决了问题（3.1）。引理4.2。

假设条件（3.7e）保持不变，并让“V∈ C（0，∞) ∩ C（0，κ+C）由（4.3）除以（0，κ+C）和“V（x）：=κ- x、 对于所有x∈ [κ+c，∞). 然后“V（x）>κ- x、 对于所有x∈ （0，κ+c）。证据定义函数U∈ C（0，∞) ∩C（0，κ+C），通过设置U（x）：=“V（x）-(κ -x） ，对于所有x∈ (0, ∞). 我们将证明，对于所有x，U（x）>0∈ （0，κ+c）。注意，u<0可确保ν<-/2、因此，ν+2λσ- ν - 1 > |ν| - ν -1 > 0. （4.4）因此，ddxψλ（x）x=xψ′λ（x）- ψλ（x）x=μν+2λσ- ν - 1aψλ（x）x>0,18 Kristofer GLOVER和HARDY HULLEY0κ+c0xU（x）图4.2。引理4.2中定义的函数，在条件（3.7e）下。对于所有x∈ (0, ∞), 根据（2.5）。也就是说，函数（0，∞)  x 7→ψλ（x）/x是单调递增的。最后，应用（4.3）givesU（x）=μλ- u玟（κ+c）ψλ（x）ψλ（κ+c）- xa=uxλ- u玟ψλ（x）xκ+cψλ（κ+c）- 1a>0，对于所有x∈ （0，κ+c），因为u<0且ψλ（x）/x<ψλ（κ+c）/（κ+c）。图4.2使用满足条件（3.7e）的参数值绘制引理4.2中定义的函数U。我们观察到U（x）≥ 0，对于所有x∈ (0, ∞), 也就是说，候选值函数满足“V（x）≥ κ - x、 对于所有x∈ (0, ∞). 此外，根据引理4.2，我们可以看到“V（x）>κ-x、 对于所有x∈ （0，κ+c）。κ+c处的kinkin U表示“V在该点上是不可区分的。这可以通过区分（4.3）得到“V”（κ+c）-) = -λλ - u+u（κ+c）λ- uψ′λ（κ+c）ψλ（κ+c）=-λλ - u+uλ - uCν+2λσ-νa< -λλ - u+uλ - u= -1=“V′（（κ+c）+），根据（4.4）和s i nceu<0。根据命题3.1（f），如果条件（3.7f）成立，H等于零，这表明问题3.1不允许在这种情况下唯一确定的最佳停止阈值。

事实上，从（3.6）可以看出bv（x）=κ-x、 对于所有x∈ (0 , ∞),在条件（3.7f）下，（0，κ+c）中的每个点满足自由边界方程（3.5）。这表明任何停车时间都可以解决问题3.1，在这种情况下，选择即时停车最为方便。因此，候选最佳停止阈值为z*= κ+c，在条件（3.7f）下，以及候选值函数“V∈ C（0，∞) 定义为“V（x）：=κ- x、 对于所有x∈ ( 0, ∞). 经济学解释是，当股票价格漂移率和波动率均为零时，卖空者对何时平仓不感兴趣。特别是，等待没有任何优势，因为预计股价不会下跌，但由于零贴现率，waiti ngalso没有实施任何优惠。带保证金风险和召回风险的卖空19最后，请注意条件（3.7g）是条件（3.7d）的极限情况，如r↓ 因此，由于条件（3.7d）下的候选最佳停止阈值为z*:= κ+c和候选值函数“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）：=κ给出-x、 对于所有x∈ (0, ∞), 我们推测，如果条件（3.7g）成立，情况也是如此。经济学的解释是，如果股票价格的漂移率为正，贴现率为零，那么立即平仓是最佳的，因为预计股票价格会随着时间的推移而升值。4.2. 验证候选解决方案。下一个结果证实了上述候选最优停止策略和候选值函数在其相关参数制度下确实解决了问题（3.1）。定理4.3。

最佳停车时间τ*∈ S和值函数媫V∈ C（0，∞) 对于问题（3.1），由τ给出*= ˇτz*和媫V=“V，其中（a）z*∈ （0，rκ/（r- u))  （0，κ+c）是（3.5）和“V”的解∈ C（0，∞) ∩C（z*, κ+c）由（3.4）除以（z）确定*, κ+c）和“V（x）=κ- x、 对于所有x∈ （0，z*] ∪[κ+c，∞),如果条件（3.7a）成立；（b） z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞), 如果条件（3.7b）成立；（c） z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞), 如果条件（3.7c）成立；（d） z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞), 如果条件（3.7d）成立；（e） z*= 0和“V”∈ C（0，∞) ∩ C（0，κ+C）由（4.3）除以（0，κ+C）和“V（x）=κ确定- x、 对于所有x∈ [κ+c，∞), 如果条件（3.7e）保持不变。（f） z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞), 如果条件（3.7f）成立；和（g）z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞), 如果条件（3.7g）保持不变。证据（a） ：假设条件（3.7a）成立，在这种情况下z*∈ （0，κ+c）是（3.5）和“V”的唯一解∈ C（0，∞) ∩ C（z*, κ+c）由（3.4）除以（z）确定*, κ+c）和“V（x）=κ-x、 对于所有x∈ （0，z*] ∪[κ+c，∞). 注意“V∈ C（0，κ+C），因为（3.2c）确保“V′在z处连续*和|“V′（（κ+c））-)| < ∞, 通过检查（3.4）。另一方面，“V/∈ C（0，κ+C），sinc e“V′（z*+) > 0=“V′（z*-), 正如下面引理4.1讨论中所述。因此，标准It^o公式不能应用于工艺R+ t 7→ e-（λ+r）（t∧^τκ+c）“V（Xt∧τκ+c）。然而，“V∈ C（0，z*] ∩C【z】*, κ+c]，自|“V′（z*+)| < ∞ 和|“V′”（（κ+c）-)| < ∞, 通过检查（3.4）。

因此，我们可以将Peskir（2005）20 Kristofer GLOVER和HARDY Hulley的局部时空公式应用于上述过程，以获得-（λ+r）（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）-Zt公司∧^τκ+c（λ+r）e-（λ+r）s“V（Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）s“V′（Xs）dXs+Zt∧^τκ+c{Xs6=z*}e-（λ+r）s“V′（Xs）dhXis+Zt∧^τκ+c{Xs=z*}e-（λ+r）s"A“V′（Xs+）-“V′（Xs-)"adlz*s（X），对于所有t≥ 0，其中本地时间进程lz*（十） 量化X在z附近花费的时间*（见Peskir和Shiryaev 2006，第3.5节）。请注意，上面的最后一项为零，因为（3.2c）确保“V′（z*+) =“V′（z*-), 而恒等式“V（Xs）=1{Xs≤z*}(κ - Xs）+1{Xs>z*}“V（Xs），“V′（Xs）=-1{Xs≤z*}+ 1{Xs>z*}“V′（Xs），且{Xs6=z*}“V′（Xs）=1{Xs>z*}“V′（Xs），适用于所有s≥ 0，遵循“V”的定义。因此，我们获得-（λ+r）（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）+Zt∧^τκ+c{Xs≤z*}e-（λ+r）s"A-uXs- （λ+r）（κ- Xs）"ads+Zt∧τκ+c{Xs>z*}e-（λ+r）s玟Xs“V′（Xs）+σXs“V′（Xs）-（λ+r）“V（Xs）ads+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）sσXs“V′（Xs）dBs=“V（X）+Zt∧^τκ+c{Xs≤z*}e-（λ+r）s"A（r- u）Xs-rκ- λ(κ - Xs）"ads+Zt∧τκ+c{Xs>z*}e-（λ+r）s"ALX“V（Xs）- （λ+r）“V（Xs）"ads+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）sσXs“V′（Xs）dBs≤“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-（λ+r）s（κ- Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）sσXs“V′（Xs）dBs，对于所有t≥ 0，其中不等式遵循{Xs≤z*}"A（r- u）Xs- rκ- λ(κ - Xs）"a≤ -1{Xs≤z*}λ(κ - Xs），适用于所有s≥ 0，因为命题3.1（a）确定z*<rκ/（r）- u），以及{Xs>z*}"ALX“V（Xs）- （λ+r）“V（Xs）"a=-1{Xs>z*}λ(κ - Xs），适用于所有s≥ 0，自“V满足度（3.2a）超过（z*, κ+c）。接下来，观察“V′的边界大于（0，κ+c）”，因为“V”∈ C（0，κ+C）和“V′（0+）”-这足以确保局部鞅+ t 7→Zt公司∧^τκ+ce-具有保证金风险和召回风险的（λ+r）sσXs“V′（Xs）dbs卖空实际上是一个一致可积鞅。

给定任意停止时间τ∈ S、 然后应用可选采样定理得到“V（x）≥ ExCZτ∧^τκ+cλe-（λ+r）s（κ- Xs）ds+e-（λ+r）（τ∧^τκ+c）“V"AXτ∧τκ+ca≥ ExCZτ∧^τκ+cλe-（λ+r）t（κ- Xt）dt+e-（λ+r）（τ∧^τκ+c）"Aκ-Xτ∧^τκ+ca=J（x，τ），对于所有x∈ (0, ∞), 因为引理4.1建立了“V（x）≥ κ - x、 这意味着“V（x）≥<V（x），对于所有x∈ ( 0, ∞). 另一方面，函数（0，∞)  x 7→ J（x，ˇτz*)是具有数据（3.2a）和（3.2b）的Dirichlet问题的唯一解决方案，这是由于Dirichlet问题解决方案的托氏表示定理（有关适用于我们的设置的相关结果的精确公式，请参见Vigo Aguiar et al.2005，定理1）。因此，“V（x）=J（x，ˇτz*) ≤<V（x），对于所有x∈ (0, ∞), 自“V”满足（3.2a）和（3.2b）的构造。（b）：假设条件（3.7b）成立，在这种情况下z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定- x、 对于所有x∈ (0, ∞). 然后给出了It^o公式-（λ+r）（t∧τκ+c）（κ- Xt公司∧^τκ+c）=e-（λ+r）（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）-Zt公司∧^τκ+c（λ+r）e-（λ+r）s“V（Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）s“V′（Xs）dXs+Zt∧^τκ+ce-（λ+r）s“V′（Xs）dhXis=“V（X）-Zt公司∧^τκ+ce-（λ+r）s"ALX“V（Xs）- （λ+r）“V（Xs）"ads-Zt公司∧^τκ+ce-（λ+r）sσXsdBs≤“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-（λ+r）s（κ- Xs）ds-Zt公司∧^τκ+ce-（λ+r）sσXsdBs，（4.5）对于所有t≥ 要证明上述不等式，请注意0<r- u=r-rcκ+c=rκ+c，因为假设0<rc/（κ+c）=u<r。因此，LX“V（x）- （λ+r）“V（x）=-ux- （λ+r）（κ- x） =（r- u）x- rκ- λ(κ -x）≤ （r）- u）（κ+c）- rκ- λ(κ - x） =-λ(κ - x） ，对于所有x∈ （0，κ+c）。请注意+ t 7→Zt公司∧^τκ+ce-（λ+r）sσxsdbs是一致可积鞅。给定任意停止时间τ∈ S、 选择停止定理的应用给出了“V（x）≥ ExCZτ∧^τκ+cλe-（λ+r）s（κ-Xs）ds+e-（λ+r）（τ∧τκ+c）（κ- Xτ∧^τκ+c）a=J（x，τ），22 Kristofer GLOVER和HARDY Hulley，对于所有x∈ (0, ∞).

这意味着“V（x）≥<V（x），对于所有x∈ (0, ∞). 另一方面，“V（x）=J（x，^τκ+c）≤<V（x），对于所有x∈ (0, ∞).（c） ：假设条件（3.7 c）保持不变，在这种情况下z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定-x、 对于所有x∈ (0, ∞). 该证明与（b）部分的证明相同，只是在这种情况下，（4.5）中的不等式遵循lx“V（x）- （λ+r）“V（x）=-ux- （λ+r）（κ- x） =（r- u）x- rκ- λ(κ -x）≤ （r）- u）（κ+c）- rκ- λ(κ - x） <-λ(κ - x） ，对于所有x∈ （0，κ+c），s i nce0<r- u<r-rcκ+c=rκ+c，根据0<rc/（κ+c）<u<r.（d）的假设：假设条件（3.7d）成立，在这种情况下，z*= κ+c和“V”∈ C（0，∞) 由“V（x）=κ”确定-x、 对于所有x∈ (0, ∞). 该证明与（b）部分的证明相同，只是在这种情况下，（4.5）中的不等式遵循lx“V（x）- （λ+r）“V（x）=-ux- （λ+r）（κ- x） =（r- u）x- rκ- λ(κ - x）≤ -rκ- λ(κ - x） <-λ(κ - x） ，对于所有x∈ (0, ∞), 假设u≥ r、 （e）：假设条件（3.7e）成立，在这种情况下z*= 0和“V”∈ C（0，∞) ∩C（0，κ+C）由（0，κ+C）上的（4.3）和“V（x）=κ”决定-x、 对于所有x∈ [κ+c，∞). 注意“V∈ C（0，κ+C），通过检查（4.3），s i nceψλ∈ C（0，κ+C）。因此，我们可以应用It^o公式来获得-λ（t∧^τκ+c）“V（Xt∧^τκ+c）=“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-λs“V（Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-λs“V′（Xs）dXs+Zt∧^τκ+ce-λs“V′（Xs）dhXis=“V（X）+Zt∧^τκ+ce-λs"ALX“V（Xs）- λ“V（Xs）"ads+Zt∧^τκ+ce-λsσXs“V′（Xs）dBs=“V（X）-Zt公司∧^τκ+cλe-λs（κ-Xs）ds+Zt∧^τκ+ce-λsσXs“V′（Xs）dBs，对于所有t≥ 0，其中最终等式从LX“V（x）=LX獢-λxλ- ua+u（κ+c）λ-uLXψλ（x）ψλ（κ+c）=-λuxλ- u+u（κ+c）λ- uλψλ（x）ψλ（κ+c）=λ玟κ-λxλ- u+u（κ+c）λ- uψλ（x）ψλ（κ+c）a- λCκ -λxλ- u+uxλ- ua=λ“V（x）- λ(κ - x） ，对于所有x∈ （0，κ+c），根据（4.3）和ψλ满足（2.3）的事实。