扩散模型中的最优再保险与投资

其主要特点是撒哈拉效用函数在整个实线上都有很好的定义，一般来说，风险规避是非单调的。更正式地说，我们回顾效用函数U:IR→ 如果IR的绝对风险规避（ARA）函数A（x）允许以下表示，则IR属于Sahara类：-U（x）U（x）=：A（x）=apb+（x- d） ，（4）其中a>0是风险规避参数，b>0是尺度参数，d∈ IR是财富的门槛。让我们试试ansatzV（t，x，y）=U（x）~V（t，y）。（5） 备注1。根据（2）和（5），最优投资策略有一个简单的表达式：a*（t，x，y）=u（t，y）- A（x）σ（t，y，u）σ（t，y）A（x）（σ（t，y）+σ（t，y））。（6） 特别是*（t，x，y）以x中的线性函数为界，因此我们假设IIE[RT（a*t） dt]<∞ 已满。在我们的假设下，如果HJB方程允许经典解，则推论1中的假设是满足的。让我们注意到*（t，x，y）受再保险策略的影响。在这种情况下（3）的读数如下：0=U（x）~Vt+uY（t，Y）U（x）~Vy+σY（t，Y）U（x）~Vyy+U（x）~V（t，Y）supu∈[0，I]ψt，x，y（u），其中ψt，x，y（u）。=m（t，y，u）+u（t，y）- 2u（t，y）σ（t，y，u）σ（t，y）A（x）- σ（t，y，u）σ（t，y）A（x）2[σ（t，y）+σ（t，y）]A（x。（7） 根据我们的假设，ψt，x，y（u）在u中是连续的，因此它在紧集[0，I]中允许一个最大值。然而，我们需要额外的要求来保证唯一性。引理3。如果m（t，y，u）在u中是凹的∈ [0，I]和σ（t，y，u）在u中是非负的和凸的∈ [0，I]，则存在唯一的maximiser for SUPU∈[0，I]ψt，x，y（u）。证据我们证明了ψt，x，y（u）是两个凹函数的和，因此它本身是凹的。因此，在[0，I]中只存在一个最大化器。现在，由于m（t，y，u）是严格凹的，我们只需要证明σ（t，y，u）σ（t，y）A（x）+2u（t，y）σ（t，y，u）σ（t，y）是凸的。

我们知道，当参数为非负时，这个二次型是凸的和递增的。回顾σ（t，y，u）≥ 0通过假设，我们可以得出上述函数是凸的，因为它是一个非递减凸函数与一个凸函数（σ（t，y，u）是so，通过假设）的组合。证明是完整的。备注2。不需要唯一性。如果u*（t，x，y）不是唯一的，我们必须选择一个可测量的版本来确定最佳策略。5.1比例再保险让我们考虑与非廉价比例再保险的经典风险模型的差异近似，参见示例【15，第2章】。更正式地说，dXt=（p- q+qu）dt+σu dWt，X=X，（8），p<q，σ>0。这里I=1。从经济角度来看，保险人转让比例为1- 她对再保险人的风险u（isu=0对应于全额再保险）。在这种情况下，通过（7），我们的优化问题减少到∈[0,1]qu+u（t，y）- 2u（t，y）σ（t，y）A（x）σu- σ（t，y）A（x）σu2[σ（t，y）+σ（t，y）]A（x）。（9） 最优策略的特点如下。提案1。在模型（8）下，最优再保险投资策略由（u）给出*（t，x，y），a*（t，x，y）），带U*（t，x，y）=0（t，x，y）∈ A（σ（t，y）+σ（t，y））q-u（t，y）σσ（t，y）σσ（t，y）A（x）（t，x，y）∈ （A）∪ A） C1（t，x，y）∈ A、 （10）何处=（t，x，y）∈ [0，T]×IR:q<u（T，y）σ（T，y）σ（T，y）+σ（T，y）,A=（t，x，y）∈ [0，T]×IR:q>σ[σA（x）σ+u（T，y）σ（T，y）]σ（T，y）+σ（T，y）,安达*（t，x，y）=u（t，y）- A（x）σu*（t，x，y）σ（t，y）A（x）（σ（t，y）+σ（t，y））。（11） 证明。a的表达式*（t，x，y）可以通过（6）容易地获得。在Emma 3中，存在一个唯一的maximiser u*（t、x、y）表示supu∈[0，I]ψt，x，y（u），其中ψt，x，y（u）在（7）中定义，替换m（t，y，u）=p- (1 - u） q和σ（t，y，u）=σu。现在我们注意到（t，x，y）∈ A.=>ψt，x，y（0）u<0，因此完全再保险是最优的。

另一方面，（t，x，y）∈ A.=>ψt，x，y（1）u> 0，因此在这种情况下，零再保险是最优的。现在让我们观察一下（t，x，y）∈ A.=> q<u（t，y）σ（t，y）σ（t，y）+σ（t，y）<σ[σA（x）+u（t，y）σ（t，y）]σ（t，y）+σ（t，y），这意味着∩ A=. 最后，当（t，x，y）∈ （A）∪ A） C，最优策略由ψt，x，y（u）的唯一驻点给出。通过解决ψt，x，y（u）u=0，我们得到（10）中的表达式。备注3。在p（t，y）、q（t，y）、σ（t，y）依赖于时间和环境过程的轻微推广下，前面的结果成立。在这种情况下，将有一个额外的外部因素Y的影响。命题1也适用于指数效用函数。推论2。对于U（x）=-e-βx当β>0时，最优策略为（u*（t，y），a*（t，y）），带U*（t，y）=0（t，y）∈ A（σ（t，y）+σ（t，y））q-u（t，y）σσ（t，y）σσ（t，y）β（t，y）∈ （A）∪ A） C1（t，y）∈ A、 （12）何处=（t，y）∈ [0，T]×IR:q<u（T，y）σ（T，y）σ（T，y）+σ（T，y）,A=（t，y）∈ [0，T]×IR:q>σ[σσβ+u（T，y）σ（T，y）]σ（T，y）+σ（T，y）,安达*（t，y）=u（t，y）- βσu*（t，y）σ（t，y）β（σ（t，y）+σ（t，y））。（13） 证明。通过定义ARA函数，指数效用函数对应于特殊情况A（x）=β。因此，我们可以通过替换ARA函数来应用命题1。所有计算都保持不变，但最优策略将独立于当前财富水平x.5.2超额损失再保险现在我们考虑最优超额损失再保险问题。在间隔u中选择保留级别∈ [0, +∞] 对于任何未来的索赔，保险人应对超过该阈值u的所有金额负责。例如，u=∞ 对应于无再保险。

无投资的盈余过程由给出，另见[5]dXt=θZu′F（z）dz-(θ-η） IIE[Z]dt+sZu2z'F（z）dz dWt，X=X，（14），其中θ，η>0分别是再保险人和保险人的安全负荷，且'F（z）=1- F（z）是索赔规模分布函数的尾部。在续集中，我们需要IIE[Z]<∞ 为了演示的简单性，F（z）<1z∈ [0, +∞). 还要注意，它通常是θ>η。然而，我们并不排除所谓的廉价再保险，即θ=η。通过（7），我们得到以下最大化问题：supu∈[0,∞]θZu′F（z）dz-2u（t，y）σ（t，y）qRu2z'F（z）dz+σ（t，y）A（x）Ru2z'F（z）dz2[σ（t，y）+σ（t，y）]。（15） 提案2。在模型（14）下，假设（15）中的函数在u中是严格凹的。存在唯一的最大化器u*（t，x，y）由U给出*（t，x，y）=（0（t，y）∈ A^u（t，x，y）（t，y）∈ [0，T]×IR\\A（16），其中=（t，y）∈ [0，T]×IR：θ≤2u（t，y）σ（t，y）σ（t，y）+σ（t，y）^u（t，x，y）是以下方程的解：θ（σ（t，y）+σ（t，y））=2u（t，y）σ（t，y）Zu2z'F（z）dz-u+σ（t，y）A（x）u。（17） 证明。我们首先注意到，根据L\'Hospital的规则，limu→∞（Ru'F（z）dz）Ru2z'F（z）dz=0。（15）中函数对u的导数为θ - u2u（t，y）σ（t，y）Ru2z'F（z）dz-+ σ（t，y）A（x）σ（t，y）+σ（t，y）\'F（u）。考虑括号θ之间的表达式- u2u（t，y）σ（t，y）Ru2z'F（z）dz-+ σ（t，y）A（x）σ（t，y）+σ（t，y）。（18） SinceRu2z'F（z）dz≤ u、 对于任何（t，y）我们都可以看到∈ （15）中的函数是严格递减的。因此u*= 本例中为0。对于（t，y）/∈ 敬畏获得byL\'Hospital的规则，limu→0Ru2z'F（z）dzu=1。这意味着要最大化的函数增加到接近于零。特别是，最大值不取零。此外，如果IIE[Z]<∞, 然后（18）倾向于-∞ 作为u→ ∞. 如果IIE[Z]=∞, thenlimu公司→∞Ru2z'F（z）dzu=0。因此，在这种情况下，（18）倾向于-∞ 作为u→ ∞.

因此，最大istaken in（0，∞), 凹性保证了^u（t，x，y）的唯一性。现在证明已经完成。推论3。在命题2的假设下，最优再保险投资策略如下所示：u（t，y）- A（x）σ（t，y）qRu*（t，x，y）2z'F（z）dzA（x）（σ（t，y）+σ（t，y）），u*（t，x，y）,带u*（t，x，y）在（16）中给出。命题2的主要假设，即（15）中函数的凹度，可能不容易验证。在下一个结果中，我们放松了这个假设，只需要方程（17）的解的唯一性。提案3。在模型（14）下，假设方程（17）对任何（t，x，y）都有唯一解^u（t，x，y）∈ [0，T]×IR。然后是（15）的唯一最大值。证据在命题2的证明中，我们仅使用凹度来验证maximiser的唯一性。因此，同样的证据也适用。5.3独立市场假设保险和金融市场在给定条件下是有条件独立的。也就是说，设σ（t，x）=0。然后到（6）我们得到*（t，x，y）=u（t，y）A（x）σ（t，y）。备注4。假设σ（t，y，u）≥ 正常情况下为0。当金融市场独立于保险市场时，保险公司将其盈余中的较大金额投资于风险资产。事实上，读者可以很容易地将上述公式与（6）进行比较。关于再保险问题，根据（7），我们必须最大化该数量：ψt，x，y（u）：=m（t，y，u）+u（t，y）- σ（t，y，u）σ（t，y）A（x）2σ（t，y）A（x）。提案4。假设ψt，x，y（u）在u中是严格凹的∈ [0，I]。

然后，最优再保险策略接受以下表达式：u*（t，x，y）=0（t，x，y）∈ A^u（t，x，y）（t，x，y）∈ [0，T]×IR \\（A∪ AI）I（t，x，y）∈ AI，（19）何处=（t，x，y）∈ [0，T]×IR：m（t，y，0）u≤ A（x）σ（t，y，0）σ（t，y，0）u,AI=（t，x，y）∈ [0，T]×IR：m（t，y，I）u≥ A（x）σ（t，y，I）σ（t，y，I）u,^u（t，x，y）是m（t，y，u）u=A（x）σ（t，y，u）σ（t，y，u）u、 证明。由于ψt，x，y（u）在u中是连续的，它在紧集[0，I]中允许一个唯一的最大化器。导数为m（t，y，u）u-A（x）σ（t，y，u）u型=m（t，y，u）u- A（x）σ（t，y，u）σ（t，y，u）u、 If（t，x，y）∈ A、 那么ψt，x，y（0）u≤ 0和ψt，x，y（u）在[0，I]中减小，因为它是凹的；因此u*（t，x，y）=0是最佳值（t，x，y）∈ A、 现在请注意A∩ AI=, 因为ψt，x，y（u）的凹度。If（t，x，y）∈ 哎，那么ψt，x，y（1）u≥ 0和ψt，x，y（u）在[0，I]中增加，因此在u中达到最大值*（t，x，y）=I.最后，如果（t，x，y）∈ [0，T]×IR \\（A∪ AI），最大值与唯一驻点^u（t，x，y）重合∈ （0，I）。上述结果的主要结果是，再保险和投资决策仅通过盈余过程而不是通过参数相互依赖。现在我们将命题1和命题2专门化为σ（t，x）=0的特例。推论4。假设σ（t，x）=0，并考虑比例保险（8）的情况。最佳保留级别由U给定*（x） =qσA（x）∧ 1.证据这是命题1的直接结果。事实上，读者可以轻松地验证A= 公式（10）简化如上。正如预期的那样，最优自留水平与再保险成本成正比，与风险规避成反比。此外，再保险仅为距离d不太远的财富购买（回忆等式（4））。注意，最优策略独立于t和y，即。

它只受当前财富的影响。最后，完全再保险永远不是最优的。推论5。假设σ（t，x）=0，并考虑超额损失再保险（14）。最佳保留级别由U给定*（x） =θA（x）。证据使用命题2，我们很容易检查A= 通过方程（17），我们得到了显式解u*（x） 。再次，自留水平随着再保险安全负荷的增加而增加，随着风险规避参数的降低而降低。此外，它随当前财富x和阈值D之间的距离而增加。6数值结果在本节中，我们提供了一些基于命题1的数值例子。除非另有说明，否则所有模拟均根据下表1中的参数进行。表1：模拟参数参数值u0.08σ0.5σ0.5σ0.5q 0.05x 1a 1b 1d 0可将常数参数的选择视为fixing（t，y，x）∈[0，T]×IR。请注意，该策略仅通过参数依赖于{Yt}。现在，我们将说明该策略如何依赖于不同的参数。下图中，实线表示再保险策略，虚线表示投资策略。首先，我们分析风险资产的波动系数如何影响最优策略。在图1和图2中，我们注意到了非常不同的行为。一方面，保留水平u*对于σ是凸的，直到某个阈值，超过该阈值，零再保险是最优的。另一方面，当σ>0时（见图2a）u*在给定点之前为空，并且从该点开始相对于σ凹陷。最后，对于σ=0（见图2b），保留水平是恒定的（见推论4）。

让我们观察一下，图2b中最优投资的规律性是由于u*（保持不变）。图1：σ对最优再保险投资策略的影响。（a） 案例σ>0（b）案例σ=0图2：σ对最优再保险投资策略的影响。现在让我们关注图3。当σ增加时，保险人迅速从零分保转为全分保，而投资*strong取决于保留级别u*. σ>0时（见图3a），只要u*= 1，a*随σ减小；当u*∈ （0，1）开始减少，a*增加；最后，当你*稳定在0，然后a*稳定在启动水平。相反，当σ=0时，投资保持不变，u*渐近变为0。（a） 案例σ>0（b）案例σ=0图3：σ对最优再保险投资策略的影响。正如前一节所指出的，当前财富水平x在评估最优策略中起着重要作用，在σ=0的特殊情况下仍然如此。在下面的图4中，我们将最优策略说明为x的函数。再保险和投资策略都是对称的，x=d=0。此外，当x远离阈值财富d时，它们都会增加。这并不奇怪，因为风险厌恶随着距离d的距离而减少。图4：当前财富x对最优再保险投资策略的影响。在接下来的图5中，我们研究了对效用函数修改的最优策略反应。正如预期的那样，风险规避程度越高，最优保护水平越高，风险资产投资越低（见图5a）。当b增加时，投资和保留水平都会单调增加（见图5b）。让我们回忆一下B→ 0对应于HARA实用程序函数。

最后，通过图5c，我们注意到d的任何变化都会产生与currentwealth x变化相同的结果（见图4）。（a） 风险规避对最优策略的影响。（b） 尺度参数对最优策略的影响。（c） 财富阈值对最优策略的影响。图5：撒哈拉效用函数参数对最优再保险投资策略的影响。参考文献【1】M.Brachetta和C.Ceci。随机因素模型的最优比例再保险和投资。《保险：数学与经济学》（出版），2019年。[2] H.B–uhlmann。风险理论中的数学方法。Springer Verlag，1970年。[3] A.Chen、A.Pelsser和M.Vellekoop。使用sahara效用函数建模非单调风险规避。《经济理论杂志》，146（5）：2075–20922011。[4] B.德费内蒂。我的问题是“pieni”。G、 Ist。意大利。Attuari，11:1–881940。[5] J.Eisenberg和H.Schmidli。在差分近似下通过保险对注资进行最优控制。Bltter DGVFM，2009年1月30日至13日。[6] H.U.Gerber。数学风险理论导论。HuebnerFoundation专著，1979年。[7] J.格兰德尔。风险理论方面。Springer Verlag，1991年。[8] Guerra先生和Centeno先生。最优再保险政策：调整系数和预期效用标准。《保险：数学与经济学》，42（2）：529–5392008。[9] C.Irgens和J.Paulsen。对保险组合的风险敞口、再保险和投资进行最优控制。《保险：数学与经济学》，35:21–512004。[10] Z.Liang和E.Bayraktar。最优再保险和投资，具有不可观察的索赔规模和强度。《保险：数学与经济学》，55:156–166，2014年。[11] 马涅先生和圣塔克罗斯先生。部分信息下的指数效用最大化。《金融与随机》，14（3）：419–4482010年9月。[12] S.D.Promislow和V.R.Young。

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