鲁棒数学公式和概率描述

附录A.2中的备注1）。02468价格0 200 400 600 800 1000 1400 1600 1800 200000.51倍股份基金会图表图3：带有显式Euler离散化的Franke Westerhoff模型。表3.02468Price0 200 400 600 800 1000 120000.51 TimesharesFundementalistChartistFigure 4:Franke-Westerhoff模型动力学中的爆破与显式Euler离散化。参数如表3所示，σf=1.15。人们可能会认为，大的时间步长t=1可能是数值不稳定的原因。图5显示，即使对于时间步长，我们仍然会得到爆破t=0.1。爆炸的原因可见于图6。nf（t）和nc（t）的值保留[0，1]的区间，同时保持关系nf（t）+nc（t）=1。随后，这导致价格计算失败。Franke和Westerhoff似乎已经意识到了这种模型行为，因为他们在[32，33]中陈述了以下附加约束，πcf（a（tk-1） ）=最小值{1，νexp（a（tk-1） ）}，πfc（a（tk-1） =最小值{1，νexp(-a（tk-1） ）），（17）到2009年推出的原始模型。这一附加约束明确保证了宪章派和原教旨主义者nf，nc分数的界限[0，1]。因此，这一额外的02468价格0 100 200 300 400 500 600 70000.51倍股票基金会图表图5：采用显式Euler离散化的Franke-Westerhoff模型的动力学放大。参数如表3所示，σf=1.15和t=0.1.02468价格1140 1145 1150 1155 1160 1165 1170 117500.51分时基金会图表图6：使用显式Euler离散化放大Franke Westerhoff模型的不稳定性。完整图见图4。参数如表3所示，σf=1.15。约束可防止动力学崩溃。

我们将在下一节3.2中说明，通过应用改进的时间离散化，该约束可以变得多余。3.2 Franke-Westerho ff模型的稳健公式在本节中，我们进一步分析了Franke-Westerho ff模型在未实施附加约束（17）的情况下的稳定性问题。我们首先表明，连续SDE ODEsystem（16）是稳定的，没有约束（17）。基于这一结果，我们证明了在应用改进的半隐式时间离散化时，连续系统对所有参数集都保持了稳定性。在上一节中，我们已经用数值方法证明了动力学的爆破是由于违反了代理分数的界限[0，1]引起的。命题1表明，这些违规行为是由数值格式引起的，并不是从连续动力学本身继承来的。提案1。SDE-ODE系统（16）的任何解都保留在集合V中：=R×U，U：={（x，x）T∈ R | x≥ 0，x≥ 0，x+x≤ 1}.有关证明，请参阅附录A.1。命题1表明，观测到的爆破是通过SDE-ODE系统的离散化引入的（16）。为了避免不稳定性，我们引入了以下半隐式Euler离散化，P（t+t） =P（t）+tuDF W（t）+√tu（nf（t）σf+nc（t）σc）η，η~ N（0，1），nf（t+t） =nf（t）+t[常闭（t+t） πcf（a（t，P，nf，nc））- nf（t+t） πfc（a（t，P，nf，nc））]，nc（t+t） =常闭（t）+t[nf（t+t） πfc（a（t，P，nf，nc））- nc（t+t） πcf（a（t，P，nf，nc））]。（18） 在附录A.2中，我们展示了半隐式格式（18）可以用显式格式重写（见等式（37））。因此，显式格式和半隐式格式的计算成本具有可比性。该方案满足一阶收敛速度。这个半隐式格式（18）保留了系统（16）的不变性质，这是一个很强的稳定性结果。提案2。

对于所有人t>0并纠正初始条件（P（t）、nf（t）、nc（t））∈ V数值解（P（t+kt） ，nf（t+k）t） ，nc（t+kt） （）∈ 五、 k=0，1。。。，由（18）中的方案定义的N对于任意数量的N保留在集合V中∈ N和步长t>0。有关证明，请参阅附录A.1。这表明，改进的数值离散化方法可以保持SDE-ODE系统在任何时间步的不变性t>0和常数的任意选择。与原始模型相比，这是一个巨大的优势，原始模型是由微分方程组成的。特别是，半隐式离散化使得Franke Westerhoff在[32]中引入的附加约束（17）变得多余。我们以半隐式离散化的数值示例（18）作为结论，该示例显示了半隐式时间离散化的有效性。02468价格0 200 400 600 800 1000 1400 1600 1800 200000.51倍股份基金会图表图7：具有半隐式离散化的Franke Westerhoff模型。参数如表3所示，σf=1.15.4概率描述在本节中，我们从时间连续动力系统出发，推导出相应的介观描述。更准确地说，我们推导了Levy-Levy-Solomon模型简化版本的平均场极限。此外，我们利用费曼-卡克公式给出了弗兰克-韦斯特霍夫模型的概率描述。02468价格0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200000.51倍股份基金会图表图8：具有半隐式离散化的Franke Westerhoff模型。参数如表3所示，σf=1.15和t=0.1.4.1 Levy-Levy-Solomon模型在本节中，我们要推导LevyLevy-Solomon模型简化版本的平均场限。

我们假设投资倾向γ是常数，微分Z:R→ R≥0连续可微且导数|˙Z |≤ B、 B>0是有界的。此外，我们假设股息不是随机的。因此，N个代理的时间连续Levy-Levy-Solomon模型变成，˙wi（t）=（1- γi）r wi（t）+γiwi（t）˙S（t）+Z（t）S（t），wi（0）=wi，S（t）=NNPk=1γkwk（t），i=1。。。，N、 到目前为止，我们还没有明确的ODE系统，因为我们微分方程的右侧取决于股票价格的微分。财富动态可以用矩阵形式重写为，我- diag（γ）w（t）γtγTw（t）˙w（t）=诊断（e）- γ） rw（t）+NγTw（t）诊断Z（t）γw（t），其中w（t）∈ RN×1>0，γ=（γ，…，γN）T∈ （0，1）N，e：=（1，…，1）T∈ RNand I公司∈ RN×Nis身份矩阵。我们定义，∑（w（t））：=我- diag（γ）w（t）γtγTw（t）.为了导出显式ODE系统，我们需要反转矩阵∑（w（t））。注意，∑（w（t））=I- P（w（t）），与保持，P（w（t））：=γw（t）γTw（t）。。。γnwn（t）γTw（t）γγ. . . γn.逆∑-1（w（t））可以通过Neumann级数展开计算，因为| | P（w（t））| |<1成立。我们得到，∑-1（w（t））=我- P（w（t））-1=∞Xk=0Pk（w（t））=I+1- αP（w（t）），其中α：=迹线P（w（t））=γTw（t）NPi=1γiwi（t）。因此，我们的显式ODE系统读取，（˙w（t）=∑-1（w（t））诊断（e）- γ） rw（t）+NγTw（t）∑-1（w（t））诊断Z（t）γw（t），w（0）=w，（19），对于我们得到的第i个代理，˙wi（t）=rwi（t）+γiwi（t）Z（t）NNPj=1（1- γj）γjwj（t），wi（0）=wi。提案3。我们假设股息Z:R→ R≥0连续可微且导数|˙Z |≤ B、 B>0是有界的。那么ODE系统（19）有一个唯一的解决方案[0，∞|).有关详细证明，请参阅附录a.1.4.1.1简化Levy-Levy-Solomon模型的平均场强极限。我们采用经验方法推导了ODE系统的平均场强极限方程（19）。

其想法是将系统（19）的解与平均方程的解联系起来。与解决方案xn相关的经验度量：=w（t），γ，w（t），γ，wN（t），γN, t型∈ [0, ∞) is，uNXN：[0，∞) → P（R>0×（0，1）），uNXN（t）：=uNXN（t，w，γ）=NNXk=1δ（w- wk（t））δ（γ- γk），其中P（R>0×（0，1））表示R>0×（0，1）上的概率测度空间。我们考虑测试函数φ∈ Cc（R>0×（0，1））并计算，ddthuNXN（t），φ（w，γ）i=NNXk=1ddtφ（wk（t），γk）=NNXk=1wφ（wk（t），γk）·˙wk（t）=NNXk=1wφ（wk（t），γk）·r wk（t）+γkwk（t）Z（t）NNPj=1（1- γj）γjwj（t）=uNXN（t），wφ（w，γ）·r w+*uNXN（t），wφ（w，γ）·γw Z（t）NNPj=1（1- γj）γjwj（t）+。这里，我们使用h·i作为R>0×（0，1）上Linner乘积的简写符号。Wede FINE，F[uNXN]（t）：=NNXk=1（1- γk）γkwk（t）=huNXN（t），（1- γ） γwi=ZR>0Zwγ（1-γ） uNXN（γ，w，t）dγdw，因此我们得到，ddthuNXN（t），φ（γ，w）i=*uNXN（t），wφ（w，γ）“r w+γw Z（t）F[uNXN]（t）#+。然后，我们通过分段积分得到*uNXNt型+w“r w+γw Z（t）F[uNXN]（t）#uNXN！，φ+=0。（20）方程（20）是平均场PDE的弱形式，tf（t，w，γ）+wr w f（t，w，γ）+γw Z（t）Rwγ（1- γ） f（t，w，γ）dwdγf（t，w，γ）= 0。（21）为了严格证明平均场极限，我们采用了Dobrushin最初使用的方法【28】。关键思想是推导出一个稳定性估计，该估计能够证明ODE系统（19）收敛于平均场方程（21）。我们遵循Golse的陈述【35】。收敛性是在概率测度P空间中得到的，我们使用了wasserstein距离。出于我们的目的，我们只需要1-Wasserstein距离，定义如下2。设u和ν是R>0×（0，1）上的两个概率测度。

然后，度量值ν和u之间的1-wassersteindinance distW（ν，u）由distW（ν，u）：=infπ定义∈∏（ν，u）ZR×R | x- y |π（dxdy），其中∏（ν，u）是R>0×（0，1）×R>0×（0，1）上的概率测度空间，使得π的边缘分别为u和ν，即Rdπ（·，y）=du（·）和Rdπ（x，·）=dν（·）。此外，我们还引入了可测映射Φ：R>0×（0，1）的前推概念→ R> 0×（0，1）并测量u∈ P（R>0×（0，1））。度量值ν∈ 如果ν（B）=u（Φ），则P（R>0×（0，1））由ν=Φ#u表示-1（B）），适用于任何集合B R> 0×（0，1）。请注意，平均场方程（21）可以重写为概率度量，并且需要从分布的意义上理解解。我们准备用平均场方程（21）证明ODE系统（19）的平均场极限。定理1。设fbe为R>0×（0，1）上的概率密度，使得0<ZR×（0，1）wγ（1- γ） f（w，γ）dwdγ<∞.然后是平均场偏微分方程的柯西问题(tf（t，w，γ）+wr w f（t，w，γ）+γw Z（t）Rwγ（1-γ） f（t，w，γ）dwdγf（t，w，γ）= 0，f（0，w，γ）=f，w∈ R> 0，γ∈ （0，1），t∈ [0，T]，T∈ R> 0，在C（R>0×（0，1），L（R>0×（0，1））中有唯一的弱解。然后，初始条件为XN=（w，γ，…，wN，γN）的ODE系统˙wi（t）=rwi（t）+γiwi（t）Z（t）NNPj=1（1-γj）γjwj（t），wi（0）=wi，其中γi∈ （0，1），wi∈ R> 0有一个唯一的解，表示为XN=（w（t），γ。。。，wN（t），γN），t∈[0，T]。如果经验测量值，uXN=NNXi=1δ（w- wi（0））δ（γ- γi），饱和度，偏差（uXN，f）→ 0，作为N→ ∞,然后，uXN*f（t，·）L，作为N→ ∞,在概率测度的弱拓扑中，其中L表示R>0×（0，1）上的Lebesgue测度。此外，收敛速度由distW（uTtXN，f（t，·）L）给出≤ eM tdistW（uXN，f）→ 0，作为N→ ∞ 对于每个t∈ [0，T]。我们的目的是展示这种介观描述与微观试剂动力学相比的优势。

作为一个简短的例子，我们提出了推导平均场方程21显式解的可能性。显式解显式解可以用以下公式导出，f（t，w，γ）=cwexp{-（ln（w）- B（t，γ））}。这里，c>0表示归一化常数，通过在方程（21）中插入ansatz，可以很容易地获得函数B（t，γ）。因此，B由，B（t，γ，A）=tZ给出r+γZ（s）A（s）ds+~c，~c∈ R、 注意，B通过操作符A（t）：=Z Zwγ（1）隐式依赖于函数f- γ） f（t，γ，w）dwdγ。因此，为了获得固定点方程的显式解，A（t）：=Z Zwγ（1- γ） cwexp公司{-（ln（w）- B（t，γ，A））}dwdγ，需要对每个时间t进行求解。因此，我们可以推断该解为alog正态概率分布的类型。4.2 Franke Westerho ff模型我们考虑以下时间连续的SDE-ODE模型，dP=unfφ（F- P）1- uncχdt+unfσf+ncσc1- uncχdW，ddtnf=ncπcf（a）- nfπfc（a），ddtnc=nfπfc（a）- ncπcf（a）。（22）请注意，我们已经将天真的时间连续限制重新格式化为显式ODE SDEsystem。为了确保适配性，我们假设χ∈ （0，1）保持不变。正如第3.1节中Levy-Levy-Solomon模型所讨论的，我们强调，我们对时间标度的选择是几种可能的方法中的一种。为了简单起见，我们通过定义n=nf来减少系统的尺寸- nc。然后可以立即将动力学重写为dP=u1+nφ（F- P）1- u1-nχdt+u1+nσf+1-nσc1- u1-nχdW，ddtn=（1-n） πcf（a（P，n））- （n+1）πfc（a（P，n））。（23）SDE-ODE系统（23）的右侧是连续可区分的，因此是Lipschitz连续的。这立即给出了有限时间间隔上唯一解的存在性。以下命题是著名的费曼卡克公式的简单应用【45】。提案4。

我们假设微分系统（23）定义的随机过程有一个概率分布函数，它是一个C函数。我们用f（t，p，n），p，n表示相应的概率分布函数∈ R、 然后满足以下福克·普朗克型方程，tf（t，p，n）+phu1+nφ（F- p） 1个- u1-nχif（t，p，n）+ nh（1- n） πcf（a（p，n））- （n+1）πfc（a（p，n））if（t，p，n）=u（1+nσf+1-nσc）（1- u1-nχ）ppf（t，p，n）。（24）PDE（24）可根据稳态、收敛速度或相位转换进行分析。我们研究了可观测量的稳态行为。我们考虑方程（24）的弱形式，并用函数ψ（n）=δ（n）进行检验。因此，我们得到函数g（t，p）=f（t，p，n=0）的弱形式，满足，tg（t，p）+phuφ（F- p） 1个-uχig（t，p）=u（σf+σc）（1-uχ)ppg（t，p）。（25）为简单起见，我们定义了常数bφ：=uφ1-uχ，σ：=u（σf+σc）（1-uχ），相应的稳态方程如下：，phbφ（F- p） ig公司∞（p）=σppg公司∞（p） 。稳态解为高斯型，由g给出∞= bc exp公司(-bφσ（p- p F）），归一化常数bc>0.5。结论在本研究中，我们推导了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型中使用的差异方程的时间连续公式。以LevyLevy-Solomon模型为例，我们证明了这些连续公式不是唯一的。然后，我们表明，标准Franke-Westerhoff模型中存在的数值不稳定性不存在于时间连续的SDE-ODE系统中，而是源于显式欧拉离散化，并且可以通过应用适当的半隐式欧拉离散化来缓解。在这篇手稿中，我们展示了正确选择数值分离对模型行为的内在重要性。

因此，我们强烈建议在连续水平上建模ABCEM模型，因为这允许研究不同的时间尺度和不同时间离散化的影响，其中一些可能适合克服额外的稳定性约束。此外，连续公式允许推导DE模型，该模型可能比原始ABCEM模型更易于分析。此外，我们还介绍了动力学理论，并给出了平均场极限。我们推导了Levy-Levy-Solomon和Franke-Westerhoff模型变体的介观描述。特别是，我们能够描述介观Levy-Levy-Solomon模型和Franke-Westerhoff模型的稳态分布的解的形状。这些例子已经揭示了获得介观模型分析结果的机会。此外，我们可以预期，与微观系统相比，介观描述通常会显著降低成本。根据德国卓越战略——EXC-2023生产互联网——390621612，由德意志基金会（DFG，德国研究基金会）资助。这项研究得到了RWTH启动计划的支持。T、 特里姆伯恩感谢汉斯·博克勒·斯蒂夫通的支持。附录A。1分析命题1的证明如下：证明。由于我们考虑了一个随机It^o积分，很明显P仍然存在于R中。它仍然表明U：{（x，x）T∈ R | x≥ 0，x≥ 0，x+x≤ 1} 是方程（13）的不变集。我们定义f（x，x）：=xπcf- xπfc，f（x，x）：=xπfc- xπcf，并显示U+：={（x，x）T的不变性∈ R | x≥ 0，x≥ 0}.

我们直接得到f（0，x）=xπcf>0，f（x，0）=xπfc>0成立，因此U+是正不变量。其次，我们定义φ（x，x）=x+x，并计算f沿φ，h的李导数φ（x，x），f（x，x）i=xπcf- xπfc+xπfc- xπcf=0。因此，我们证明了集合{（x，x）T的正不变性∈ R |φ（x）≤ 1} 因此U是我们的ODE系统的不变集（13）。命题2的证明内容为：证明。由于Euler-Maruyama方法更新规则只是实数之和，实数线是任何股票价格的闭合集，P∈ R保持不变。代理分数的更新规则可以重写如下，nf（t+（k+1）t） =nf（t+kt） +tπcf（a（t+kt） ）1+t（πfc（a）（t+kt） ）+πcf（a（t+kt） ）、nc（t+（k+1）t） =nc（t+kt） +tπfc（a（t+kt） ）1+t（πfc（a）（t+kt） ）+πcf（a（t+kt） ））。然后，我们可以进行简单的归纳。我们假设0<nf（t+kt） <1，0<nc（t+kt） <1保持并获得，nf（t+（k+1）t） =nf（t+kt） +tπcf（a（t+kt） ）1+t（πfc（a）（t+t） ）+πcf（a（t+kt） ））≤nf（t+k）t） +tπcf（a（t+kt） ）+常闭（t+kt） +tπfc（a（t+kt） ）1+t（πfc（a）（t+kt） ）+πcf（a（t+kt） ））=1，nc（t+（k+1）t） =nc（t+kt） +tπfc（a（t+kt） ）1+t（πfc（a）（t+kt） ）+πcf（a（t+kt） ））≤nf（t+kt） +tπcf（a（t+kt） ）+常闭（t+kt） +tπfc（a（t+kt） ）1+t（πfc（a）（t+kt） ）+πcf（a（t+kt） ））=1，因为πfc，πcf>0的定义成立，我们使用了nf+nc=1的定义。前面的不等式表明nf（t+（k+1）t） ，nc（t+（k+1）t） 对于所有k，保持在集合U中∈ N、 命题3的证明。证据方程（19）右侧第二项中的潜在奇点可能会导致困难。我们需要确保，NNXj=1（1- γj）γjwj（t）>0， t型∈ [0, ∞),保持以获得t上的存在唯一性∈ [0, ∞).