鲁棒数学公式和概率描述

我们定义了任意但已执行的代理数量N∈ N函数，F:RN>0×[0，∞) → RN，（w，…，wN，t）T7→rw+γwZ（t）NNPj=1（1-γj）γjwj。。。rwN+γNwNZ（t）NNPj=1（1-γj）γjwj.函数F（w，t）对于所有w=（w，…，wN）t是连续可微的。因此，函数F（w，t）是局部Lipschitz。对于i，j=1。。。，N，DFi，j=-γiwiZ（t）Nγj（1- γj）NNPk=1（1- γk）γkwk+ δijr+γjZ（t）NNPk=1（1- γk）γkwk.我们定义了加权| |·| | 1wnorm，| | x | | 1w：=NNXi=1γi（1- γ） | xi |，x∈ RN×1。因此，我们可以重写矩阵DF，DFi，j=-γiwiZ（t）Nγj（1- γj）| w | 1w+δijr+γjZ（t）| | w | | 1w.我们得到，| | DF | |=max | | x | | 1w=1 | | DF x | | 1w=maxj=1，。。。，NNNXi=1γi（1- γi）| DFi，j |。然后，我们可以立即推导出不等式| | DF||≤ Z（t）||w | | 1w | | w | | 1w+| | w | 1w+ r、 并获得Lipschitz常数，L：=r+最大值∈[0，t]Z（t）·最大值∈（a，a+)N | | w | | 1w.我们有w，~w∈ （a，a+)N RN>0， > 0，t∈ [0，t] [0, ∞),||F（w，t）-F（w，t）| |≤ L | | w-w | |。显然，如果我们在奇点中运行，Lipschitz常数L会爆炸，因此我们无法表述全局Lipschitz常数。此外，对于固定的 > 0，这是财富变量的区间下限。ourODE系统的初始条件为正wi>0，根据假设γi∈ (0, 1). 因此，Picard-Lindel¨oforem给出了区间[0，t]，t的存在性和唯一性∈ (0, ∞). 尤其是，NNXj=1（1- γj）γjwj（t）≥NNXj=1（1- γj）γjwj（0）|{z}=：ΓN>0， t型∈ [0，t]，保持不变。因此，我们可以在区间[tk，tk+1]，k上迭代应用Picard-Lindel¨of定理≥ 1、Lipschitz常数不会在每个区间内增加（dividendis bounded的增长）。因此，我们得到了[0]的归纳存在唯一性，∞).定理1的证明。证据我们把证据分成三部分。首先，我们定义了平均场特征流，并证明了唯一解的存在。

这直接给出了柯西问题解的存在性和唯一性。其次，我们推导了平均场PDE的Dobrushin不等式。最后，我们利用Dobrushin估计将平均场PDE与微观系统联系起来，并证明平均场极限的收敛性。平均场特征流：我们有，c：=Zξ（1- ξ） ξu（dξ，dξ）<∞,并定义加权Lwspace，Lw：=p：R>0×（0，1）→ Rmeaurable函数，ZR>0×（0,1）| p（y）| y（1-y） u（dy，dy）<∞.权重是一个正的可测函数，因此我们的空间是一个Banach空间。然后，我们确定序列（Wn）n≥0,Wn+1（t，ξ）=Wn+1（t，ξ）Wn+1（t，ξ）=ξ+tRr Wn（s，ξ）+Wn（s，ξ）Wn（s，ξ）Z（s）RWn（s，ξ）（1-Wn（s，ξ））Wn（s，ξ）u（dξ，dξ）dsξ,W（t，ξ）=ξ=ξ！，ξ∈ (0, 1), ξ> 0.ODE系统的第二个组成部分不会随时间变化，因此，我们有，Wn（t，ξ）=ξ，n∈ N、 我们使用原始N的特殊结构-要观察的粒子ODE系统，| | Wn+1（t，·）- Wn（t，·）| | Lw=| | Wn+1（t，·）- Wn（t，·）| | Lw≤tZr | | Wn（s，ξ）- 西尼罗河-1（s，ξ）| | Lwds+tZmaxy∈[0，t]| Z（y）|Wn（s，·）Rξ（1- ξ） Wn（s，ξ）u（dξ，dξ）-西尼罗河-1（s，·）Rξ（1- ξ） 西尼罗河-1（s，ξ）u（dξ，dξ）Lwds（？）≤tZ公司r+最大值∈[0，t]| Z（y）| L||Wn（s，·）- 西尼罗河-1（s，·）| | Lwds≤tZ···tZr+最大值∈[0，t]| Z（y）| Ln | | W（s，·）- W（s，·）| | Lwds。我们必须讨论局部Lipschitz常数L。我们定义了算符，^F[g]=g（ξ）Rg（ξ）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ），其中g∈ Lw。

该算子的G^ataux导数由，d^F（G；ψ）=ddh^F[G+hψ]h=0=ψRg（ξ）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ）-gRψ（ξ）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ）Rg（ξ）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ）.我们必须讨论G^ataux导数的算子范数，sup | |ψ| | Lw=1ψRg（ξ）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ）-gRψ（ξ）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ）Rg（ξ）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ）Lw公司≤ sup | |ψ| | Lw=1ψRg（ξ）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ）Lw公司+gRψ（ξ）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ）Rg（ξ）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ）Lw公司≤ sup | |ψ| | Lw=1 | |ψ| | Lw | | g | | Lw | | g | | Lw | |ψ| | Lw=| | g | | Lw |{z}=：L<∞.对于固定函数g∈ Lw。如果我们回到原来的不等式（？），我们可以应用前面的计算。我们观察到一个局部Lipschitz常数L。从初始密度W（t，·）开始∈ Lwhichsaties | | W（t，·）| | Lw<∞,我们可以推断，我们从未在奇点零点运行过。原因是序列的构造，分别是我们的ODE的结构。ODE的右侧是正的，因此我们的解（分别是序列）仍然是正的。股息不受定义的限制。因此，我们可以得到每个时间间隔[0，T]，T∈ R> 0a常数M，M：=R+最大值∈[0，T]| Z（y）| L，L：=| | W（T，·）| | Lw，使得前面的不等式（？）持有。此外，我们还有不等式，| | W（s，ξ）- W（s，ξ）| | Lw=| | W（t，ξ）- W（s，ξ）| | Lw=ZsZrξ+ξξZ（y）Rξ（1- ξ） ξu（dξ，dξ）dyξ(1 - ξ） u（dξ，dξ）≤tZZ公司rξ+ξZ（y）rξ（1- ξ） ξu（dξ，dξ）ξ(1 - ξ） du（dξ，dξ）dy≤rc+最大值∈[0，t]| Z（y）| 1t、 最后观察，| | Wn+1（t，·）- Wn（t，·）| | Lw≤rc+最大值∈[0，t]| Z（y）|（M t）nn！。因此，我们有，Wn（t，·）→ W（t，·），在Lwand t中均匀∈ [0，T]。此外，W∈ C（R>0×（0，1），Lw）满意度，W（t，ξ）=W（t，ξ）W（t，ξ）=ξ+tRr W（s，ξ）+W（s，ξ）W（s，ξ）Z（s）RW（s，ξ）（1-W（s，ξ））W（s，ξ）u（dξ，dξ）dsξ.（26）下一步，我们将证明我们的解的唯一性。我们假设W（t，ξ），~W（t，ξ）是两个解。

第二个分量的唯一性很明显，因为两个解都必须满足初始条件。在第一部分中，我们推导出以下不等式，| | W（t，ξ）-W（t，ξ）| | Lw≤tZr | | W（s，ξ）-W（s，ξ）| | Lwds+tZξZ（s）W（s，ξ）RW（s，ξ）ξ（1- ξ） u（dξ）-Z（s）~W（s，ξ）R ~W（s，ξ）ξ（1- ξ） u（dξ）Lwds≤tZ（r+Z（s）L）| | W（s，ξ）-W（s，ξ）| | Lwds。然后，我们应用Gronwall不等式立即观察到唯一性。方程（26）中的被积函数是连续的，因此函数t 7→ W（t，ξ）为Con[0，t]类，满足，tW（t，ξ）=r W（t，ξ）+W（t，ξ）W（t，ξ）Z（t）RW（t，ξ）（1-W（t，ξ））W（t，ξ）u（dξ，dξ）！W（0，ξ）=ξ。然后，我们最终替换w=w（t，ξ），γ=w（t，ξ），分母中的积分由ZW（t，ξ）w（t，ξ）（1）给出- W（t，ξ））u（dξ）=Zwγ（1- γ） W（t，·）#u（dξ）|{z}=u（t）。因此，我们证明了平均场特征方程解的存在性和唯一性。由于我们观察到的特征线方法，f（t，·）L=W（t，·，fL）#fL， t型∈ R、 因此，我们可以立即推导出平均场PDE的Cauchy问题inC（R>0×（0，1），L（R））解的唯一性。稳定性估计Letξ，|ξ∈ R> 0×（0，1），那么我们有，W（t，ξ，u）-W（t，ξ，u）=ξ-ξtZr W（s，ξ，u）-r W（s，ξ，u）+ξW（s，ξ，u）Z（s）rξξ（1-ξ） u（s，dξ，dξ）-§ξW（s，§ξ，u）Z（s）Rξξ（1-Иξ）u（s，dξ，dξ）ds。然后，我们对分母中的积分进行替换，因为ui（t）=W（t，·，ui）#ui我们观察到，例如，对于i=1，Zξξ（1- ξ） u（s，dξ，dξ）=ZW（s，ξ，u）ξ（1- ξ） u（dξ，dξ）。然后我们再次使用Lipschitz连续性。

通过滥用符号，我们对常数使用相同的符号，尽管由于我们考虑的不同规范，它们有所不同，| W（t，ξ，u）- W（t，|ξ，u）|≤ |ξ -ξ|+（r+maxy∈[0，t]| Z（y）| L）|{Z}=：MtZ | W（s，ξ，u）- W（s，ξ，u）| ds。然后，我们对测度π进行积分∈ ∏（u，u）并使用Fubini，Z | W（t，ξ，u）- W（t，|ξ，u）|π（dξ，d|ξ）≤Z |ξ-ξ|π（dξ，dξ）+MtZZ | W（s，ξ，u）- W（s，|ξ，u）|π（dξ，d|ξ）ds。我们定义，Ξ[π]（t）：=Z | W（t，ξ，u）- W（t，ξ，u）|π（dξ，dξ）。因此，我们可以将上面的不等式改写为，Ξ[π]（t）≤ Ξ[π]（0）+MtZΞ[π]（s）ds，并且可以通过Gronwall不等式推导出，Ξ[π]（t）≤ Ξ[π]（0）eM t，保持不变。然后，我们定义了图Φt：（ξ，|ξ）7→W（t，ξ，u），W（t，ξ，u）,Φt#π=π（t）∈ π（u（t），u（t）），自π起∈ π（u，u）和W（t，·，ui）#ui=所有t的ui（t）∈ [0，T]。因此，我们得到，distW，1（u（t），u（t））=infπ∈∏（u（t），u（t））Z |ξ-ξ|π（dξ，dξ）≤ infπ∈∏（u，u）Z | W（t，ξ，u）- W（t，ξ，u）|π（dξ，dξ）=infπ∈π（u，u）Ξ[π]（t）≤ eM tinfπ∈π（u，u）Ξ[π]（0）=eM tdistW，1（u，u），给出结果。第一个不平等是微妙的。本质上，由于一种转换的选择，一个从耦合∏（u（t），u（t））的上限切换到∏（u（t），u（t））的上限。由于集合∏（u（t），u（t））可能小于∏（u（t），u（t）），因此最大值变大。平均场极限：根据Dobrushin的稳定性估计，我们得到，distW，1（uXN，f（t，·，·）L）≤ eM tdistW，1（uXN，f）。根据假设，distW，1（uXN，f）→ 0，作为N→ ∞,因此，distW，1（uXN，f（t，·，·）L）→ 0，作为N→ ∞,持有。因此，uXN*f（t，·）L，作为N→ ∞.在概率测度的弱拓扑中。A、 2模型Levy-Levy-Solomon模型我们实施了[48，49]中定义的模型。如第3.1节所述，我们在模型中添加了正确的时间刻度。

为了获得原始模型，需要设置t=1。该模型考虑了N∈ 可以投资γi的金融代理人∈ [0.01，0.99]，i=1。。。，没有他们的财富∈ R> 0投资a股，必须投资1- 将他们的财富以利率r作为安全债券∈ (0, 1). 投资倾向γ由效用最大化和每个代理人在t时的财富动态决定∈ [0, ∞) 由wi（t）=wi（t）给出- t） +t型(1 - γi（t- t） ）r wi（t- t） +γi（t- t） wi（t- t） S（t）-S（t）-t）t+Z（t）S（t）{Z}=：x（S，t，Z）.动力学由乘法红利过程驱动，Z（t）：=（1+tz）z（t- t） ，其中▄z是一个均匀分布的随机变量，支持度为[z，z]。价格由所谓的市场清理条件决定，其中n∈ N是固定的库存数量，ni（t）是每个代理的库存数量，N=NXi=1ni（t）=NXk=1γk（t）wk（t）S（t）。（27）效用最大化由maxγi给出∈[0.01,0.99]E[log（w（t+t、 γi，Sh）），带，E[对数（w（t+t、 γi，Sh））]=mimiXj=1Ui（1- γi（t））wi（t，Sh）（1+rt） +γi（t）wi（t，Sh）1+xS、 t型- jt、 Zt型!.常数midenotes表示每个代理返回的时间步数。因此，时间步长的数量和时间步长的长度定义每个agentextrapolate过去值的时间段。上标h表示股票价格不确定，需要根据市场结算条件确定。最后，计算出的最优投资比例被噪声项γi（t）=H（γ）模糊*i（t）+i） ，其中iis是一个标准偏差为σγ的正态分布随机变量。功能H确保γ线在间隔[0.01，0.99]内。最后，我们必须在噪声处理后更新价格。

由于投资分数是常数，我们可以显式计算股票价格，S（t）=nNPi=1γi（t）wi（t- t） +t wi（t- t）γi（t- t） Z（t-t）-S（t）-t）t S（t-t） +（1-γi（t- t） ）r1.-nNPi=1γi（t）γi（t-t） wi（t-t） S（t）-t） 。效用最大化由于简单的效用函数和线性动力学，我们可以在边界达到最大值的情况下计算最优投资比例。一阶必要条件由f（γi）：=ddtE[log（w（t+t、 γi，Sh））]=mimiXj=1t（xS、 t型- jt、 Z- r）t（xS、 t型- jt、 Z- r） γi+1+因此，对于f（0.01）<0，我们可以得出结论，γi=0.01成立。同样，如果f（0.01）>0且f（0.99）>0成立，我们得到γi=0.99。因此，只有在f（0.01）>0和f（0.99）<0的情况下，才能预期[0.01，0.99]内部的溶液。这与[63]中的观察结果一致。Franke-Westerhoff模型我们提出了Franke-Westerhoff模型，如【31】中所述，并在【32、33】中进行了轻微修改。如第3.1节所述，我们在模型中添加了时间缩放。为了获得原始模型，需要考虑代理份额的显式Euler离散化，并且必须设置t=1。FrankeWesterhoff模型考虑了两种类型的代理人，宪章主义者和原教旨主义者。每个代理的需求读取，Df（t）=φ（F- P（t））+fk，φ∈ R+，fk公司~ N（0，σf），（28）Dc（t）=χP（t）- P（t- t）t+ck，χ∈ R+，ck~ N（0，σc），（29），其中P（t）表示对数市场价格，F表示基本价格。噪声术语fkand公司Ck为正态分布，具有零均值和不同的标准差σcand和σf。第二个重要特征是图表或基本人口的分数。

从这个意义上讲，这两个代理可以被视为一个群体的代表代理。图表的分数nC（t）∈ [0，1]和原教旨主义者nF（t）的分数∈ [0，1]必须填写nC（t）+nF（t）=1。因此，确定性超额需求可以定义为：DF W（t）：=（DF（t）+dc（t）），（30）DF（t）：=2 nf（t）E【DF（t）】，dc（t）：=2 nc（t）E【dc（t）】。（31）这里，E表示期望值。定价方程由简单规则P（t）=P（t）给出- t） +ut DF W（t）+√tu（nf（t）σf+nc（t）σc）η，η~ N（0，1）。（32）最后，我们需要指定切换机制。这种切换机制被称为转移概率法（TPA）[50，77]。我们考虑所谓的切换指数a（t，P，nf，nc）∈ 它描述了基本策略相对于图表策略的吸引力。因此，积极的a（t，P，nf，nc）反映了与图表作者相比，基本策略的优势，如果a（t，P，nf，nc）是消极的，则情况正好相反。我们定义了切换概率πcf（a（t，P，nf，nc））：=νexp（a（t，P，nf，nc）），（33）πfc（a（t，P，nf，nc））：=νexp(-a（t，P，nf，nc））。（34）其中πxy是具有策略x的代理切换到策略y的概率。灵活性参数ν>0是a（t、P、nf、nc）的比例因子。备注1。2011年引入的Franke-Westerhoff模型的一个小修改【32，33】考虑了以下切换概率，πcf（A（t，P，nf，nc））：=min1，νexp（a（t，P，nf，nc））, （35）πfc（a（t，P，nf，nc））：=最小值1，νexp(-a（t、P、nf、nc））. （36）之前的定义确保切换概率限制在区间[0，1]R

在2009年引入的原始模型中【31】，没有（35）中引入的额外限制。显式Euler离散化——如（16）所示，图表主义者和原教旨主义者份额的时间演化的显式Euler离散化由以下公式给出：nf（t）=nf（t- t） +tnc（t）πcf（a（t- t） （）- tnf（t）πfc（a（t- t） ），nc（t）=nc（t- t） +tnf（t- t） πfc（a（t- t） （）- tnc（t- t） πcf（a（t- t） ）。半隐式Euler离散化或者，可以使用第3节中介绍的半隐式模式来计算图表主义者和原教旨主义者的份额的时间演化SNF（t）=nf（t- t） +tπcf（a（t- t） ）1+t（πfc（a（t- t） ）+πcf（a（t- t） ）），nc（t）=nc（t- t） +tπfc（a（t- t） ）1+t（πfc（a（t- t） ）+πcf（a（t- t） ））。（37）如第3.1节所示，该数值近似稳定并保持常微分方程的不变性。最后，我们必须指定如何计算切换指数a（t、P、nf、nc）。切换指数a（t、P、nf、nc）编码了原教旨主义策略对艺术家策略的有利程度。

切换指数是由三个原则（倾向、羊群和错位）线性确定的，a（t，P，nf，nc）=αP+αh（nf（t）- nc（t））+αm（P（t）- F），参数值100miσγ0或0.2r 0.04z=z0.05t 1时间步长200（a）Levy-Levy-Solomon模型的参数。可变初始值uh0.0415σh0.003γ（t=0）0.4wi（t=0）1000ni（t=0）100S（t=0）4Z（t=0）0.2（b）Levy-Levy SolomModel的初始值。表1:Levy-Solomon模型的基本设置。参数值99mi10，1 6 i 6 33141，34 6 i 6 66256，67 6 i 6 99σγ0.2r 0.0001z=z0.00015t 1时间步长20000（a）Levy-Levy-Solomon模型的参数。可变初始值uh0.0415σh0.003γi（t=0）0.4wi（t=0）1000ni（t=0）100S（t=0）4Z（t=0）0.004（b）Levy-Levy SolomModel的初始值。表2：Levy-Levy-Solomon模型的设置（3个代理组）。其中αp、αh、αm>0分别是权重比例因子。符号αp∈ R确定基本策略或图表策略的倾向。有关建模的详细信息，请参阅【31】。A、 3参数设置Levy-Levy-Solomon模型通过创建股票回报的艺术历史来初始化股票回报。人工历史被建模为具有平均u手标准偏差σh的高斯随机变量。此外，我们必须指出，如果z=z成立，股息的增量是确定的。