从多维black-scholes到Hamilton-jacobi

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英文标题：
《From multi-dimensional black scholes to Hamilton jacobi》
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作者：
Muhammad Naqeeb, Amjad hussain
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The first widely used financial model is linked to dynamical Hamilton jacobi model
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中文摘要：
第一个广泛使用的金融模型与动态汉密尔顿-雅可比模型相关联
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：hamilton SCHOLES Jacobi choles Milton

多维Black Scholes Merton toHamilton JacobiMuhammad Naqeeb巴基斯坦伊斯兰堡Quaid-i-Azam大学数学系，邮编：44000。电子邮件mnaqeem@math.qau.edu.pkAmjad巴基斯坦伊斯兰堡Quaid-i-Azam大学侯赛因数学系，邮编：44000。电子邮件一hussain@qau.edu.pkAbstractThe第一个广泛使用的期权定价金融模型几乎在每个领域都有足迹。本文的目的是推导多重期权的Black-Scholes-Merton公式，一般用于ann维资产及其与力学Hamilton-Jacobi方程的联系，并在Banach空间的度量中求解Black-Scholes方程。关键词：多维Black-Scholes-Merton，Hamilton-JacobieEuropean call Option，Banach空间。动态系统，确定性或随机性与数学金融学相互关联。在动态数学金融中，我们通过动态系统来检验金融模型。由多个自变量定义的动力系统，分类为s多维系统。对于数学金融的Black-Scholes模型，可以考虑一个或多个基础资产。对于一项基础资产，模型为，vt+rsvs+σsvs- rv=0（1）对于n基础资产或多资产，第一节推导的公式为，vt+σsvs+σsvs++σnsnv序号+v十二烷基硫酸钠+vsds++vsndsn+rsvs+rsvs+…+rsn公司vsn+ρ1nσnvssn+ρ2nσnvssn+…+ρn-1nσσnv序号- 1n=0（2）哈密顿-雅可比方程，经典力学的另一种表述，以及描述极值地质测量的必要条件，从变分法推广问题。

对于一个空间坐标或广义坐标，方程如下所示：，Ut+H（q，Uq、 ）（3）对于n-广义坐标或空间变量，扩展后的上述方程如下所示，Ut+H（q，q，q，…qn，UqUqUqUqn）（4）Rodrigo和Galvez在【4】中介绍了他们在方程（1）和（3）之间关系方面的工作，其中一个空间变量被视为基础资产。本文研究并解释了方程（2）和（4）之间的关系，它们是多维多资产模型。这项工作通过将其划分为不同的部分来系统地呈现。第一部分是推导和分析Black-Scholes-Merton的基本资产，第二部分是讨论多变量微积分中的Hamilton-Jacobie方程。转到第三个主要部分，解释黑洞默顿和哈密顿·查比力学方程之间的关系，并在第四部分进行总结和建议。black-scholes方程从日常市场到金融数学中相对论的含义【1】。这一公式超越了1997年斯科尔斯和默顿的诺贝尔奖（Noble Price）[3]，给每个领域都留下了深刻的印象。从多个基础流程得出n个基础资产dss=udt+σdw，dss=udt+σdwdsnsn=undt+σndwnwhere dwn；n=1，2。。。是布朗运动。E（dwi）=0；E（dwi）=dtBy随机游走或维纳过程的定义[2]相关系数，如果有一个最底层资产，则该系数似乎为零。这里，将与每两个不同的随机游走相关，以确定其强度为正，0或负，范围为-1至+1的相关系数与0至+1的无风险利率相差很大。考虑这些因素至关重要。π=v- △s+△s+…+△nsnd∏=dv- △ds+△ds+。。。

+ △现在，n维伊藤引理被给出为dV=vt+σvs+σvs++σnv序号+v十二烷基硫酸钠+vsds++vsndsn+ρ1nσnvssn（5）ρ2nσσnvssn+…+ρn-1nσσnv序号- 1为了消除上述n ito引理中的风险项△=vs△=vs△n个=vsndv公司=vt+σsvs+σsvs++σnsnv序号+v十二烷基硫酸钠+vsds++vsndsn+ρ1nσnvssn（6）ρ2nσσnvssn+…+ρn-1nσσnv序号- 1nd∏=无风险回报率b∏=r∏=r{v-v党卫军-v党卫军- ... -v最后，我们得出Black-Scholes方程vt+σsvs+σsvs++σnsnv序号+v十二烷基硫酸钠+vsds++vsndsn+rsvs+rsvs+…+rsn公司vsn+ρ1nσnvssn+ρ2nσnvssn+…+ρn-1nσσnv序号- 1n=0（7）这是所需的衍生black-scholes方程，具有多个未定义资产，这与一个sset中的black-scholes方程有很大不同，尤其是在出现相关系数项时，其强度定义如下（dwdwn）=ρ1n，{dwdwdwn}=ρ1n。。。，{dwn- 1dwn}=ρn-在讨论相关系数的术语后，这些相关系数适用于n项基础资产。这里，方程中的项数可以是随机的，但仍然可以预测，这在数论中是数学上健康的，比如第一个方程有4个项，下一个方程有4+3=7，下一个方程有7+4=11项，然后是11+5=16，然后是16+6=22项，依此类推。s一类特殊的级数atpredicts包含在具有多重集1.1的Black-Scholes方程中的项。

条件和解决方案：考虑到这里最适合的空间是n维欧几里德空间，其讨论将在第三节后面进行，这将成为Banach空间，在该空间中，通过引入特殊度量来确定解决方案至关重要，以考虑n维空间中的解变量v。考虑到空间Rnhaving formv（s，s，s，…，sn）=f（s，s，s，…，sn，t），欧洲看涨期权的n个基础资产的初始条件为v（s，s，s，…，sn，t）=max{max（s，s，s，…，sn）- k、 0}，而k是必须在其上执行选项的到期或行使日期。上述模型是具有欧式条件的多维Black-scholes方程，虽然我们的讨论考虑了欧式看涨期权，但讨论可以通过欧式看跌期权、美式看跌期权和看涨期权、基本期权和交换期权的条件来扩展。在到期日“K”时，通过将多维Black-scholes分解为具有“N”的维度中的微分方程，解决方案是标准的正态累积分布函数，即v（s，s，s，…，sn，T）=sn（φ，p）+sn（φ，p）+sn（φ，p）…+sN（φn，pn）n- Ke公司-rT{1- {N（φ′）+N（φ′）+N（φ′）+…+N（φ′N）}（8）2。Hamilton-jacobi微分方程及其解Hamilton-jacobi在动力系统中，非线性Hamilton-jacobi方程可以用来推导运动方程。（n+1）变量q，q，q。。。qn，t为Ut+H（q，q，q，…qn，UqUqUqUqn）（9）Black-Scholes模型和Hamilton-Jacobi模型，这两个模型在初始条件、空间、能量关系、域、空间变量方面彼此相似。

利用数学技术，借助相关概念和不同领域，动态系统在一定程度上可以与金融和经济学中的模型相联系。[4] 变分法中的Hamilton-Jacobi是一个cauchy问题[5]，其表示为Ut+H（q，q，q，…qn，UqUqUqUqn）=0，其中Rn×（0，∞), 初始条件U=（g，g，…gn）和（g，g，…gn）∈ R×（t=0）这里有U:R× (0 , ∞) → R和由h定义的哈密顿量：Rn→ R、 式中（g，g，…gn）：Rn→ R2.1。哈密顿-雅可比方程的解。在n维或变分计算中，Hamilton-Jacobi方程的解为：设L:Rn→ R、 将其命名为满足条件映射q 7的拉格朗日函数-→ L（q）是凸的L（q）| q |=∞ 作为q→ ∞凸性意味着L是连续的拉格朗日函数。我们可以通过L的Legendre变换从拉格朗日算出哈密顿量。哈密顿量和拉格朗日量都是对偶复函数，解释H=L，哈密顿量和拉格朗日量的形式几乎相同。为了讨论解决方案，我们试图最小化asI{W（.）}引入的动作=ZtL（˙w（s）ds超过w：[0，t]→ RN其中W（.）={W（.），W（.）W（.）。。。，W（.）}修改上述等式，以包括在W（0）I{W（.）}下计算的函数g=ZtL{W（s）ds}+g{W（0）}根据变量分析原理，Ha milton Jacobi方程的解包含此修正动作isU（x，t）=inf（ZtL{W（s）}ds+g（y）| W（0）=y，W（t）=x，而在最大值中接管所有W（.）∈ W（t）=x的cw。H是smoo t H a和凸的，而（g，g，…gn）必须是Lipschitz连续的。上述最小化问题可以简化为asU（x，t）=miny∈Rn（tL（x- yt）+g（y）右侧的表达式称为Hopf-Lax公式。该公式是Hamilton-Jacobi方程初值问题的唯一弱解。

在变分分析中，柯西问题“U”的解在Banach空间的度量中定义，L是变分的[7]，而H必须是第二类微分函数，Hamilton-Jacobi方程是一个演化方程3。关于多维Black-Scholes-Merton与Hamilton-Jacobi3.1的关系。这两个方程都是由哈密顿量和拉格朗日量3.2组成的具有相同阶数和阶数的非线性发展方程。多维black-Scholes-Merton方程，如果我们将black-Scholes-Merton表示为vt+σsvs+σsvs++σnsnv序号+v十二烷基硫酸钠+vsds++vsndsn+rsvs+rsvs+…+rsn公司vsn+ρ1nσnvssn公司- rv=0（10），对于n个基础资产，我们得出结论；H（DV）=σsvs+σsvs++σnsnv序号+v十二烷基硫酸钠+vsds++vsndsn+rsvs+rsvs+…+rsn公司vsn+ρ1nσnvssn公司- rv（11），其中H（DV）是哈密顿量，与Black-Scholes-Merton相互关联。这里，我们的结论如下：vt+H（DV）=0，其中V∈ Rn，t∈ (0, ∞) ,V=（g，g，g…gn），in（t=0）3.3。初始条件（t=0），对于Hamilton JacobiU=（g，g，g，…，gn），而初始条件（t=0），对于Black Scholes Merton，对于欧洲呼叫选项isV（s，s，s，…sn，t）={max（max（s，s，s，…，sn）- K} 3.4。将Black-scholes-Merton与Hamilton-Jacobi联系起来，在Black-scholes的情况下，（s，s，…sn）表示n-基础资产，而空间变量被视为基础资产或活动。3.5. 通过连接两个方程的哈密顿量。Black-scholes-Merton的DynamicSpects允许评估期权，将期权的行为表示为物理对象。3.6.

如上所示，多维Black-Scholes-Merton是一个具有关联能量的动力学系统，该系统由双重凸函数Hamilton和Lag r angian保持，从Hamiltonian H=Pi˙x开始- Lt、 ˙xj，˙xj,式中，Pi是广义动量，取Pi˙xi=φa势函数，表示l=φ- HBlack-Scholes方程的拉格朗日方程为L（s，˙s，t）=φ- {σsvs+σsvs++σnsnv序号+v十二烷基硫酸钠+vsds++vsndsn+rsvs+rsvs+…+rsn公司vsn+ρ1nσnvSSNφ=P˙sBy，考虑到˙s是行动价格的变化。3.7. 对于一个好奇的研究者来说，找到适用于动力学问题的方法，尤其是汉密尔顿-雅可比方法，解决金融数学中的问题，了解两个方程之间的相互联系，可能会很富有。3.8. 多维Black-scholes-Merton在Banach空间的度量中有解，定义为，| | V | |=| V- V |而Vand Vare溶液在时间上分别为f或t，V（s，s，…sn）=sn（φ，p）+sn（φ，p）+sn（φ，p）…+sN（φn1，pn）N- Ke公司-rT{1- {N（φ′）+N（φ′）+N（φ′）+…+N（φ′）}（12）对于时间tV{s，s，…sn}=sn（φ，p）+sn（φ，p）+sn（φ，p）…+sN（φn2，pn）N- Ke公司-rT{1- {N（φ′）+N（φ′）+N（φ′）+…+N（φ′n2）}（13）在metricp | v以上输入- v |=ps | N（φ）- N（φ）|+s | N（φ）- N（φ）|+ps | N（φ）- N（φ）|…+sn | N（φn1）- N（φn2）|+Ke-rtp{N（φ′）- N（φ′）+N（φ′）- N（φ′）+…+N（φ′n1）- N（φ′n2）}（14），其中sp | v- v |=√△v和N（φ）=Rφ-∞e-w/2dw，所以我们没有（φ）-N（φ）=√2πRφ-∞e-w/2dw√2πRφ-∞e-w/2dw。积分的类似过程将持续到正态分布函数N（φn1）的第N个差- N（φn2）=(√2π）Zφn1-∞e-w/2dw- (√2π）Zφn2-∞e-带2dwp | v- v |=s（s√2π）Zφe-w2/2dw+（s√2π）Zφe-w2/2dw++s（序号√2π）Zφn2n1e-w2/2dw+1+（Ee-rT公司√2π）{Zφ′-∞e-w/2dw+Zφ′-∞e-带2dws+。。。

+Zφn1′-∞e-w/2dw+Zφn2′-∞e-w/2dw}（15）在对两侧进行平方处理并使用三角形不等式后，它变为| v- v |≤ （s）√2π）Zφe-w2/2dw+（s√2π）Zφe-w2/2dw++（序号√2π）Zφn2n1e-w2/2dw+1+（Ee-rT公司√2π）{Zφ′-∞e-w/2dw+Zφ′-∞e-w/2dw++Zφn1′-∞e-w/2dw+Zφn2′-∞e-w/2dw}3.9。现在对于Lipschitz条件，由我们的初始条件验证，V（s，s，…sn，T）=max{max（s，s，…sn）- K、 0}选择x，x，x。。。，xn，y，y，y。。。，yn公司∈ Rn | V（x，x，x，…，xn，t）- V（y，y，y，…，yn，t）|≤ E |（x，x，x，…，xn）- （y，y，y，…，yn）| F或（s，s，…，sn）≥ 0V（s，s，…sn，T）=（s- s- s- 序号- K） ，f或（s，s，…sn）≥ Kand 0，用于（s，s，…sn）≤ K级==> |V（x，x，x，…，xn，T）- V（y，y，y，…，yn，T）|≤ E |（x，x，x，…，xn）- （y，y，y，…，yn）|对于（x，x，…，xn）- （y，y，…yn）≥ Kand 0，fo r（x，x，…，xn）- （y，y，…yn）≤ K | V（x，x，x，…，xn，t）- V（y，y，y，…，yn，t）|=|（x，x，x，…，xn）- （y，y，y，…，yn）| E=1，而V似乎是短映射。结论我们证明了多维Blac-scholes-Merton模型是一个动态系统。在这种情况下，它是nvariables等价的Hamilton Jacobi。通过分析Black-Scholes-Merton在suitablemetric中的解，我们发现了这两个模型之间的各种关系。可以进行进一步的研究，作为运用动力学方法解决金融问题的应用。参考文献[1]，例如Haug，《模型上的衍生模型》，John Wiley and sons，Ltd，2007年，第13章。[2] Salih N.Neftci，《金融衍生品数学导论》，第二版，学术出版社，2000年[3]F.Black，M.Scholes，《期权定价与公司能力》，政治经济学杂志，81（1973），第3期，637-654。[4] Gonzalez J.R，Plaza Galvez L.F，Olena V，从Black Scholes到HamiltonJacobi，《当代工程科学》，第11卷，2108年，第。

90, 4455-4463.https://doi.org/10.12988/ces。2108.89495【5】L.C.Evans，《偏微分方程》，美国数学学会，第19卷（1997年）。[6] 约翰·C·赫尔期权、期货和其他衍生品，普伦蒂斯·霍尔，1995年。[7] Hanno Rund，《价值微积分中的Hamilton-Jaco-bi理论》，Watsonand viney有限公司，1996年。[8] H.Goldestein、C.Poole、J.Safko，《经典力学》，第3期。，Addison We sley，纽约，2001年。