样本选择的边际处理效应的锐界

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A、 2等式（5）的证明首先，观察ms（x，u）：=E[S | x=x，u=u]=P[Q（0，x）≥ V | X=X，U=U]（A.1）通过方程式（2），mS（X，U）：=E[S | X=X，U=U]=P[Q（1，X）≥ V | X=X，U=U]（A.2）通过方程式（2），S（x，u）：=E[S- S | X=X，U=U]=毫秒（X，U）- mS（x，u）=P[Q（1，x）≥ V>Q（0，X）| X=X，U=U]通过方程（A.1）和（A.2）和假设（8）=P[S=0，S=1 | X=X，U=U]（A.3）通过方程（2），和NOY（x，u）：=E[Y- Y | X=X，U=U，S=0，S=1]=E[S·Y*- S·Y*|X=X，U=U，S=0，S=1]=E[Y*|X=X，U=U，S=0，S=1]。（A.4）还要注意：mY（x，u）：=E[Y | x=x，u=u]=E[S·Y*|X=X，U=U]=E[Y*|X=X，U=U，S=1，S=1]·P[S=1 | X=X，U=U]+E[Y*|X=X，U=U，S=0，S=1]·P[S=0，S=1 | X=X，U=U]根据假设8和迭代期望定律=E[Y*|X=X，U=U，S=1，S=1]·mS（X，U）+NOY（x，u）·S（x，u）（A.5）由方程式（A.1）、（A.3）和（A.4）得出，这意味着经过某种重新排列后的方程式（5）。A、 3命题证明10注意*≤ E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]≤ y*（A.6）根据y的定义*和y*. 也请注意thaty*≤ NOY（x，u）≤ y*根据方程式（A.4）和y的定义*和y*, 通过等式（5），意味着*|X=X，U=U，S=1，S=1]≤mY（x，u）- y*· 假设7.1下的S（x，u）mS（x，u）（A.7），mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）≤ E【Y】*|假设7.2下的X=X，U=U，S=1，S=1]（A.8），以及my（X，U）- y*· S（x，u）mS（x，u）≤ E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]≤mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）。（A.9）根据假设7.3（子案例（A）或（b））。结合方程式（A.6）-（A.9），很容易看出命题10成立。A、 4定理12的证明首先，我在假设7.3下证明定理12（子情形（A）和（b））。在本节末尾，我在假设7.1和7.2下证明了定理12。A、 4.1假设7.3下的证明（子案例（A）和（b））确定u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）任意地。

为简洁起见，定义α（x，u）：=δ（x，u）+mY（x，u）mS（x，u）和γ（x，u）：=mY（x，u）- α（x，u）·mS（x，u）S（x，u）。注意δ（x，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）<=> α（x，u）∈最大值mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u），y*,最小值（mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u），y*)!y*, y*,（A.10）和α（x，u）∈mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u），mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）！<=> γ（x，u）∈y*, y*.（A.11）该证明的策略包括确定候选随机变量Y*,Y*,U，▄V通过其联合累积分布函数FY*,Y*,~U、~V、Z、x，然后检查等式（15）、（16）和（17）是否满足。I fix（y、y、U、V、Z、x）∈ 兰德公司财务报表*,Y*,~U、~V、Z、Xin十二个步骤：步骤1。对于x/∈ X，FY*,Y*,U、~V、Z、X（y、y、U、V、Z、X）=FY*,Y*,U、 V，Z，X（y，y，U，V，Z，X）。第2步。从现在开始，考虑x∈ 十、自年月日起*,Y*,~U，~V，Z，X（y，y，U，V，Z，X）=F ~y*,Y*,U、~V、Z | X（y、y、U、V、Z | X）·FX（X），它有助于定义F | y*,Y*,U、~V、Z | X（y、y、U、V、Z | X）。此外，我认为⊥⊥Y*,Y*,U，▄VXby写入FY*,Y*,~U，~V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）=Fy*,Y*,~U，~V | X（y，y，U，V | X）·FZ | X（z | X），表示有足够的能力定义F | y*,Y*,U，| V | X（y，y，U，V | X）。第3步。对于u/∈ [0，1]，定义为*,Y*,~U，~V | X（y，y，U，V | X）=FY*,Y*,U、 V | X（y，y，U，V | X）。第4步。从现在开始，考虑你∈ [0, 1]. 自年月日起*,Y*,U，▄V | X（y，y，U，V | X）=F▄y*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）·F | U | X（U | X），需要定义Fy*,Y*,V | X、~U（y，y，V | X，U）和F | U | X（U | X）。第5步。I定义FU | X（U | X）=FU | X（U | X）=U。步骤6。对于任何u 6=u，定义FY*,Y*,V | X，~U（y，y，V | X，U）=FY*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）。第7步。对于任何v/∈ [0，1]，定义为*,Y*,V | X，~U（y，y，V | X，U）=FY*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）。第8步。从现在开始，考虑v∈ [0, 1].

自年月日起*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）=Fy*,Y*|十、 ~U，~V（y，y | X，U，V）·F ~V | X，~U（V | X，U），有助于定义F | y*,Y*|十、 U、▄V（y，y | X，U，V）和F▄V | X、▄U（V | X，U）。步骤9。定义V | X，~U（V | X，U）=mS（x，u）·如果v≤ Q（0，x）mS（x，u）+S（x，u）·v- Q（0，x）Q（1，x）- Q（0，x）如果Q（0，x）<v≤ Q（1，x）mS（x，u）+1.- mS（x，u）v- Q（1，x）1- 如果Q（1，x）<v，则Q（1，x）。步骤10。我写FY*,Y*|十、 ~U，~V（y，y | X，U，V）=F ~y*|十、 U，V（y | X，U，V）·Fy*|十、 ~U，~V（y | X，U，V），意味着我可以单独定义Fy*|十、 U、▄V（y▄X，U，V）和F▄y*|十、 U，| V（y | X，U，V）。步骤11。当Y*是一个有界区间（假设7.3中的子情况（a）），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=y≥mY（x，u）mS（x，u）如果v≤ Q（0，x）- - - - - - - - -- - - - - - - -y≥y*+ y*当y时，如果Q（0，x）<v*= 最大{y∈ Y*} 和y*= 最小{y∈ Y*} （假设7.3中的子案例（b）），同上*|十、 U，V（y | X，U，V）=如果y<y，则为0*和v≤ Q（0，x）1-mY（x，u）mS（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*和v≤ Q（0，x）1如果y*≤ 扬德五世≤ Q（0，x）- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - --1{y≥ y*} 如果Q（0，x）<v，哪些是有效的累积分布函数，因为y（x，u）mS（x，u）∈y*, y*.步骤12。

当Y*是一个有界区间（假设7.3中的子情况（a）），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=1{y≥ α（x，u）}如果v≤ Q（0，x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - -1{y≥ γ（x，u）}如果Q（0，x）<v≤ Q（1，x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - -y≥y*+ y*当y时，如果Q（1，x）<v*= 最大{y∈ Y*} 和y*= 最小{y∈ Y*} （假设7.3中的子案例（b）），同上*|十、 U，V（y | X，U，V）=如果y<y，则为0*和v≤ Q（0，x）1-α（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*和v≤ Q（0，x）1如果y*≤ 扬德五世≤ Q（0，x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - --如果y<y，则为0*Q（0，x）<v≤ Q（1，x）1-γ（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*Q（0，x）<v≤ Q（1，x）1如果y*≤ yand Q（0，x）<v≤ Q（1，x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - --1{y≥ y*} 如果Q（1，x）<v，由于方程式（A.10）和（A.11），这是有效的累积分布函数。定义了联合累积分布函数FY*,Y*,~U、~V、Z、X，注意等式（A.10）和（A.11），mY（X，U）mS（X，U）∈y*, y*步骤7-12确保等式（16）成立。现在，我用三个步骤证明，等式（15）成立。步骤13。注意这一点*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=Eh▄Y*X=X，~U=U，Q（0，X）≥Viby▄砂的定义▄S=EhnQ（0，x）≥Vo· Y*X=X，~U=uiPhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui通过条件期望的定义=EhnQ（0，X）≥~Vo·Eh~Y*X=X，~U=U，~ViX=X，~U=uiPhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui根据迭代期望定律=Q（0，X）ZEh ~Y*X=X，~U=U，~V=vidF ~V | X，~U（V | X，U）PhQ（0，X）≥~VX=X，U=U，通过定义期望值和步骤7=Q（0，X）Zα（X，U）dF | V | X，U（V | X，U）PhQ（0，X）≥~VX=X，~U=U，步骤12=α（X，U）（A.12），步骤14中的勒贝格积分线性。

与上一步类似，请注意*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=Eh▄Y*X=X，~U=U，Q（0，X）≥Vi=EhnQ（0，x）≥Vo· Y*X=X，~U=uiPhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui=EhnQ（0，X）≥~Vo·Eh~Y*X=X，~U=U，~ViX=X，~U=uiPhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui=Q（0，X）ZEh ~Y*X=X，~U=U，~V=vidF ~V | X，~U（V | X，U）PhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui=Q（0，X）ZmY（X，U）mS（X，U）dF ~V | X，~U（V | X，U）PhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui，步骤11=mY（X，U）mS（X，U）。（A.13）步骤15。请注意OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=Eh▄Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i- EhY*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=α（X，U）-mY（x，u）mS（x，u）通过方程（A.12）和（A.13）=δ（x，u）通过α（x，u）的定义，确保方程（15）成立。最后，我通过两个步骤说明等式（17）是成立的。步骤16。固定（y、d、s、z）∈ 罕见地观察到，方程式（17）可以简化为：FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）<=>F▄Y，▄D，▄S，Z▄X（Y，D，S，Z▄X）·FX（X）=FY，D，S，Z▄X（Y，D，S，Z▄X）·FX（X）<=>F▄Y，▄D，▄S，Z | X（Y，D，S，Z | X）=FY，D，S，Z | X（Y，D，S，Z | X）（A.14）步骤17。

请注意，f▄Y，▄D，▄S，Z | X（Y，D，S，Z | X）=Ehn▄Y、▄D、▄S、Z≤ （y、d、s、z）oX=xi=锌▄Y、▄D、▄S、Z≤ （y、d、s、z）odFy*,Y*,U，▄V，Z | X（y，y，U，V，Z | X），因为▄Y、▄D、▄S、Z是的功能Y*,Y*,U、▄V、Z=Zhn公司▄Y、▄D、▄S、Z≤ （y，d，s，z）o·1{u 6=u}idF▄y*,Y*,U、~V、Z | X（y、y、U、V、Z | X）+Zhn▄Y、▄D、▄S、Z≤ （y，d，s，z）o·1{u=u}idF▄y*,Y*,通过Lebesgue积分的线性度=Zhn，U，~V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）▄Y、▄D、▄S、Z≤ （y，d，s，z）o·1{u 6=u}idF▄y*,Y*,因为PhU=U，所以U，V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）X=xi=0，步骤5=Z[1{（Y，D，S，Z）≤ （y，d，s，z）}·1{u 6=u}]dFY*,Y*,U、 V，Z | X（y，y，U，V，Z | X），步骤2-6=Z[1{（y，D，S，Z）≤ （y，d，s，z）}·1{u 6=u}]dFY*,Y*,U、 V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）+Z[1{（y，D，S，Z）≤ （y，d，s，z）}·1{u=u}]dFY*,Y*,U、 V，Z | X（y，y，U，V，Z | X），因为P[U=U | X=X]=0=Z1{（y，D，S，Z）≤ （y，d，s，z）}dFY*,Y*,U、 V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）通过Lebesgue积分的线性=E[1{（y，D，S，Z）≤ （y，d，s，z）}| X=X]=FY，d，s，z | X（y，d，s，z | X），根据方程式（A.14）表示方程式（17）。然后我可以得出结论，定理12是真的。作为备注，上述构造性证明定义了随机变量Y*,Y*,U，▄V这与真实数据生成过程中的其他重要时刻相匹配，除了定理12所规定的时刻。备注1。请注意，pH▄S=1，▄S=1X=X，~U=ui=PhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui，通过第9步定义▄砂▄S=mS（X，U）（A.15），同样，pH▄S=0，~S=1X=X，~U=ui=PhQ（1，X）≥V>Q（0，x）X=X，~U=ui=S（x，u）。（A.16）备注2。与方程式（A.12）类似，我发现*X=X，~U=U，~S=0，~S=1i=γ（X，U）。（A.17）备注3。结合方程式（A.5），（A.12）和（A.15）-（A.17），我得到了X=X，~U=ui=mY（X，U）。备注4。