美国可赎回信用违约掉期的最优估值

（2.9）示例2.4考虑ψ（λ）=uλ+σλ的单侧跳跃扩散过程X-aλλ+C对于所有λ∈ R s.t.λ6=-c、 众所周知，参见例如[10]，对于u>0，W（u）（x）=e-ξxψ(-ξ） +e-ξxψ(-ξ） +eΦ（u）xψ（Φ（u）），x个≥ 0，（2.10），其中-ξ, -ξ、 Φ（u）表示ψ（λ）=u s.t的三个根。-ξ< -c类<-ξ<0<Φ（u）。很容易检查WΦ（u）（x）是否由WΦ（u）（x）=e给出-（ξ+Φ（u））xψ(-ξ） +e-（ξ+Φ（u））xψ(-ξ） +ψ（Φ（u）），x个≥ 0。（2.11）ψ（λ）的凸性意味着ψ(-ξ) < 0, ψ(-ξ） <0且ψ（Φ（u））>0。因此，WΦ（u）（x）是递增的、凹的，并且从上方以1/ψ（Φ（u））为界。比例函数WΦ（r）（x）（2.11）和W（r）（x）/W（r）0（x）如图1所示。当σ=0（x具有有界变化）和σ6=0（x具有无界变化）时，这两个函数在x中都是递增的，并且在x=0时分别具有非零值和零值。请注意，W（r）（x）/W（r）0（x）以1/Φ（r）为界。针对给定的0<a<b和q，美国可赎回信用违约掉期根据提款9提案2.5≥ 0，我们有所有y∈ [a，b]，E | ye-qτ-a{τ-一≤τ+b}=W（q）（b）- y） W（q）（b）- a） ，（2.12）E | ye-qτ+b{τ+b≤τ-a}=Z（q）（b）- y）-Z（q）（b）- a） W（q）（b）- a） W（q）（b）- y） 。（2.13）证明（2.12）的证明根据观察结果得出，τ-a<τ{0}a.s.以及两个事件{Yt，t<τ{0}，P | y}和{-Xt，t<t+，P-y} 。恒等式（2.13）是利用Y的强马尔可夫性质、（2.12）、（2.8）以及条件期望的塔式性质（即| Y）建立的e-qτ+b{τ+b≤τ-a}=E | ye-qτ+b- E | ye-qτ-a{τ-a<τ+b}E | ae-qτ+b. 我们定义Gb（y；p，α，γ）=C∞（y，b；p，α）- γ.提案2.6（1.8），C∞（y，b；ep，eα）=eαZ（r）（b- y）-ep+reαW（r）（b）W（r）0（b）W（r）（b）- y） 。（2.14）此外，（2.3）becomesVb（y；ep，eα，γ）=supθ∈T[0，∞)E | ye-rθGb（Yθ；ep，eα，γ）；θ ≤ τ+b.

（2.15）注意，我们使用了符号约定：E[·A]=E[·1A]。证明（2.14）的证明遵循命题2.2至（1.8）。vb的表达式是由强Markov性质得到的。首先，回想一下e-rτ+b{θ<τ+b}= E | yhEe-rτ+b{θ<τ+b}Fθi=E | yhe-rθ{θ<τ+b}E | Yθe-rτ+bi、 其中，内部期望E | Yθe-rτ+b使用（2.8）byE | Yθ给出e-rτ+b= Z（r）（b）- Yθ）- rW（r）（b）W（r）0（b）W（r）（b）- Yθ）。（2.16）再次，根据条件期望迭代律和强马尔可夫性，E | yh{θ<τ+b}Zτ+bθE-rtdSti=E | yhe-rθ{θ<τ+b}E | YθhZτ+be-rtdStii。根据恒等式（2.7），内部期望由| YθhZτ+be给出-rtdSti=W（r）（b- Yθ）W（r）0（b）。（2.17）将两部分（2.17）和（2.16）放在一起，得到Gb（Yθ；ep，eα，γ）。在下面的续集中，我们分别对值函数Vb（y；ep，eα，γ）和payoff函数Gb（y；ep，eα，γ）使用简写符号Vb（y）和Gb（y）。10 Z.Palmowski，B.A.Surya3停止问题的解决方案（2.15）在本节中，我们讨论停止问题（2.15）的解决方法。我们将表明，停止问题可以减少到低于固定水平的下降过程Y的第一段。我们的方法与vanMoerbeke在[20]中提出的方法类似。由反射过程的LYan微型生成器表示y=S- X由yf（z）=-uF（z）+σF（z）+z-∞F（z- w）- F（z）+w1{-1.≤w<0}F（z）有界连续函数F的∏（dw），（3.1），它是两次连续可微的，即F∈ Cb（R+）∩C（R+），其中Fand Fdenote是F的第一个和第二个导数。注意，上述生成器对应于X具有σ>0的无界变化路径的情况。

然而，当X具有有界变差路径时，我们将σ设置为0，积分中的总跳跃替换为r{w<-1}F（z- w）- F（z）π（dw），然后调整X（1.1）的漂移。为了解决问题（2.15），我们将最优停止规则减少到低于提取过程Y水平的FirstPassage。也就是说，我们将显示最优停止的值函数（2.15）与函数evb（y）=（Gb（y），对于y∈ [0，h？]Gb（h？）W（r）（b）-y） W（r）（b）-h？），对于y∈ [h？，b]，（3.2），其中0<h？<b定义为方程（2.5）的最大根（如果存在）。下面的结果给出了转换成本γ的一个条件，其中方程（2.5）具有唯一的正值解h？<b、 命题3.1存在唯一解h？方程（2.5）foreαZ（r）（b）- rW（r）（b）W（r）0（b）> γ>eα1.- rW（r）（0）W（r）0（0）. （3.3）关于W（r）（0）和W（r）0（0）的值，请参见[11]中的引理4.3和引理4.4。证据证据分为两部分。首先，我们证明了对于给定的r>0，Z（r）（b）- rW（r）（b）W（r）0（b）<1- rW（r）（0）W（r）0（0）， b≥ 0，（3.4）导致γ的存在。为此，考虑函数fr（b）：=Z（r）（b）- rW（r）（b）W（r）0（b）-W（r）（0）W（r）0（0）- 1.（3.5）提款11项下的美国可赎回信用违约掉期取fr（b）的衍生工具w.r.t b，经过一些计算，我们得出DDBFR（b）=-rW（r）（b）ddbW（r）（b）W（r）0（b）< 0，其中不等式根据（2.9）得出，进而得出（3.4），前提是fr（0）=0，然后得出（3.3），eα<0。接下来，从（2.5），ddhf（h）：=eαZ（r）（b- h）- reαW（r）（b）- h）W（r）0（b- h）- γ（3.6）=reαW（r）（b- h） ddx公司W（r）（x）W（r）0（x）x=b-h<0，对于0≤ h类≤ b其中不等式符号是由eα<0和（2.9）引起的。（2.5）的解的唯一性取决于（3.3），其中f（0）>0，f（b）<0。命题3.2 Letτ-h、 h>0时，为停止时间（2.4）。

那么，eVb（y）=suphE | ye-rτ-hGb公司Yτ-h类; τ-h类≤ τ+b. （3.7）回顾证明，在没有正跳跃的情况下，Yτ-h=P | y下的h a.s.因此，根据命题2.5，我们得到jh（y）：=E | ye-rτ-hGb（Yτ-h） ；τ-h类≤ τ+b= Gb（h）W（r）（b）- y） W（r）（b）- h） 。（3.8）将一阶Euler条件应用于函数h→ Jh（y），我们有0=hJh（y）=W（r）（b- y）Gb（h）W（r）（b）- h） +Gb（高）W（r）0（b- h）W（r）（b）- h）= W（r）（b）- y）- reαW（r）（b）- h）+ eαZ（r）（b- h） W（r）0（b- h）- γW（r）0（b- h）W（r）（b）- h）,由此我们推断出以下命题3.1，h？唯一地解方程（2.5）。进一步计算表明hJh（y）h=h=reαW（r）（b- h？）W（r）0（b- h？）×[W（r）0（b- h？）]- W（r）（b）- h？）W（r）00（b- h？）（W（r）0（b- h？））=reαW（r）（b- h？）W（r）0（b- h？）ddx公司W（r）（x）W（r）0（x）x=b-h？，通过（2.9）确认h？最大化函数h→ Jh（y）。此外，对于0≤ y≤ h？，τ-h？=由于P | y{τ+b，在P | y荷载toeVb（y）=Gb（y）下的0 a.s≥ 0}=1，这依次建立（3.7）和（3.2）。基于以下事实，我们证明了主要结果。在剩下的γ≤ 0满足约束（3.3）。12 Z.Palmowski，B.A.SuryaProposition 3.3（2.15）的支付函数Gb（y）满足以下等式：LY公司- rGb（y）=rγ，对于所有0≤ y≤ b、 （3.9）请注意，不等式（3.9）的左侧由（2.14）和标度函数的平滑度很好地定义，当X有不均匀路径且Lévy测度没有原子时，标度函数的平滑度为C（R+），如果X有无边界变化路径且σ>0，则为C（R+）。定理3.4最优停止问题（2.15）的值函数Vb（y；ep，eα，γ）由（3.2）给出，并在τ处获得-h？：=inf{t>0:Yt<h？}，i、 e.，Vb（y；ep，eα，γ）=e | ye-rτ-h？GbYτ-h？；ep，eα，γ; τ-h？≤ τ+b.

（3.10）此外，无论X的样本路径是否规则，值函数都满足边界处的连续和平滑粘贴条件，Vb（y；ep，eα，γ）=Gb（y；ep，eα，γ），y=h？，Vb（y；ep，eα，γ）=y=h？时的Gb（y；ep，eα，γ）？。命题3.5函数Vb（y）唯一地解出了变分不等式maxGb（y）- Vb（y），LY公司- rVb（y）= 0，对于0≤ y≤ b、 （3.11）注意，方程（3.11）可用于/扩展，以数值求解最优停止问题（2.15）的最终到期日计数器部分。上述定理说明了当参考资产在支付成本γ的情况下增加时，通过以较低的溢价率bp和较低的违约金bα行使看涨期权，信用违约掉期的最佳解决方案。4解的最优性和唯一性需要以下结果来确定第3节的主要结果。引理4.1，对于任何0≤ h<b过程e-u（t∧τ-h类∧τ+b）W（u）（b- 年初至今∧τ-h类∧τ+b）t型≥0,e-u（t∧τ-h类∧τ+b）Z（u）（b- 年初至今∧τ-h类∧τ+b）t型≥0，为英尺-h的概率测度P | y下的鞅≤ y<b.证明通过采用[4]中的方法来降低Lévyprocess。更精确地说，是为了显示过程的鞅性质e-u（t∧τ-h类∧τ+b）W（u）（b- 年初至今∧τ-h类∧τ+b）t型≥0，回想一下，对于x<0，W（u）（x）=0，以及下面的P | y-几乎肯定等价{τ-h类≤τ+b}=W（u）（b- Yτ-h类∧τ+b）/W（u）（b- h） 。

（4.1）提款13项下的美国可赎回信用违约掉期因此，根据等式（2.12），（4.1）和强马尔可夫性质，E | yhe-u（τ-h类∧τ+b）W（u）（b- Yτ-h类∧τ+b）W（u）（b- h）Fti=1{τ-h类∧τ+b≥t} e类-utE | Ythe-u（τ-h类∧τ+b）W（u）（b- Yτ-h类∧τ+b）W（u）（b- h） i+1{τ-h类∧τ+b<t}e-u（τ-h类∧τ+b）W（u）（b- Yτ-h类∧τ+b）W（u）（b- h） =1{τ-h类∧τ+b≥t} e类-utW（u）（b）- Yt）W（u）（b）- h） +1{τ-h类∧τ+b<t}e-u（τ-h类∧τ+b）W（u）（b- Yτ-h类∧τ+b）W（u）（b- h） =e-u（t∧τ-h类∧τ+b）W（u）（b- 年初至今∧τ-h类∧τ+b）W（u）（b- h） 。因此，{e-u（t∧τ-h类∧τ+b）W（u）（b- 年初至今∧τ-h类∧τ+b）}t≥0is P | yFt-鞅。假设{τ+b≤τ-h} =Z（u）（b）- Yτ-h类∧τ+b）-Z（u）（b）- h） W（u）（b）- h） W（u）（b）- Yτ-h类∧τ+b），可以使用恒等式（2.13）和强马尔可夫性质来表示-u（t∧τ-h类∧τ+b）Z（u）（b）- 年初至今∧τ-h类∧τ+b）-Z（u）（b）- h） W（u）（b）- h） W（u）（b）- 年初至今∧τ-h类∧τ+b）加班费≥0，为P | yFt-鞅，因此也是鞅e-u（t∧τ-h类∧τ+b）Z（u）（b- 年初至今∧τ-h类∧τ+b）t型≥0命题4.2适用于任何0≤ h<b，e-r（t∧τ-h类∧τ+b）C∞（年初至今）∧τ-h类∧τ+b，b；ep，eα）t型≥0英尺-测度P | y下的鞅，h≤ y≤ b、 证明从引理4.1到（2.14），证明很简单。提案4.3适用于所有y∈ 【h？，b】，功能eVb（y）满足：（i）eVb（y）≤ 0和Vb（y）≥ 0（对于所有0≤ y≤ b） ，（ii）（LY）- r） eVb（y）=0，（iii）eVb（y）≥ Gb（y）。证明14 Z.Palmowski，B.A.Surya（i）根据Vb（y）（3.2）、（2.9）的定义以及0<W（r）（x），增加x个≥ 对于eα，ep<0，Gb（h？）=reαW（r）（b- h？）hW（r）（b）- h？）W（r）0（b- h？）-W（r）（b）W（r）0（b）i- epW（r）（b）- h？）W（r）0（b）>0，且对于所有0，Payoff函数Gb（y）是单调递减的≤ y≤ b asGb（y）=epW（r）0（b- y） W（r）0（b）+reαW（r）（b）W（r）0（b）ddbW（r）（b）- y） W（r）（b）≤ 0 （4.2）（ii）引理4.1，e-r（t∧τ-h？∧τ+b）eVb（Yt∧τ-h？∧τ+b）t型≥0英寸-鞅。

因此，考虑到事件{t:t<τ{0}}}在P | y下的Stieltjes测度为零，这意味着（LY- r） eVb（y）=0表示所有y∈ 【h？，b】，见（4.3）。（iii）证据来自h的定义？（2.5）和（2.9），根据这两种方法，我们得到了EVB（y）- Gb（y）=reαW（r）0（b- y） hW（r）（b）- y） W（r）0（b- y）-W（r）（b）- h？）W（r）0（b- h？）我≥ 对majorant财产的索赔遵循aseVb（h？）- Gb（h？）=0提议4.4流程e-r（t∧τ+b）eVb（Yt∧τ+b）t型≥0英寸-超级马丁格尔。证明给出了尺度函数W（r）（x）的光滑性，我们通过应用三元过程（t，St，Xt）的变量变化公式，参见Protter[16]中的定理33，应用于贴现过程e-r（t∧τ+b）eVb（Yt∧τ+b），t的贴现过程的LévyIt^o样本路径分解≥ 0再见-r（t∧τ+b）eVb（Yt∧τ+b））=eVb（y）+Zt∧τ+be-rueVb（0）1{Yu=0}dSu+Zt∧τ+be-俄罗斯LY公司- r） eVb（Yu）du+Mt∧τ+b，（4.3）在P | y下，0≤ y≤ b、 其中，根据Doob的可选停止定理，Mt∧τ+bis Ft-带E | y的鞅Mt公司∧τ+b= 0.根据命题4.3的（ii），且EVB（y）=Gb（y）表示0≤ y≤ h？，该索赔是根据（3.9）和（4.2）确定的，根据这两个定义，EVB（0）=Gb（0）的定义（3.2）为EVB（y）≤ 04.1命题3.3的证明，因为事件{t<τ-h类∧ τ+b}在P | y下测量的Stieltjes为零，0≤ h类≤ y≤ b、 它遵循命题4.2和流程的路径分解（pathsdecomposition）（4.3）e-r（t∧τ-h类∧τ+b）C∞（年初至今）∧τ-h类∧τ+b，b；ep，eα）t型≥0这（LY- r） Gb（y）=rγ，表示所有y∈ 【h，b】。鉴于他的任意性，索赔（3.9）成立。提款项下的美国可赎回信用违约掉期154.2定理3.4的证明回顾一下（2.15），价值函数Vb（y）满足支付函数Gb（y）的主要属性，即Vb（y）≥ Gb（y）表示所有y∈ [0，b]。更准确地说，在（2.15）之后，我们有Vb（y）≥ E | ye-rθGb（Yθ）；θ ≤ τ+b对于所有停止时间θ∈ T[0，∞).

自0起∈ T[0，∞)和P | y{τ+b≥ 0}=1，则θ=0的声明如下。此外，Vb（y）=Gb（y）保持约0≤ y≤ b使得P | y{θ=0}=1。集合S={0≤ y≤ b:Vb（y）=Gb（y）}对应问题（2.15）的停止区域。如果值函数Vb（y）是连续的，则S是闭合集。集合S的补码C指（2.15）的连续区域，即C={0≤ y≤ b:Vb（y）>Gb（y）}。为了证明停止问题（2.15）可以在（3.9）下减少到下降过程Y水平以下的第一段，让我们在不失去一般性的情况下重写问题（2.15），如下所示：Vb（Y）=supθ∈T[0，τ+b）E | ye-rθGb（Yθ）.注意以下（2.15）Vb（y）≥所有y的eVb（y）∈ [0，b）。此外，我们有∈ [0，b]表示t≤ τ+b。为了证明逆不等式，我们将使用OptionalStopping定理。首先，我们检查是否在边界y=h？处满足连续粘贴？。要显示平滑粘贴条件，请回想一下函数的右导数Vb（y）=Gb（h？）W（r）（b）- y） /W（r）（b）- h？）在点y=h？由Vb（h？）给出=-Gb（h？）W（r）0（b-h？）/W（r）（b）-h？）。根据h？求解方程（2.5）得出Vb（h？）=-reαW（r）（b- h？）+ep+reαW（r）（b）W（r）0（b）W（r）0（b）- h？=Gb（h？）。因此，我们发现，无论Lévyprocess的样本路径上的正则性条件如何，连续和平滑的粘贴条件都是满足的。回顾以下命题4.4，即过程{e-r（t∧τ+b）eVb（Yt∧τ+b），t≥ 0}是超级鞅。因此，根据Palmowski和Tumilewicz[14]的引理7，命题4.3的正性，以及命题4.3的正性，我们得到了任何停止时间θ，eVb（y）≥ E | ye-r（θ∧τ+b）eVb（Yθ∧τ+b）≥ E | ye-rθGb（Yθ）；θ ≤ τ+b.

（4.4）我们使用了上述主要属性vb（y）≥ Gb（y）表示y∈ [0，b]。在（4.4）右侧的所有停车时间上取上确界完成了对第一个断言的证明。4.3命题3.5的证明可以直接检查以下命题4.3和3.3，即最优停止（2.15）的值函数Vb（y）满足变分不等式16 Z.Palmowski，B.A.Surya（3.11）。设（U，d）是（3.11）的对解，使得U（y）≥ 0表示所有0≤ y≤ b、 U（y）=所有0的Gb（y）≤ y≤ d和U（y）≥ Gb（y），否则。假设U具有平滑度，以便Lévy It^o分解（4.3）适用，即-r（t∧τ+b）U（Yt∧τ+b）=U（y）+Zt∧τ+be-ruU（0）1{Yu=0}dSu+rγZt∧τ+be-ru{0≤于≤d} du+Mt∧τ+b.（4.5）注意，我们已经应用了命题3.3的结果。自（Vb，h？）是停止问题（2.15）的一对最优解，对于所有0≤ y≤ b、 Vb（y）≥ U（y），（4.6），这又意味着h？≤ d、 接下来，对于给定的y∈ [h？，d]，我们将t替换为τ后-h？在分解（4.5）中，取期望值E | ythatE | ye-r（τ-h？∧τ+b）U（Yτ-h？∧τ+b）= U（y）+rγE | yhZτ-h？∧τ+be-ru{0≤于≤d} 酒后驾车。（4.7）通过0上U（y）的正性≤ y≤ 对于0，U（y）=Gb（y）≤ y≤ 随着E | ye-rτ-h？Gb（Yτ-h；τ-h？≤ τ+b= Vb（y），然后我们得到u（y）+rγE | yhZτ-h？∧τ+be-ru{0≤于≤d} 酒后驾车≥ Vb（y），由（4.6）得出相反的结果，假设γ≤ 因此，{h？≤ d} 是一个空穴，它依次跟随h？=d和U（y）=Vb（y），对于所有0≤ y≤ b、 类似的论点可适用于处理停止问题（2.15）的有限成熟度对应物，在这种情况下，唯一解的证明（3.11）被简化为显示曲线停止边界h的唯一性？（t） 求解非线性积分方程（4.7）。Jacka【8】、Peskir【15】和Surya【19】在美国看跌期权定价的案例中使用了这种方法。

5个数值例子为了举例说明主要结果，我们讨论了拉普拉斯指数ψ（λ）=μλ+σλ的单边泵扩散过程X的一些数值例子-aλλ+C对于所有λ∈ R s.t.λ6=-c、 有关相应的比例函数，请参见示例2.4。我们将u=0.075、a=0.5和c=9设置为（平均每两年一次，固定资产的瞬时损失为其价值的10%）。我们假设该公司的违约水平为b=log（5），r=10%。发行人将现有合同称为新合同，提供eα=-$5更少的违约保险，更低的保险费率ep=-比现有信用违约掉期高出2.5%，取决于转换成本γ=-$1、提款项下的美国可赎回信用违约掉期170 1 2 3 4 5b-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10fr（b）情况σ=0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6h-3.5-3-2.5-1.5-1-0.500.51f（h）情况σ=0.0 1 2 3 4 5b-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10fr（b）情况σ=0.2.0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6h-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51f（h）情况σ=0.2。图2：函数fr（b）（3.5）和f（h）（2.5）左侧的曲线图。我们考虑两种情况：σ=0和σ=0.2。第一种情况对应于具有有界变化路径的固定值的基本过程X，而另一种情况具有无界变化路径。图2显示了方程n解唯一性证明中引入的函数fr（b）（3.5）。（2.5）和功能f（h）（2.5）的左侧）。在这两种情况下，我们注意到这两个函数都表现出证明中所要求的递减性质，特别是函数f（h）有唯一的根h=h？低于该值f（h）为负值。图3显示了各种h<y值和值函数vb（y）=Jh？的函数Jh（y）（3.8）的形状？（y） 。σ=0情况下的最佳停车水平为h？=1.1476，而h？=σ=0.2时为0.5590。