[量化金融] APT的风险中性定价 [推广有奖]

沙发

发表于 2022-6-14 13:50:12 |只看作者 |坛友微信交流群

Noname手稿编号（将由编辑插入）套利定价理论的风险中性定价Urence Carassus·Mikl’os R’asonyReceived：date/Accepted：date摘要我们考虑由称为套利定价理论的金融模型激发的有限维优化问题。使用概率和函数分析工具，我们提供了超级复制成本的双重特征。然后，我们证明了投资者最大化其预期效用的最优策略的存在性，以及当他们的风险厌恶趋于一致时，他们的保留价格与超级复制成本的收敛性。关键词有限维优化·套利定价理论·支持复制·预期效用·保留价格·lar ge marketsLaurence CarassusL’eonard de Vinci P^ole Universitaire，研究中心，92 916 Paris La D’efense，FranceandLMR，UMR 9008，Universit’e de Reims Champang Ardenne，Francelaurence。carassus@devinci.frMiklos R'asonyi，相应作者，布达佩斯R'enyi数学研究所，Hungaryrasonyi@renyi.hu2Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyimatomics Subject Classification（2010）91G10·93E20·91B161介绍了基于著名金融理论套利定价理论（APT）的有限维优化问题研究。我们首先揭示了与APT相关的经济和金融背景，并展示了它对金融数学和数学经济学界的重要性。然后，我们解释了我们对这一广泛研究领域的贡献及其数学方面。套利定价理论最初由Ross（见[1,2]）提出，后来由[3,4]和其他许多作者加以扩展。

藤椅

发表于 2022-6-14 13:50:16 |只看作者 |坛友微信交流群

APT假设一个近似因子模型，并声明“大型”金融市场中的风险资产回报与一组称为因子的随机变量呈线性依赖关系，残差与因子不相关，也不相互关联。APT的一个可取的方面是，它可以进行经验测试，例如，在[5]中所述。这些结论对经验主义工作有很大的影响：例如参见[6]。APT理论方面的论文主要集中于表明，当存在“足够多”的资产时，该模型在一系列经济中是一个很好的近似（例如，见[1,3,4]）。Ross在假设不存在渐近无成本和无风险的有限投资组合序列不能在极限内产生正回报的情况下，推导了APT定价公式。MatheRisk Neutral Pricing for Arbigate Pricing Theory 3随后，在所谓的大型金融市场理论中，MatheRisk Neutral Pricing for Arbigate Pricing Theory 3 Material Finance提出了一个市场涉及一系列资产数量不断增加的市场的想法（见其他文献[7-10]）。作者主要研究了无套利渐近概念的特征，使用涉及大量资产的投资组合序列，其中经典的无套利不成立，即零成本的非负投资组合应具有零回报。出于一般性考虑，绝大多数相关文献都假设连续交易。但这些概括在某种程度上掩盖了[1]中提出的高度独创性的想法，他认为这是一个单步模型。

板凳

发表于 2022-6-14 13:50:19 |只看作者 |坛友微信交流群

他们也没有回答以下自然问题：在APT中，有没有一种方法可以考虑可能涉及所有固定资产的策略，并排除对这些资产的精确套利，而不是只考虑套利的渐近概念？在测量理论设置中，第一个答案在【11】中给出。然后，[12,13]提出了使用大量资产的por tfolios的直截了当的概念，我们也将在本文中使用这一概念：见下文第2节。这个概念导致了等价风险中性（或鞅）概率测度的存在。虽然经济学和金融数学界已经对APT的套利问题进行了广泛的研究，但其他关键话题——如效用最大化或定价——几乎没有受到关注，尽管这些是当今市场上的重要问题，因为市场上有大量的可用集。这一点在信贷市场尤其明显，在信贷市场中，各种到期日和发行人的债券确实构成了一个可能是最大的实体4 Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyiv被视为一个大型金融市场（见[14]）。定价问题不可避免，APT的现有文献并没有提供令人满意的答案。标准问题是计算索赔G的超级复制成本。它是代理销售G以通过市场交易实现超级复制所需的最低金额。这是无风险的套期保值价格，据我们所知，这是在[15]交易成本的背景下首次引入的。在拥有众多资产的完整市场中，超级复制成本（superreplicationcost）只是根据独特的定价方法计算的现金流预期值。

报纸

发表于 2022-6-14 13:50:21 |只看作者 |坛友微信交流群

当此类市场不完全时，就根据每个风险中性概率测度计算的预期的上限而言，存在所谓的双重表示，见【16】和【17】中的参考文献。我们的首要贡献就是在温和条件下APT的表示定理（见定理4.1）。该方法基于函数分析技术，如马辛凯维奇-齐格蒙德不等式或巴拿赫-萨克斯性质。引理3.3中证明的一致可积性以及对偶方法（使用风险中性概率）允许在APT的上下文中首次证明在可能扔掉金钱后可达到的最终支付函数集的概率闭包（见命题3.1和推论3.1）。我们还证明了aso中无套利条件的一个特征，称为“定量”形式（见命题3.2），这在本文的其余部分将是至关重要的。我们提到了[18]，在持续的时间性大型金融市场的大背景下，已经考虑到了偶然性目标的过度增长。然而，这篇论文依赖于套利定价理论5组合的广义风险中性定价的概念，与我们在这里使用的直接投资组合概念不同，它没有一个自然的解释。接下来，我们考虑偏好冯·诺伊曼·摩根·斯特恩（von NeumannMorgenstern ty pe）（见[19]）的经济代理人，即。，它们由凹增量函数表示。在我们的APT框架中，我们能够证明正实轴上此类效用函数的优化器的存在性（见定理5.1）。这些结果是许多资产的标准（见参考文献[17]），但在目前的情况下，我们面临的是有限维投资组合。在APT的设置中，我们提到了[20]，它依赖于广义Portfolios的概念。

地板

发表于 2022-6-14 13:50:30 |只看作者 |坛友微信交流群

[12,13]中考虑了实线上定义的效用函数（即承认损失）（我们在下面的备注3.2中揭示了这两份文件与我们的文件之间的差异）。我们的定量无套利特征允许证明可容许策略集上的一个关键有界条件（见引理3.4）和最优解的存在性。最后，我们确定，当风险规避趋于一致时，效用差异（或保留）价格（见[21]）趋于超级复制价格。这就很好地将投资者的价格计算与超边际的无偏好成本联系起来（见定理6.1）。它还允许使用更便宜、基于参考的价格，而不是可能过于繁重的辅助复制价格。第2节介绍了该模型。第3节讨论了无套利的概念。第4节给出了超级复制价格的双重特征，第5节讨论了效用最大化问题。第6节和第7节对高风险补偿制度中的保留价格的asymp6 Laurence Carassus，Mikl’os R’asonytics进行了调查。2大型市场模型(Ohm, F、 P）是概率空间。我们主张一步到位的经济，其中包含可交易资产的数量。资产一的价格∈ N由（Sit）{t给出∈{0,1}}. 返回值Ri，i∈ N表示今天投资一美元价值的资产i所产生的收益（或损失），即Ri=Si/Si- 1、我们在下面简要描述了套利定价模型的版本，与[8,12,13,22]的版本相同，这是[1,3]中所述模型的特例。资产净值0表示无风险投资，为简单起见，我们假设回报率为零，即。，R=0。

7楼

发表于 2022-6-14 13:50:33 |只看作者 |坛友微信交流群

我们假设其他资产的收益由i给出：=ui+’βiεi，1≤ 我≤ m；Ri：=ui+mXj=1βjiεj+(R)βiεi，i>m，其中εi是随机变量，ui，βji，βi是常数。随机变量εi，1≤ 我≤ m作为影响所有资产i回报的因素≥ 1，而εi，i>m是特定于单个资产Ri，i>m的随机源。假设1εi是平方可积的独立随机变量，表示E（εi）=0和Eεi= 1对于所有i≥ 1、假设βi6=0，i≥ 1、我们使用BI对模型进行重新建模：=-ui′βi，1≤ 我≤ m；bi：=-ui′βi+mXj=1ujβji′βj′βi，i>mRisk中立定价套利定价理论7，集b：=（bi）i≥1、资产收益率则取m的以下值：Ri=(R)βi（εi- bi），1≤ 我≤ m；Ri=mXj=1βji（εj- bj）+βi（εi- bi），对于某些n，i>m∈ N、资产0，…，中的por tfolioφ，n是任意序列（φi）0≤我≤nof实数满足Pni=0φiSi=x，其中x是给定的初始财富。当S=S时，一个投资组合明天的价值将由vx给出，φn：=nXi=0φiSi=x+nXi=1φiSiRi=x+nXi=1hi（εi- bi）=：Vx，hn，对于某些（h，…，hn）∈ Rn，使用我们的参数化。Jx给出了使用大量资产可以实现的未来价值：=∪n≥1.Vx，hn：（h，…，hn）∈ 注册护士. 由于JX在任何合理的意义上都无法关闭，因此我们考虑可以在很多资产中使用的策略。从经济角度来看，这是可取的（见[11]）。LetΦ：l:=（（hi）i≥1:∞Xi=1hi<∞)→ L（P）：={X：Ohm → R、 E | X |<∞}x 7→ Φ（h）：=∞Xi=1hiεi。回想一下，空间lL（P）是具有相应tivnorm | | h的Hilbert空间||l:=聚丙烯∞i=1hiand | | X | | L（P）：=pE（| X |）。Φ（h）的有限和必须理解为（Pni=1hiεi）n的L（P）极限≥1，这是柯西序列。的确，让h∈ l, 在假设1下，对于p>n，EpXi=1hiεi-nXi=1hiεi！=pXi=n+1hi≤∞Xi=n+1hi，当n足够大时，它可以任意小。

8楼

发表于 2022-6-14 13:50:36 |只看作者 |坛友微信交流群

实际上，在假设1下，Φ是等距的，即Φ（h）| L（P）=P∞i=1hi=khkl. 我们希望Laurence Carassus、Mikl’os R’asonyito对投资组合价值Vx，h：=x+P给出意义（作为有限金额序列的L（P）极限）∞i=1hi（εi- bi）。从那时起pXi=1hi（εi- bi）-nXi=1hi（εi- bi）！=pXi=n+1hi+pXi=n+1hibi，（1）我们需要以下假设。假设2我们有b∈ l.然后，（1）表明（Pni=1hi（εi-bi））n≥1是L（P）和Vx中的Cauchy序列，his定义明确。此外，请注意∞Xi=1hi（εi- bi）！=∞Xi=1hi+∞Xi=1hibi≤ （1+kbkl)khk公司l< ∞. （2）从现在起，我们将使用符号hh，ε- bi：=P∞i=1hi（εi- bi）。在假设1和假设2下，未来的投资组合价值可以通过使用具有以下战略的大量资产来实现l因此由kx给出：={Vx，h:h∈ l} = {x+hh，ε- bi:h∈ l}.3无套利在大Marke-tsIn套利定价理论中，套利的经典notio n是[1]和[3]意义上的渐近套利。定义3.1如果存在策略序列（h（n））n，则存在渐近套利≥1，h（n）=（h（n）i）1≤我≤n、这样E（Vx，h（n）n）-→n→+∞∞ 和Var（Vx，h（n）n）-→n→+∞如果不存在这样的序列，那么我们就说不存在渐近性RBITRAGE（AAA）。套利定价理论的风险中性定价9我们想理解AAA与无套利的经典定义之间的联系，如下一定义所述。定义3.2“小市场”上的无套利条件，对于某些N≥ 如果P为1，则1为真PNi=1hi（εi- bi）≥ 0= 1表示（h，…，hN）∈ RN表示h=…=hN=0。

9楼

发表于 2022-6-14 13:50:40 |只看作者 |坛友微信交流群

这称为AOA（N）。我们证明，在以下假设下，在任何包含N个资产的小型市场（se e引理3.1）和大型市场（见引理3.2）中都不存在套利。假设3适用于所有i≥ 1，P（εi>bi）>0，P（εi<bi）>0。引理3.1在假设1下，假设3表示anyN的AOA（N）≥ 此外，AOA（N）暗示了所谓的“定量”无套利条件：存在一些αN∈]0，1[，对于每（h，…，hN）∈ RNsatisfyingPNi=1hi=1，PPNi=1hi（εi- bi）<-αN> αN.证明修复某些N≥ 1和let（h，…，hN）∈ Rn使Pni=1hi（εi-bi）≥ 0a。s、我们自相矛盾地前进。假设IN：={i∈ {1，…，N}，hi6=0}6= . 设Bi：={hi（εi- bi）<0}。然后，Ti∈INBi公司nPNi=1hi（εi- bi）<0度。作为（εi）i≥1独立于i∈ IN，P（Bi）≥ 最小{P（{εi- bi<0}），P（{εi- bi>0}>0，我们得到PTi公司∈INBi公司=气∈INP（Bi）>0，矛盾。最后一个结果的概率是标准的（参见示例[23]），因此省略了。众所周知，在具有完全多个集合的市场中，套利的abs e nc e等价于等价鞅测度的存在，参见10 Laurence Carassus、Mikl’os R’asonyi【24】和【17】中的参考文献。在当前具有无穷多个集合的情况下，我们需要考虑具有单位秒矩的等价鞅测度。LetM：=Q~ P：dQ/dP∈ L（P），等式（εi）=bi，i≥ 1..备注3.1如果Q∈ 如果假设1和2成立，则∈ l, 均衡器V0，小时= 这是Cauchy-Schwar z不等式，另见引理3.4 of【13】。不幸的是，目前还不知道第1、2和3项是否足以确保M6= （见[22]第4条）。所以我们还假设如下。假设4我们有supi≥1E级|εi|< ∞.备注3.2我们评论了与[12,13,22]的主要差异。首先，我们使用[22]来表示M6=. 这正好符合假设4。

10楼

mingdashike22

发表于 2022-6-14 13:50:43 |只看作者 |坛友微信交流群

在[13]中，两个条件都为NFI≥1P（εi>x）>0和infi≥1P（εi<-x） >0表示所有x≥ 0，（3）supi∈氖εi{|εi|≥N}→ 0，N→ ∞, （4）都是假设的。证明了集合Kxis在概率上是闭合的，对于凹的、非递减的效用函数U:R→ R存在优化器。在[12]中，相当严格的假设（3）排除了所有εi均为有界随机变量的情况，其代价是要求εi（4）具有更高的可积性。假设3与supi一起假设≥1E级eγ|εi|< ∞, 对于某些γ>0。套利定价理论11的强矩风险中性定价条件在APT问题中并不适用，在本文中，我们设法使用较弱的假设4。此外，我们将能够证明Cx：=Kx- L+（P）在概率上是闭合的。[22]的推论1表明，在假设1、3和4下，AAA<==> 假设2<==> M6=. （5）根据（5），我们可以证明，AAA意味着经典的无套利条件，其中包含大量资产。引理3.2假设假设假设1、3、4和AAA都成立。然后，hh，ε- bi公司≥ 部分h为0 a.s∈ l意味着hh，ε- bi=0 a.s.Proof Let h∈ l假设hh，ε- bi公司≥ 0、修复一些Q∈ Mgiven by（5），然后EQ（hh，ε- bi）=0（见备注3.1）。因此hh，ε- bi=0 Q-a.s.和P-a.s.，因为P和Q是等效的。下面的引理对于证明Cx的闭包性质至关重要（见推论3.1）。引理3.3假设假设1和2成立，并假设对于某些γ≥ 2，那个supi≥1E |εi |γ<∞. 那么，有一个常数Cγ，对于所有h∈ lE | hh，ε- bi |γ≤ Cγkhkγl1+kbkγl.此外，如果γ=3，对于任何c>0，{| Vx，h |：h∈ l, khk公司l≤ c} 还有{| Vx，h |：h∈ l, khk公司l≤ c} 一致可积。12 Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyiProof Let h（n）：=（h，…，hn，0，0，…）和b（n）：=（b，…，bn，0，0。