存在套利的Black-Scholes方程

消失利率r的特殊选择≡ 0或浮动期限结构P≡ 1对于所有资产，对应于经典模型，其中只有资产价格及其动态相关。2.4不同几何框架中的套利理论现在，我们可以用自然几何语言重新表述第2.1小节中提出的资产模型。鉴于基础资产，我们希望构建投资组合理论并研究套利，因此我们不能先验地假设存在风险中性度量或国家价格波动。在微分几何方面，我们将采用数学家的方法，而不是物理学家的方法。市场模型被视为（贴现、期限结构）对的主要组合，贴现和组合再平衡（或外汇）作为平行运输，num'eraire作为计量组合的glo-bal部分，Arbitrage作为曲率。证明了无无界pro-fit-with-bounded-risk条件意味着零曲率条件。2.4.1市场模型，作为美国主要的纤维束公司，我们连续考虑一个拥有N个资产和一个数量的市场。一般投资组合的时间t由名义向量x描述∈ 十、 对于开集X 注册护士。按名义x，xNwe是指我们在投资组合中持有的资产数量。定义4后，通过计量表（Dj，Pj）=（（Djt）t来描述由N个合成零债券组成的资产模型∈[0,+∞[，（Pjt，s）s≥t） ，其中dj表示偏差，pj表示j=1的期限结构，N

More确切地说：dj是第j个金融工具在时间t的价值，用一些数字表示，Pjt是第j个合成零息债券在时间t的价值（用债务Djtat时间t的单位表示），到期日为s，在时间s交付一个金融工具单位。期限结构可以写成jt，s=expA-Zstfjt，udu~a，其中fjis是第j项资产的瞬时正向利率过程，相应的短期利率由rjt给出：=limu→t+fjt，u。对于名义值为x的投资组合∈ 十、 RNwe定义文本：=NXj=1xjDjtfxt，u：=NXj=1xjDjtPNk=1xkDktfjt，uPxt，s：=expA-Zstfxt，udu~a。短速率写入文本：=limu→t+fxt，u=NXj=1xjDjtPNk=1xkDktrjt。所有可能策略的图像空间rea dsM：={（x，t）∈ X×[0+∞[}。在第2.3小节中，引入了现金流强度和相应的计量转换。它们具有Abe-lian s emigroup H的结构：=E′（[0+∞[，R）={F∈ D′（[0+∞[）| s upp（F） [0, +∞【is Compact}，其中具有紧支持的分布上的半群运算是卷积（见第四章【22】），它扩展了公式（2）定义的正则函数的卷积。定义11。市场纤维束定义为gaugesB的纤维束：={（Dxt，Pxt，·）π|（x，t）∈ M、 π∈ G} 。定义可逆交易的现金流强度构成一个阿贝尔群G：={π∈ H |存在ν∈ H使得π* ν = δ}  E′（[0+∞[，R）。其中δ是Diracδ函数，作为恒等元。从命题7我们得到定理12。市场纤维束B的结构是由动作B×G给出的G-主纤维束-→ B（（D，P），π）7→ （D，P）π=（Dπ，Pπ）群G自由地、不同地作用于右侧的B。市场组合重新包装了有关资产未来及其基础的市场动态的所有信息。

主捆绑结构反映了固定时间的投资组合构建可能性，以及计量变换指定的给定现金流模式的合成债券构建可能性。2.4.2 Nelson弱D-差异市场模型我们继续根据随机差异几何学重新构建第2.1小节中引入的经典资产模型。定义13。N资产的Nelson弱D-可微市场模型由Ngauges描述，该模型对于时间变量是Nelson弱D-可微的。更确切地说∈ [0, +∞[和s≥ 这里有一个开放时间间隔I 因此，对于定义因子Dt：=[Dt，…，DNt]+和术语结构Pt，s：=[Pt，s，…，PNt，s]+，后者被视为t中的过程es和参数s，存在关于时间变量t的弱D导数（见附录a）。短期利率由rt定义：=lims→t型+slog Pt，s.A战略是一条曲线γ：I→ 由时间参数化的公文包空间中的X。这意味着时间t的分配由标称值xt的向量给出：=γ（t）。我们用γ表示γtoM的升力，即γ（t）：=（γ（t），t）。如果策略由闭合曲线表示，则称其为闭合的。弱可容许策略是可预测的，弱D-可微的。备注14。我们需要弱的D-可微性，而不是强的D-可微性，因为对t-修正策略施加先验正则性属性对应于限制与Delbaen和Schachermayer的经典概念相关的可容许策略类。每一个（无）套利考虑都在很大程度上取决于所选择的可采性定义。因此，限制可接受策略的类别可能导致自动排除潜在的套利机会，从而导致对各种资产定价基本定理的空洞陈述。

经典意义上的可接受策略（见第2节）是弱D-可微的。一般来说，分配可以取决于性质的状态，即对于ω，xt=xt（ω）∈ Ohm.提案15。弱D-容许策略是自融资的当且仅当ifD（xt·Dt）=xt·DDt-D*hx，Ditor Dxt·Dt=-D*hx，抖动Dxt·Dt=0，（4）几乎可以肯定。括号h·、·i表示二次协变量的连续部分。证据当且仅当xt·Dt=x·D+Ztxu·dDu时，该策略是自我融资的，这表示它的微分D，等效toD（xt·Dt）=xt·DDt，（5）或等效TODX·Dt=0。（6） 自我融资条件可以通过预期差异d表示*asxt·Dt=x·D+Ztxu·D*杜邦-Ztd hx，Diu，相当于toD*（xt·Dt）=xt·D*Dt公司- D*hx，Dit。（7） 通过对方程（5）和（7）求和，我们得到D（xt·Dt）=（D+D*)（xt·Dt）=xt·DDt-D*hx，Dit。为了证明表达式（4）中的第二条语句，我们考虑了它的分部积分公式^o\'sintegralZtxu·dDu+ZtDu·dxu=xt·Dt- x·D- hx，Dit，用Stratonovich积分表示，导致ZTxUodDu-hx、Dit+ZtDuo dxu-hx，Dit=xt·Dt- x·D- hx，Dit。通过在两侧取Stratonovich的导数D，我们得到D（xt·Dt）=Dxt·Dt+xt·DDt，这与表达式（4）中的第一条语句一起证明了第二条。为了提醒本文，除非另有说明，否则我们将仅使用弱D-可差分市场模型、弱D-可差分策略，并在必要时使用弱D-可差分州价格浮动。所有It^o过程都是弱D-可微的，因此被认为是一类非常大的可容许策略。2.4.3曲率套利G的李代数是[0+∞[表示为G=R[0+∞[因此是可交换的。

根据Ilinski在[28]中提出的想法，我们鼓励选择特定的g值连接1-形式，因为它允许将投资组合重新编码为e（或外汇），并将折扣作为平行运输。定理16。选择连接χ（x，t，g）。（δx，δt）：=鐞DδxtDxt- rxtδtag，（8）B中的随机平行传输具有以下财务解释：o沿标称方向（x线）的平行传输对应于交换率的乘法沿时间直接离子（t线）的平行传输对应于随机折扣因子的除法。证据我们参考了文献[12]中的定理28。回想一下，必须从Stratonovich的角度理解定义沿时间线平行传输所需的时间导数。我们看到这个捆绑包是独立的，因为它有一个全球化的特权，但它的连接并不是微不足道的。连接χ作为基本形式的线ar组合写入，如χ（x，t，g）=尼DxtNXj=1Djtdxj- rxtdtég.（9）g值曲率2-fo形式定义为r：=dχ+[χ，χ]，（10）表示所有（x，t，g）∈ B和所有ξ，η∈ T（x，T）MR（x，T，g）（ξ，η）：=dχ（x，T，g）（ξ，η）+[χ（x，T，g）（ξ），χ（x，T，g）（η）]。（11） 注意，作为Lie alg e bra交换的，Lie括号[·，·]消失了。经过一些计算，我们得到r（x，t，g）=gDxtNXj=1Djt"Arxt+Dlog（Dxt）- rjt公司- Dlog（Djt）"adxj∧ dt，（12）总结如下。命题17（曲率公式）。设R为曲率。然后，以下等式成立：R（x，t，g）=gdt∧ dx[数据日志（Dxt）+rxt]。（13） 曲率抑制了市场允许的瞬时套利能力。

尽管原始证明可以在[12]中的命题38中找到，但它是基于物理概念，如散度和电流，这对于数学金融来说并不太熟悉，在此我们重新陈述了s的向前证明。证据由于Lie括号[·，·]消失，且外导数d仅作用于（9）右侧的第一项，R（x，t，g）=dχ（x，t，g）=g·dNXi=1 日志（Dxt）xi·dxi- rxtdt！。我们注意到，对于第一项，微分d的作用是d=dx+dt=dx+d，而对于第二项，微分dact的作用是d=dx(-rxt）dt，因为dt∧ dt=0，如下所示。d(-rxtdt）=dx(-rxtdt）=-Xj公司xjrxtdxj∧ dt=Xjxjrxtdt∧ dxj。然后我们得到r（x，t，g）=g·Xi<jxixj公司日志（Dxt）dxi公司∧dxj+XjD 日志（Dxt）xi+Xjxjrxt！dt公司∧ dxj！，但是第一项消失了，因为楔形积dxi的抗突变性∧dxj=-dxj公司∧dxi。重新排列或删除我们可以得出如下结论：r（x，t，g）=g·Xjxj公司Dlog（Dxt）+rxtdt公司∧ dxj=g·dt∧ dx公司Dlog（Dxt）+rxt.我们可以证明以下将套利特征化为曲率的结果。定理18（无套利）。以下论断是等效的：（i）市场模型（由基础资产和期货以及贴现价格D和P组成）满足风险消失条件下的无免费午餐。（ii）存在正的局部突变β=（βt）t≥0以使贴现率和短期利率满足所有投资组合名义和任何时候的条件Rxt=-Dlog（βtDxt）。（14） （iii）存在一个正的局部鞅β=（βt）t≥0使所有投资组合名义和所有时间条件pxt，s=Et[βsDxs]βtDxt的定义和期限结构满足。（15） 证明。我们参考了文献[12]中的定理33。这激发了以下定义。定义19。

当且仅当曲率为a.s.时，市场模型满足零曲率（ZC）。因此，我们有以下含义，依赖于两个不同的无可能性定义：推论20。（NFLVR）=> （ZC）。作为演示如何应用第2节最重要的几何概念的示例，我们考虑一个资产模型，其动力学由多维It^o过程给出。让我们考虑一个由N+1资产组成的市场，这些资产用j=0，1，N、 其中，第0项资产是用作数字的现金账户。因此，如介绍性小节2.1所述，有必要对其他资产的价格动态j=1，N以第0项资产表示。作为离散价格过程的向量值se半鞅：[0+∞[×Ohm → R和短期评级者：[0，+∞[×Ohm → RN，我们选择了多维It^o过程，其中o（Wt）t∈[0,+∞[是RK中的标准P-布朗运动，对于某些K∈ N、 o（σt）t∈[0,+∞[，（αt）t∈[0,+∞[分别是RN×K-，和，RN值随机过程，σthasmaximal秩，即秩（σt）=K，和，o（bt）t∈[0,+∞[，（at）t∈[0,+∞[分别是RN×K-和RN-值随机过程。命题21。通过遵循（16）中的It^o过程来描述市场模型的动力学，其中我们另外假设系数o（αt）t、（σt）t和（rt）t满足极限→t型-Es[αt]=αt，lims→t型-Es【rt】=rt，lims→t型-Es[σt]=σt，o（σt）是一个It^o过程，o（σt）和（Wt）皮重独立过程。然后，市场模型满足（ZC）条件，当且仅当αt+rt∈ 范围（σt）。（17） 备注22。在经典模型中，没有术语结构（即r≡ 0），条件（17）读数为αt∈ 范围（σt）。证据

让我们考虑关于Stratonovich\'sZtσudWu=Ztσu的It^o积分表达式o dWu公司-Ztd hσ，W iu，取对应于Stratonovich积分的Nelson导数：DZtσudWu=σtDWt-Dhσ，W it。（18） 由于独立性，假设两个It^o过程（σt）和（Wt）t，hσ，W It≡ 0，我们得到dztσudWu=σtWt2t，插入到资产动力学中-diag（σuσ+u）du+ZtσudWu，导致log^St=αt-diag（σtσ+t）+σtWt2t。根据命题17，曲率消失当且仅当所有x∈ RNDlog^Sxt+rxt=Ct，对于实值随机过程（Ct）t≥0，或，相当于ydlog^St+rt=Cte，其中e：=[1，…，1]+或αt+rt-diag（σtσt+）+σtWt2t=Cte。（20） 方程式（20）是市场模型（16）的（ZC）条件的公式。在（20）林的两侧→0+Et-h[·]，并利用独立性假设-h"iσtWt2tò=Et-h[σt]Et-h"iWt2tò{z}=0=0下面，我们使用r（αt）t，（σt）t和（rt）t的连续性假设，得到了αt+rt-diag（σtσt+）=βte，其中βt：=limh→0+Et-h【Ct】是一个可预测的过程。因此，方程式（20）变为σtWt2t=（Ct- βt）e，（21）和，thuse∈ 范围（σt），（22）由σt的列向量所连接的空间。由于σt为最大imal秩，σt的k列向量线性独立，且Ct- βt6=0。设Pσt，Pσ⊥t给出区间（σt）及其正交补区间（σt）的正交投影⊥, 分别地然后，我们可以分解eαt+rt=Pσt（αt+rt）+Pσ⊥t（αt+rt），（23）和pσ⊥t（αt+rt）=Pσ⊥t（Cte）- Pσ⊥tAσtWt2t~a+Pσ⊥tAdiag（σtσt+）~a。（24）由于e和σtWtlie在范围（σt）内，（24）右侧的前两个附录消失。第三个也消失了，所以Pσ⊥t（αt+rt）=0，即。

αt+rt∈ 范围（σt）。相反，如果αt+rt∈ 范围（σt），则方程（20）成立，并且（ZC）条件和（17）之间等价性的证明完成。引理23。设A是欧几里德RN上的线性算子。向量diag（A）：=NXj=1（Aej·ej）ej不依赖于RN的正交基{e，…，en}的选择，并定义了A的对角线。证据diag（A）相对于正交基{e，…，eN}的坐标可以写为[diag（A）]{e}=NXj=1（[ej]+{e}[A]{e}[ej]{e}）[ej]{e}（25）。让我们考虑RN的另一个正交基{f，…，fn}。这意味着Rn上存在一个正交线性算子U，使得对于所有j=1，…，U ej=fj，N、 因此，我们可以写[diag（A）]{e}=NXj=1"A（[U]+{f}[fj]{f}）+[A]{e}[U]+{f}[fj]{f}228[U]+{f}[fj]{f}=NXj=1"A[fj]+{f}[U]{f}[A]{e}[U]+{f}[fj]{f}"a[U]+{f}[fj]{f}=[U]+{f}尼NXj=1[fj]+{f}[A]{f}[fj]{f}é=[U]+{f}[诊断（A）]{f}。（26）因此，对角线的坐标在基的变化过程中像向量一样变换，因此对角线得到了很好的定义。引理24。设σ为秩为K的RN×Kreal矩阵，P为σ列向量生成的曲面的正交补上的正交投影。那么，P diag（σ+）=0∈ 注册护士。证据实对称矩阵σ+∈ RN×9通过标准正交基在RN上引入一个自伴线性算子，通过引理23，该算子有一个定义良好的对角线。让我们通过添加N，将σ扩大到RN×Nmatrix- K零列向量。材料ixσ+∈ RN×Nremains相同。让我们考虑RN，{f，…，fN}的正交基，其中{f，…，fK}是范围（σ）的基，{fK+1，…，fN}是其或thogonal补码范围（σ）的基⊥. σ+readsdiag（σ+）=NXj=1（σ+fj·fj）fj=NXj=1（σ+fj·σ+fj）fj=KXj=1（σ+fj·σ+fj）fj的对角线，（27）因为σ+fj=0表示j=K+1，N，是范围（σ）的正交补。

因此，P diag（σ+）=KXj=1（σ+fj·σ+fj）P fj=0，（28），因为j=1，…，fjis在范围内（σ），K和P是射程的投影（σ）⊥.接下来，在It^o动力学的情况下，我们展示了（ZC）条件与（NFLVR）的e等价性。提案25。在与命题21相同的假设下，如果正随机过程（βt）t≥0，定义为βt:=expC-ZtCudua是一个局部鞅。证据根据命题17，零曲率（ZC）条件R=0等价于随机过程s（Ct）t的存在≥0这样，对于所有i=1，N方程式dLog^Sit+rit=Ct成立。这意味着dLog^Sit=Ct- ritlogSitSi=Zt（Cu- riu）duSit=Siexp玟ZtCuduaexp玟-Ztriudua。因此，对于所有i=1，…，Dlog（βtDit）+rit=0，N、 根据定理18，if（βt）t≥0是鞅，那么我们已经证明了（NFLVR）。我们可以将命题21的结果重新表述如下。推论26。设{Jt，…，JBt}为ker（σt）的正交基 注册护士。在与命题21相同的假设条件下，市场模型（16）的（ZC）条件（相当于（NFLVR）等于ρt：=J+t（αt+rt）≡ 0∈ RB，（29）其中Jt：=[Jt，…，JBt]。备注27（反例）。让我们考虑一个金融市场，其现金账户为rt=0，单一风险资产的（贴现）价格为t=eXt，其中Xt：=ZtWuu+Wt，（30）对于标准的单变量布朗运动（Wt）t。根据It^o公式，它遵循DST=StA+Wt~a+stdwtands=1。在命题21的符号中，这对应于αt=+wt和rt=0。系数αt不满足假设极限→t型-Es[αt]=αt，因为Elims→t型-Es"i+Wttò=+lims→t型-Es【Wt】{z}=06=αt。过程（St）t不满足（NFLVR），sinceRWtt公司由于[29]第3.2条的规定，所有>0的dt>0。