模拟选举动态和虚假信息的影响

当我们设置α=5时，候选人1在一年内（T=1）赢得选举的概率，作为有利于候选人1的假消息发布时间τ的函数，是有规律的。该图显示，在选举期间四分之一的时间里发布虚假新闻，候选人赢得选举的概率可以提高约5.5%（从47.3%提高到52.8%）。其他模型参数为：信息流量σ=0.3，候选人0获胜的先验概率p=0.505，虚假新闻强度u=1.5。七、管理竞选活动中的信息流在上一节中，以及在[10]中，我们研究了虚假信息传播对小齿轮民意调查统计动态的影响。然而，很明显，该框架并不局限于对虚假信息进行建模。例如，如果竞选团队对X的价值有信心，那么他们可以主动宣传（或者可能宣传）相关信息，但不能秘密宣传。在最简单的情况下，设置Ft=κX（t-τ） 1{t>τ}对于某些κ>0，其中{Ft}现在表示真实信息。然后从时间τ开始，选民将获得关于X的更可靠信息。这相当于具有时间相关的信息流量σt，σt=σt≤ 对于t>τ，τ和σt=σ+κ。更一般地说，我们可以考虑通用的时间相关信息流量σt。如果竞选团队能够控制某些信息，那么他们自然会希望优化信息的管理方式，以便最大限度地提高他们在选举中获胜的机会。

（事实上，正如最后一节b-el-ow所解释的那样，这种情况在结构方法中是很自然的；而在简化形式方法中，随机变量X是一种抽象的延伸，因此竞选团队是否能够在ion o nX管理信息并不总是显而易见的。然而，因为在任何一个框架中对问题的数学处理都是相同的，并且由于本文件涉及简化模型，我们将在此继续发展该思想，但需要注意的是，本节中提出的思想的实际实现在结构框架内更为适用。）在信息流量与时间相关的一般情况下，信息过程的形式为ξt=XZtσsds+Bt。（35）在这种情况下，信息过程{ξt}不再是马尔可夫过程，因此我们没有简化约化P（X=xi{ξs}0≤s≤t）→ P（X=xi |ξt）。换句话说，随机变量X的条件概率现在是路径相关的。为了计算后验概率，我们首先指出，如果我们根据Φt=expXZtσsdξs定义过程{Φt}，则-Ztσsds！，（36）然后我们可以使用单位初始化鞅{Φt}来改变概率测度P→ Q具有以下性质：（i）信息过程{ξt}是Q独立于x的布朗运动；（ii）随机变量X在Q下的概率定律与在P下的概率定律相同；和（iii）条件期望ft=EP[f（X）|{ξs}0≤s≤t] 对于随机变量X的函数，可以使用Kallianpur Striebel[26]公式ft=EQ[f（X）Φt |{ξs}0≤s≤t] 公式[Φt |{ξs}0≤s≤t] 。

（37）通过在（37）中设置f（X）=1{X=xi}，我们由此推导出条件概率πit=P（X=xi |{ξs}0的表达式≤s≤t） 与时间相关的信息流：πit=piexpxiRtσsdξs-xiRtσsdsPjpjexpxjRtσsdξs-xjRtσsds, （38）从中可以根据^Xt=Pixiπit获得X的最佳估计值^Xt。让我们像第四节那样，进一步审议只有两名候选人的情况。我们有^XT=（1- p） 经验值RTσsdξs-RTσsdsp+（1- p） 经验值RTσsdξs-RTσsds, （39）是单个高斯随机变量rtσsdξs的增函数。因此，当且仅当ifRTσsdξsqRTσsds>log时，^XT>K成立pK（1-p） （1）-K）+RTσsdsqRTσsds。（40）由于关系P（^XT>K）=等式[ΦT1{^XT>K}]，其中{ΦT}是（39）的分母，则通过一个简短的计算表明P^XT>K= p N（d-) + (1 - p） N（d+）（41），其中d±=对数(1-p） （1）-K） 主键±RTσsdsqRTσsds。（42）在（41）中设置K=1/2，我们得到了当信息流量{σt}依赖于时间时，候选人1赢得未来选举的概率。根据candi date 1的竞选团队的观点，如果他们有能力控制信息流动的速度，那么最好找到一个{σt}th，使成功概率最大化（41）。在恒σ的情况下，通过检查图2已经可以推断出基本思想：根据先验概率p的值，我们可以让σ→ ∞ 或让σ→ 从而影响某一候选人在未来选举中获胜的概率。然而，这些极端情况是不现实的（即使是在结构模型中）：发布信息（营销）通常代价高昂。

因此，可以合理地假设，如果采样周期d为[0，T]，则数字rtσsds是严格有界的。有了这一点，我们检验了候选人的获胜概率P=P（^XT>1/2）如何随着信息流量σt的变化而变化。为此，让我们考虑P相对于σt的泛函驱动。也就是说，将P=P[σ]视为σ的函数，我们考虑在φt方向上通过少量的扰动σtb：δPδσ=lim→0P[σ+φ]- P[σ]。（43）然后进行一个简短的计算，说明δPδσ=√2π“p e-（d）-)δd-δσ+ (1 - p） e类-（d+）δd+δσ#，（44），其中δd±δσ=RTσsφsdsqRTσsds日志pK（1-p） （1）-K）RTσsds±1. （45）从（44）我们推断P上的扰动与{σt}和{φt}之间的内积rtσsφsds成正比。因此，对于给定的{σt}，我们可以探索它是如何被扰动的，从而增加或减少P。然而，在实际应用中，很可能有人会使用信息流量{σt}的参数模型族，在这种情况下，优化可以在没有正态差异的情况下实现，而不是使用函数导数。我们注意到，更普遍地说，获胜概率P随着今天信息流量的波动而变化的方式将与明天不同。实际上，后验概率πt=P（X=X |{ξs}0≤s≤t） 明天可能会从今天的a优先概率p发生变化，虽然今天增加σ有好处，但明天减少σ也有好处。

换句话说，我们需要的是基于获胜概率的条件版本的（44）的动态版本：Pt=P（^XT>1/2 |{ξs}0≤s≤t） 。这可以直接计算出来，我们推断结果的形式与（44）相同，只是p被πt取代，RTσsds被ttσsds取代，RTσsφsds被ttσsφsds取代。八、敏感性分析基于信息的模型的另一个方面与参数敏感性有关，这将有助于探索战略规划。如果信息发布的成本很高（例如广告成本），并且如果结果不太可能显著改变服务状态，那么继续发布可能并不有利。考虑到这一点，了解模型的参数敏感性将有助于辅助决策。在本文中，我们特别感兴趣的是未来随机变量^XT概率分布的参数敏感性。因此，让我们首先计算出^XT的先验密度函数。回顾^xts的密度函数ρ（x）由ρ（x）=dP（^XT<x）/dx给出，我们通过微分（26）推断ρ（x）=√2πσT x（1- x） hp e-（d）-)+ (1 - p） e类-（d+）i，（46），其中（d±）=日志(1-p） （1）- x） pxσ√T+σT±log（1- p） （1）- x） px！。（47）在图5中，我们绘制了参数σ不同值的密度函数ρ（x）。从（46）可以看出，ρ（x）是一个满足正态化条件的密度函数ρ（x）dx=1（尽管定义ρ（x）显然是一个密度函数），但实际上ρ（x）是变换变量中的高斯混合密度。要查看这一点，请使用change t the variablex→ u根据tou=log1- xx！，（48）同样，为了简化符号，让我们定义β=log[（1-p） /页]。

那么很明显，当x从0到1变化时，u从∞ 到-∞. 加上du=-dx/x（1- x） 因此，我们推导出变换变量的密度函数f（u）ut=log[（1-^XT）/^XT]的形式为f（u）=1+eβ√2πσTe-2σT（u-(β-σT/2））+eβe-2σT（u-（β+σT/2））, （49）我们认为这是一个归一化高斯混合密度。有了密度函数的表达式，我们可以解决有关参数敏感性的问题。我们特别感兴趣的是模型对信息流量σ和当前民意调查统计数据p的敏感性，因为σ可以直接与广告成本挂钩，而p的值可以从民意调查中得出。对于该分析，我们应借鉴信息几何学的思想（例如，参见[27，2，8]），以确定参数敏感性，即，我们将检查与参数σ和p相关的Fisher信息矩阵（或Fisher-Rao度量）。Fisher-Rao信息度量Gi j（σ，p）非常有用，因为它在密度函数的空间中引入了度量的概念，用于确定不同参数值的密度相对分离。换言之，信息披露率从σ到σ′的变化所造成的影响量通常与原始差异σ无关- σ′. 相反，它是根据与Fisher-Rao度量信息相关的测地距离来测量的。写出θ=σ和θ=p，fisheerinformation由表达式gi j（σ，p）=Z确定∞-∞f（u） f（u）θi f（u）θjdu。（50）图5：^XT的密度函数。对于信息流量参数σ的不同值，此处显示了随机变量^xt的先验概率密度ρ（x）∈ [0.25, 0.75].

其他模型参数为p=0.5和dT=1。这里应该注意的是，与曲率等不变量不同，Fisher-Rao度量在变量变换XT下不是严格不变的→ 美国犹他州。然而，在一定的正则性条件下，Chentsov定理表明，在某些统计上重要的变换下，Fisher信息在尺度上是唯一不变的度量[29]。因此，在没有损失的情况下，为了获得计算简单性，我们将研究与密度函数f（u）相关的Fisher信息，而不是ρ（x）。具体地说，如果我们在（50）中替换（49），那么经过一个简短的计算，我们推断出thatGi j（σ，p）=T+σ2p-1σp（1-p） 2p级-1σp（1-p） p（1-p）1+σT p（1-p）. （51）在检查由揭示率σ信息参数化的一维子空间时，相应的Fisher信息只是一个常数t加上与标准偏差σ的正态密度函数相关的Fisher信息2/σ，σ在减小，表明σ越小，对X的预测未来值分布的影响（与σ值的变化相关）越大。不同的是，如果有大量可靠的信息被传输给选民，那么将竞选资金用于进一步的广告可能是不可取的，因为这将产生很小的额外影响；然而，如果传递的信息很少，那么就值得进行额外的广告活动。这个结论可能在直觉上很明显，然而，仅凭直觉不太明显的是，我们在这两个极端之间划出了界限。

计算Fisher信息的优点是，它提供了一个定量度量，允许人们分析此类问题。特别是，关于信息披露参数分布的敏感性，与参数值σ和σ′相关的密度之间的测地距离可以以闭合形式计算出来（见[28]），这可以用于对成本效益分析进行定量分析。九、 选举规划：结构方法【10】中介绍的两种建模方法与金融和投资银行业信用风险管理中使用的标准和简化模型相似【30】。在金融环境中，通常使用简化模型，因为对于给定的金融合同，现金流的数量和与之相关的独立市场因素的数量通常都是如此，以至于试图剖析产品以确定其结构细节是不切实际的。相比之下，在简化形式方法中，可以抽象地捕获结构模型产生的所有定性特征，而无需深入任何结构细节，这使得简化形式方法更易于实现。

另一方面，在选举建模的背景下，结构方法是完全可行的，因为，（a）通常在选举中，只有少数可能的候选人；（b）与大量选民相关的重要独立问题的数量也相对较少。在本论文中，我们将注意力集中在简化模型上，因为（i）它捕获了结构模型产生的所有定性特征，从而使其成为对s系统进行学术研究的理想框架；（ii）一个人可以进行非常深入的数学分析，而不会把它与所有结构细节混在一起；（iii）数学形式和推导公式直接适用于结构模型。然而，如果要将基于信息的框架作为选举规划的一部分来应用，那么结构模型就更有优势，因为简化模型中存在一定程度的抽象，在某些情况下，很难在实践中实现。例如，在第七章关于控制信息流动的讨论中，如果信息与候选人自己在关键问题上的立场有关，这是可行的，在结构方法中就是这样。可以对第八节中考虑的材料进行类比陈述。因此，虽然本文所研究的选举竞争信息模型的特征可以在上述简化形式的方法中进行探索，但为了实现现实，最好在[10]的结构设置中应用本文所述的技术，其中独立因素具有现实和有形的解释。

在这种联系中，值得补充的是，对于模型校准，可以使用（α）当前民意测验统计数据来估计先验概率{pi}；（β） pol l statist ics估计信息流动率σ的波动幅度；（γ）由民意测验者进行的各种公共调查，以估计偏好权重{wkn}的密度。在存在虚假信息的情况下，{Ft}的分布可以根据事实核查人员可用的数据进行估计。有鉴于此，我们认为本文中的分析实际上更普遍地适用于一般广告；不仅仅是为了选举竞争。从这个角度来看，我们可以认为上述材料为控制信息以及描述广告的影响提供了一个新的基于信息的数学模型。确认。作者感谢s Lane Hughston、David Meier和Bernhard Meister对相关观点的讨论，以及匿名推荐人提供的有益建议。[1] Wardle，C.&Derakhshan，H.2017信息混乱：研究和决策的跨学科框架。欧洲委员会报告，DGI（2017）09。[2] Collins，D.、E fford，C.、Elliott，J.、Farrelly，P.、H art、S.Knight，J.、Lucas，I.C.、O\'Hara，B.、Pow，R.、Stevens，J.&Watling，G.2019年下议院数字、文化、媒体和体育委员会：虚假信息和“假新闻”：最终报告，2017-19届会议第八次报告，www.parliament。英国/dcmscom【3】Allcott，H.&G entzkow，M.《2016年选举中的社交媒体和虚假新闻》。《经济展望杂志》，31211–236。[4] Amador，J.、Oehmichen，A.&Molina Solana，M.2017年通过推特元数据描述政治假新闻。arXiv:1712.05999【5】Bovet，A.&Makse，H。A、 2019年2016年美国总统大选期间推特上虚假新闻的影响。