贝塞尔样生灭过程

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英文标题：
《Bessel-like birth-death process》
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作者：
Vygintas Gontis, Aleksejus Kononovicius
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider models of the population or opinion dynamics which result in the non-linear stochastic differential equations (SDEs) exhibiting the spurious long-range memory. In this context, the correspondence between the description of the birth-death processes as the continuous-time Markov chains and the continuous SDEs is of high importance for the alternatives of modeling. We propose and generalize the Bessel-like birth-death process having clear representation by the SDEs. The new process helps to integrate the alternatives of description and to derive the equations for the probability density function (PDF) of the burst and inter-burst duration of the proposed continuous time birth-death processes.
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中文摘要：
我们考虑了导致非线性随机微分方程（SDE）表现出虚假长程记忆的人口或观点动态模型。在这种情况下，将生灭过程描述为连续时间马尔可夫链和连续SDE之间的对应关系对于建模的备选方案非常重要。我们提出并推广了类贝塞尔生灭过程，该过程具有明确的SDEs表示。新过程有助于整合描述的备选方案，并推导出所提出的连续时间出生-死亡过程的爆发和爆发间持续时间的概率密度函数（PDF）方程。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
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2022-6-14 15:05:17 上传

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关键词：生灭过程 Quantitative alternatives Applications Econophysics

Bessel–like birth–death processVygintas Gontis，Aleksejus KononoviciusInstitute of theory Physics and Astrominology，Vilnius University摘要我们考虑人口或观点动态模型，这些模型会导致非线性随机微分方程（SDE）表现出虚假的长程记忆。在这种情况下，将生灭过程描述为连续时间马尔可夫链和连续SDE之间的对应关系对于建模的备选方案非常重要。我们提出并推广了Bessel-likebirth死亡过程，该过程具有SDEs的清晰表示。新过程有助于整合描述的备选方案，并推导出所提出的连续时间出生-死亡过程的爆发和爆发间持续时间的概率密度函数（PDF）方程。1简介生灭过程或连续时间马尔可夫链在生物和社会系统的建模中非常重要。首先，出生-死亡过程在人口学、种群动力学、遗传学、流行病动力学、生态学、排队论中非常有用。在全局代理交互或随机生成的网络的情况下，此类系统在一阶和二阶统计中显示出集体行为中的连续随机波动【5，6】，因此在金融和其他社会系统中非常重要【10，11】。我们的目标是找到一种可靠的方法来区分这种马尔可夫系统的宏观行为与表现出真正长程记忆特性的替代系统，如分数布朗运动。其主要思想是分析爆发和爆发间持续时间的PDF，这对于观测到的随机时间序列的各种非线性变换是不变的【12–14】。

PDF P（τ）中定义明确的一般权力法律形式提供了这一机会~ τ2-H对于具有Hurst指数H的随机时间序列的突发和突发间持续时间τ[15]。对于马尔可夫时间序列H=1/2，因此，对于所有具有不相关增量的一维随机过程，PFF指数的值一般为3/2。这些幂律的科学不确定性与PDF及其矩的散度有关。幸运的是，这种分歧是相当形式化的数学问题，处理有限数量的代理或有限数量的状态可以克服这个问题。事实上，有限数量的代理或随机过程的连续极限是一个数学上的偏差。我们所要建模的系统通常具有数量有限的代理，因此是离散随机过程。因此，我们考虑了一个离散状态为{0，1，2，3，…，m，…，N}的连续时间生灭过程，或等价于一个N个个体系统，其中可能有两个个体个体状态为{0，1}。这种系统中的爆发时间和爆发间持续时间问题只是一般第一次通过时间理论的一部分[13，14]，其中生灭过程的第一次通过时间的时刻具有闭合表达式[16]。尽管如此，第一次通过时间PDF的显式格式在少数情况下是已知的，并且通常具有特定功能的有限集合【17】。贝塞尔过程，即一维SDE，对于第一段时间PDF有一个明确的解决方案。我们将结合这一知识介绍贝塞尔式生灭过程，并将证明连续过程的解可用于近似拟议贝塞尔式生灭过程的突发和突发间持续时间PDF。在第二节中，我们讨论了生灭过程与一维SDE之间的关系。

然后，我们引入了贝塞尔式的生灭过程，并导出了爆发和爆发间持续时间的PDF。最后，我们讨论了结果并得出了一些结论。2生灭过程和连续SDE\'sWe将使用从状态m到m+1的转移率λ（m，N）和从状态m到m的转移率u（m，N）的符号-1，λ（N，N）=0，u（0，N）=0，否则两个速率都大于0。让我们从定义良好的放牧模型开始[10，18]，速率为λ（m，N）=（N- m） （ε+m），u（m，N）=m（ε+（N- m） ）。（1） 请注意，羊群模型是我们对金融市场随机波动建模方法的背景【14，19】。宏观状态演化P（m，t）的PDF主方程可以使用跃迁率λ和um来编写。在大量试剂的限制下，可以定义连续变量x=m/N PDF的福克-普朗克方程，详情参见【13】或Ito意义上的相应随机微分方程（SDE）：dx=x（λ- u）dt+px（λ+u）dW，（2）其中x=1/N是出生-死亡过程的一个步骤中x的变化，W是标准维纳噪声。一般情况下，转移率取决于x和N。对于羊群模型，SDE isdx=[ε（1- x）- εx]dt+p2x（1- x） dW，（3）对于某些形式的过渡速率，当（λ（x，N）+u（x，N））时~ N、 式（2）中的随机项并未消失，主体系统中的波动仍在继续：非广泛静力学的情况【20】，以放牧转移率为例【8,9】。在此，我们考虑之前工作中引入的突发和突发间持续时间【21】。换句话说，突发持续时间在这里是指从阈值上方的第一个状态开始到阈值的第一个通过时间，以及从阈值下方的第一个状态开始的突发间持续时间。

对于时间序列的非线性变换，当变换阈值时，突发和突发间持续时间的统计特性是不变的。人口比y=x1的SDE-xc可以写成，式（17），来自【9】：dy=【ε/y+（2- ε） ]y（1+y）dt+p2y（1+y）dW。（4） 请注意，此SDE显示伪长程内存，并且对于变量y的变换是不变的→y【13】。通过这种转换，爆发成为内部爆发，反之亦然。在连续时间离散状态出生-死亡过程中，爆发间隔时间相当于状态m的第一次通过时间- 1到状态m以及从状态m+1到状态m的突发持续时间。连续描述和离散描述之间的时间（突发或突发间持续时间）对应关系是这一贡献的主要思想。这将有助于解决非广义贝塞尔类生灭过程的爆发和爆发间持续时间统计问题。Lamperti变换后z（y）=√2 arctan√y，假设ε=ε=ε，Herding模型可以写成dz=2ε- 1.√cot（z√2） dt+dW，（5）当我们处理代理数N时，连续变量和离散变量在以下区间内定义：0≤ x个≤ 1.0≤ y≤ ∞; 0≤ z≤ π/√2.0≤ m级≤ N、 在limitz→ 0等式（5）等效于贝塞尔过程dz=2ε- 12zdt+dW，（6）3类贝塞尔生灭过程我们将贝塞尔过程视为放牧模型的一个渐近极限，详见[9，21]。让我们对间隔0进行分区≤ z≤ π/√2成等距间隔z=π/√2/N寻求一种替代的非广泛贝塞尔样出生-死亡过程。该过程的跃迁速率如下λb（m，N）=Nπ1 +ε - 1/2米, ub（m，N）=Nπ1.-ε - 1/2米. （7） 将速率（7）代入公式（2）得到公式（6）。

虽然贝塞尔样出生死亡过程没有界限，但从m的任何较低值到m的较高值的首次通过时间都得到了很好的定义，并且与SDE的通过时间解有关（6）。让我们演示状态m的离散首次通过时间τm之间的对应关系- 1至状态m和连续时间SDE（6）中明确的首次通过时间。[22]asP（ν）b（τm）=zν中给出的通过时间τmis的PDF-2mzνm-1kmXk=1jν，kJνzm公司-1zmjν，kJν+1（Jν，k）exp-jν，k2zmτm, （8） 其中，P（ν）b（τm）是贝塞尔过程zm级第一次通过时间的PDF，指数ν=ε-1从zm开始-1，Jν是第一类ν阶贝塞尔函数，Jν，kis是Jν的第k个零点。总和km中的项数=∞ 对于连续贝塞尔过程。连续贝塞尔过程和离散贝塞尔过程的PDF（8）的主要差异在τm区域→ 0.在图1（a）中，我们比较了从状态m=59到状态m=60的首次通过时间PDF的数值计算（Gillespie算法）与相应的连续时间PDF（8）。很明显，对于变量值的离散空间，存在自然的差异限制，因为系统不能移动到低于ub（m，N）=0的状态，对于最小的τm概率，对于从状态m直接跳下的状态，密度接近指数形式-1到m。对于贝塞尔过程，扩散空间也取决于参数ε。在等式（8）的指数项之和中，可能存在指数k的一些极限值kmof，其中最后一个项exp-jν，km2zmτm描述从状态m直接跳转- 1表示m。我们注意到最后一个指数率jν，km2zm应该等于Keilsontheorem的最大特征值ξmf【23,24】。

在这种假设下，Km可以从以下方程式jν中确定，km2zm=ξm=2（λ（m- 1） +u（m- 1） ），（9）式中ξmis与m状态的有条件通过相关- 1到m，没有击中状态m-2，见【16】。当我们替换贝塞尔速率（7）并使用贝塞尔零点jν，k的周期性时，公式（9）给出了一个简单的方程km=2mπ。使用贝塞尔零点jν，k=πk的周期性和比率sm=zm-1zm=米-我们可以将PDF（8）简化为以下p（ν）b（τm）=sν+1/2mzmkmXk=1πk sinkmπ经验值-（πk）2zmτm. （10） 对于参数值ν=ε- 1=0.5 PDF（8）和（10）重合。值得注意的是，归一化的积分S（km）=RkmP（ν）（τm）dτmis是kmoscillationing的函数图1：数值τmPDF（红点）与等式的比较。（8） （10）对于类底贝塞尔过程（7），N=100。a） 式（8），m=60，km=37（绿线），km=60（蓝线），km=85（黑线），km=97（蓝线），km=120（橙线），ε=1.5。b） 式（10），m=90（绿线），m=30（蓝线），m=10（黑线），ε=1.5；c） 式（8），ε=5.5，m=90（绿线），m=30（蓝线），m=10（黑线）。约1S（km）=πsνmkmXk=1ksinkmπ=\'πsνm”（km- 1） πm-kmπm+kmπm#. （11） 此处为S（km）→ 1公里时→ ∞, 但根据公式（9）计算的km值近似等于S（km）首次达到1所需的值。然而，式（11）中S（km）的功率扩展适用于km=m，并给出了标准化所需的稍微低的km值。我们的数值评估证实，公式（11）更适合确定Km，即理论PDF与数值τmhistogram的最佳拟合。注意，对于参数ν6=0.5的其他值，必须整合PDF（8）而不是（10），以确定离散建模所需的归一化S（km）和km。在图中确认此PDF格式。

1我们使用Gillespie算法[25]对第一次通过时间τm（脉冲间隔持续时间）PDF的数值计算与方程进行了比较。（8） （10）和中只有Km指数项。PDF（8）中指数项的有限个Km解释了当τm→ 连续贝塞尔过程和贝塞尔样出生-死亡过程之间的差异以及有限数量的药剂N在该区域很重要。在这两种情况下，我们都有明确的首次通过时间τmPDF，所有τmv值与非常小的值的限值例外情况一致。出现此差异是因为只有directjump m- 1.→ 当在持续的差异中，有一定数量的状态介于两者之间时，出生-死亡过程中可能存在m。我们确实试图将公式（8）的应用扩展到更广泛类别的出生-死亡过程，首先是有界差异的情况。让我们添加附加条款-ε-1/2N-mto出生率λ带ε-1/2N-mto死亡率ubEq。(7). 这定义了有界图2：类贝塞尔生灭过程（蓝色点）与有界类贝塞尔过程（红色点）的数值脉冲间时间τmPDF的比较。参数如下：N=100，m=70，a）ε=3.5，b）ε=1.5。类贝塞尔生灭过程λbb（m，N）=Nπ1 +ε- 1/2米-ε- 1/2N-m级,ubb（m，N）=Nπ1.-ε- 1/2m+ε- 1/2N-m级, （12） 当m N、 为了简化ε=ε=ε，dz=（π/√2.- 2z）（ε- 1/2）z（π/√2.- z） dt+dW。（13） 比较式（13）和式（5），两者都描述了对称势阱中的布朗粒子。引入新的出生死亡率公式（12），我们推广了贝塞尔式出生-死亡过程公式（7）。

这个有界的版本与经典贝塞尔过程有着明确的关系，并且代表了在相同间隔0内的分歧情况≤ z≤ π/√2作为放牧模型方程（5）的相应转换。我们确实希望对上述FirstMessage和Burst time PDF的结果进行调整，以用于这一广义版本的出生-死亡过程。首先，让我们对计算的脉冲间持续时间τmPDF与贝塞尔类生灭过程的有界和无界版本进行数值比较。有界和无界版本的数值比较（见图2中的示例）表明，PDF的差异仅出现在代表分布指数切割的尾部。为了解释类贝塞尔生灭过程有界版本的这种特殊行为，我们建议在公式（8）中给出的τmGDF中再加一个指数项，指数项的数量Km根据图3估计：有界类贝塞尔过程（12）的数值脉冲间持续时间τmPDF（红点）与公式（14）的比较，N=1000，a）ε=1.5，m=800（绿线）；b） ε=3.5，m=700（蓝线）。规范化Pbb（τm）=（1- ρ） Pb（τm）+ρτm0exp-τmτm0. （14） 在这种新的PDF格式中，有两个参数。ρ定义了新指数变化的权重，τm0是指数削减的尺度。我们从第一个τm，1和第二个τm，2第一次通过时间的时刻中确定这些参数，根据出生-死亡过程的比率计算，见【16】。所需参数的两个方程如下：τm，1=（1- ρ） Q+ρτm0，τm，2=（1- ρ） Q+2ρτm0。（15） 这里Q和Q是定义为贝塞尔函数和的系数。Q=4zm毫米- 1.νkmXk=1Jνm级-1mjν，kjν，kJν+1（jν，k），Q=16zm毫米- 1.νkmXk=1Jνm级-1mjν，kjν，kJν+1（jν，k）。（16） 我们通过图中的比较证实了这一近似值。

有界贝塞尔类生灭过程方程（12）的数值脉冲持续时间PDF（Gillespie算法）的3，以及建议的PDF（14），其中ρ和τm0由方程计算。(15).4讨论与结论社会系统的随机描述和基于主体的描述之间的关系非常有趣。最直接的联系可能是通过出生-死亡过程与一维SDE的对应关系。作为人口和观点动力学中一个定义良好的数学工具，生灭过程可以很容易地被视为具有两种观点的异构代理系统的结果。此类社会系统的宏观描述导致非线性SDE表现出一阶和二阶幂律统计【10、21、26】。放牧模型是当代社会系统模型中最流行的出生-死亡过程[10]。在这里，我们提出了贝塞尔-利克伯思死亡过程作为放牧模型的替代方案，并证明了这两种死亡过程都是交感相关的。类贝塞尔生灭过程是一种方便、离散的建模形式，具有贝塞尔过程方程式（6）的相应连续版本。我们首先探讨了这种对应关系，以便更好地理解突发和突发间持续时间的统计特性。如果在连续描述中，突发和突发间持续时间的PDF在较小的时间间隔内是不同的，则PDF是标准化的，并对出生-死亡过程进行了很好的定义。我们确实希望所提出的PDF（16）的简单形式对于显示幂律统计特性的时间序列的实证分析非常有用，并有助于确定一个过程是否具有虚假或真实的长程记忆。