两种随机因素模型下美式期权的数值定价

为此，如下一节所述，将局部积分方程（3.22）转换为在用于空间近似的节点处具有实未知质量的代数方程系统。3.4. 空间近似与使用传统的非重叠、连续网格来制定插值计划不同，MPG方法使用局部插值或近似来表示一些随机位置节点处未知变量的值（或实际值）的试验或测试函数。为此，我们将找到一些当地的公司化计划。径向点插值法是其中的一种。本文采用LRPI方案。本节回顾了LRPI的基本思想。考虑子域Ohmxof公司Ohm = [0，1]×[0，1]在点x附近，用于定义x附近试函数的Rpi近似值。根据局部点插值[12]，任意（给定）点x的点插值近似值Uk（x∈ Ohm 通过n个节点s x，x，…，处的插值进行近似。，xn（center rs）位于x的一个对流邻域内，即。Ohmx、 选择这些节点的域，其形状可能取决于点x，通常称为本地支持域。根据用于插值Uk（x）的函数，可以获得各种不同的局部点插值方法。在本文中，我们将重点放在所谓的局部径向点插值法（LRPI）上，该方法将多项式和径向基函数相结合。近似函数Uk（x）在中的分布Ohmx、 在多个随机定位的节点{xi}上，i=1，2。。。，n、 ea ch x的Uk（x）的径向点插值近似Uk（x）∈ Ohmx、 可以用euk（x）=nXi=1Ri（x）aki+mXj=1Pj（x）bkj来定义，（3.23），其中P，P。

., Pmdenote按升序排列前m个单项式和R，R。，r以x为中心的n个径向函数，x。，分别为xn。此外，ak，ak。，akn，bk，bk。，b必须确定n+m真实系数。对于径向基函数R，R。，r考虑到这一点，有几种选择是可能的（例如，见[53]）。在这项工作中，我们决定将Wendland的紧支撑径向基函数（WCS RBF）与C、C和C光滑度一起使用[50]，因为它们不涉及任何自由形状参数（这并不容易选择，请参见[54、55、56、57、58]）。具有C、C和C平滑度的WCS RBF分别如下所示：Ri（s）=（1- ri）+（1+4ri），i=1，2，n，Ri（s）=（1- ri）+（3+18ri+35ri），i=1，2，n，Ri（s）=（1- ri）+（1+8ri+25ri+32ri），i=1，2，n，其中ri=kx- xik/riwis是从节点xito x的距离，而riwis是半径函数Ri（x）的支持大小。在这项研究中，为了简单起见，我们为所有i设置riw=rw-ri）l+为（1-ri）0的LF≤ ri<1，否则为零。注意，单项式P，P。，Pmare并非总是采用（如果bki=0，i=1，2，…，m，则获得RBF近似值）。在目前的工作中，使用常量和线性单项式来增强RBF（即，我们设置m=4）。通过要求函数UkinterPolate U at x，x。，xn，我们得到一组n个方程，在n+m个未知系数ak，ak。，akn，bk，bk。，bkm：nXi=1Ri（xp）aki+mXj=1Pj（xp）bkj=bUk（xp），p=1，2，n、 （3.24）其中Bukar为活动节点。此外，为了唯一确定Eeuk，我们还施加：nXi=1Pj（xi）aki=0，j=1，2，m、 （3.25）也就是说，我们有以下线性方程组：Gakbk公司=bUk公司,其中BUK=hbUkbUk。bUkniT=hbUk（x）bUk（x）。bUk（xn）iT，（3.26）克=R PPT,R=R（x）R（x）。Rn（x）R（x）R（x）。

Rn（x）。。。。。。。。。。。。R（xn）R（xn）。Rn（xn）,P=P（x）P（x）。Pm（x）P（x）P（x）。Pm（x）。。。。。。。。。。。。P（xn）P（xn）。Pm（xn）,ak=[akak…akn]T，（3.27）bk=[bkbk…bkm]T，（3.28）如果矩阵R的逆存在，则得到唯一解，因此akbk公司= G-1.bUk公司.因此，（3.23）可以改写为UK（x）=RT（x）PT（x）akbk公司,或者，等效地，eUk（x）=RT（x）PT（x）G-1.bUk公司. （3.29）让我们定义形状函数的向量：Φ（x）=[Д（x）Д（x）…Дn（x）]，其中Дp（x）=nXi=1Ri（x）G-1i，p+mXj=1Pj（x）G-1 N+j，p，p=1，2，n、（3.30）和G-1i，pis矩阵G的（i，p）元素-使用（3.30）关系（3.29）以最紧凑的形式重写：eUk（x）=Φ（x）bUk，（3.31）或eUk（x）=nXi=1bUkiДi（x）。（3.32）可以很容易地证明，形状函数（3.30）满足所谓的Kronecker性质，即i（xj）=δij，（3.33），其中δij是众所周知的Kronecker符号，因此可以很容易地施加第2节中考虑的基本边界和最终条件（例如关系式（3.14））。还请注意，通过（3.32）中的直接微分，可以很容易地获得关于x或z的（任意阶）导数。3.5. 离散化方程在展示如何将模型离散化为（3.22）形式之前，我们重点关注如何选择节点。LetX={x，x，…，xN} Ohm 是分散的网格点，其中一些点位于边界上以强制边界条件。实际上，x，xN∈ Ohm. 本文所考虑的期权的支付函数是非光滑函数，特别是在s trike价格下，其衍生工具是不连续的。因此，为了减少精度损失，试验函数的点集中在接近S=E的空间区域。