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英文标题：
《A unified approach to mortality modelling using state-space framework:
  characterisation, identification, estimation and forecasting》
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作者：
Man Chung Fung, Gareth W. Peters, Pavel V. Shevchenko
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper explores and develops alternative statistical representations and estimation approaches for dynamic mortality models. The framework we adopt is to reinterpret popular mortality models such as the Lee-Carter class of models in a general state-space modelling methodology, which allows modelling, estimation and forecasting of mortality under a unified framework. Furthermore, we propose an alternative class of model identification constraints which is more suited to statistical inference in filtering and parameter estimation settings based on maximization of the marginalized likelihood or in Bayesian inference. We then develop a novel class of Bayesian state-space models which incorporate apriori beliefs about the mortality model characteristics as well as for more flexible and appropriate assumptions relating to heteroscedasticity that present in observed mortality data. We show that multiple period and cohort effect can be cast under a state-space structure. To study long term mortality dynamics, we introduce stochastic volatility to the period effect. The estimation of the resulting stochastic volatility model of mortality is performed using a recent class of Monte Carlo procedure specifically designed for state and parameter estimation in Bayesian state-space models, known as the class of particle Markov chain Monte Carlo methods. We illustrate the framework we have developed using Danish male mortality data, and show that incorporating heteroscedasticity and stochastic volatility markedly improves model fit despite an increase of model complexity. Forecasting properties of the enhanced models are examined with long term and short term calibration periods on the reconstruction of life tables.
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中文摘要：
本文探索和发展了动态死亡率模型的替代统计表示和估计方法。我们采用的框架是在一般状态空间建模方法中重新解释流行的死亡率模型，如Lee-Carter类模型，它允许在统一框架下建模、估计和预测死亡率。此外，我们还提出了另一类模型识别约束，该约束更适用于基于边缘化似然最大化的过滤和参数估计设置中的统计推理或贝叶斯推理中的统计推理。然后，我们开发了一类新的贝叶斯状态空间模型，该模型结合了关于死亡率模型特征的先验信念，以及与观察到的死亡率数据中的异方差相关的更灵活和适当的假设。我们证明了在一个状态空间结构下可以投射多周期和队列效应。为了研究长期死亡率动态，我们在周期效应中引入随机波动性。使用最近一类专门为贝叶斯状态空间模型中的状态和参数估计而设计的蒙特卡罗程序（称为粒子马尔可夫链蒙特卡罗方法）对由此产生的随机波动率死亡率模型进行估计。我们用丹麦男性死亡率数据说明了我们开发的框架，并表明，尽管模型复杂度增加，但加入异方差和随机波动性显著改善了模型拟合。在生命表重建的长期和短期校准周期中，检验了增强模型的预测特性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
--

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PDF下载：
--> A_unified_approach_to_mortality_modelling_using_state-space_framework:_character.pdf (1.46 MB)

2022-6-15 15:25:06 上传

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关键词：状态空间 死亡率 Applications Construction Econophysics

使用状态空间框架进行死亡率建模的统一方法：特征描述、识别、估计和预测Man Chung Fung+，Gareth W.Peters *Pavel V.Shevchenko++澳大利亚悉尼CSIRO Data61风险分析集团（simon。fung@csiro.au)伦敦大学学院统计科学系 牛津大学牛津曼学院副研究员* 伦敦经济学院系统风险中心副研究员2016年6月1日摘要本文探讨并发展了动态死亡率模型的替代统计表示和估计方法。我们采用的框架是在通用状态空间建模方法中重新解释流行的死亡率模型，如Lee Carter类模型，该方法允许在统一框架下对死亡率进行建模、估计和预测。此外，我们还提出了另一类模型识别约束，该约束更适合基于边缘化可能性最大化或贝叶斯参考的过滤和参数估计设置中的统计推断。然后，我们开发了一类新的贝叶斯状态空间模型，该模型融合了关于死亡率模型特征的先验信念，以及与观察到的死亡率数据中存在的异方差相关的更灵活和适当的假设。我们表明，在状态空间结构下，可以投射多个周期和队列效应。为了研究长期死亡率动态，我们在周期效应中引入随机波动性。由此产生的致命性随机波动率模型的估计是使用最近一类专门为贝叶斯状态空间模型中的状态和参数估计而设计的蒙特卡罗方法进行的，称为粒子马尔科夫链蒙特卡罗方法。

我们用丹麦男性死亡率数据说明了我们开发的框架，并表明，尽管模型复杂性增加，但加入异方差性和随机波动性显著改善了模型。利用生命表重建的长期和短期校准周期检验了增强模型的预测特性。关键词：死亡率建模；状态空间模型；随机波动率；异方差；ParticleMarkov chain Monte Carlo1简介人口老龄化是当今许多国家面临的重大挑战。问题的产生是因为生育率在下降，而预期寿命在过去几十年里一直在增加，没有任何减缓的迹象。人们寿命比预期长的不利财务结果，以及因此超过退休储蓄的可能性，被称为长寿风险。这种长期人口风险对社会具有重大影响，并表现为养老金计划和年金提供商的系统性风险。决策者根据死亡率预测来确定适当的养老金福利，并理解关于给定人口退休年龄的不同经济假设和法规的成本。例如，在英国和澳大利亚，由于养老基金财富管理投资组合的高股本回报掩盖了长期风险的影响，2000年之前的养老金计划对长寿风险的影响有限，然而，2000年后，股本回报率下降，加上创纪录的低利率金融环境，证明了数十年来寿命改善的重要性，这给养老金计划带来了一个非常现实的问题。此外，根据规定，提供退休收入产品的保险公司必须持有额外的储备资本，以覆盖长期风险。

解决长寿风险的一个关键投入是开发先进的死亡率建模方法，以便能够更准确地预测人类寿命，并在死亡率预测中考虑任何不确定性。自Lee-Carter模型（Lee和Carter（1992））引入以来，文献中提出了一系列随机死亡率模型。Renshaw和Haberman（2003）andRenshaw和Haberman（2006）引入了多个时期效应和队列效应，以分别捕获Lee Cartermodel中出生年份和出生年份的死亡率变化。凯恩斯（Cairns et al.（2006）提出了一个针对养老金领取者年龄的双因素周期效应模型，称为t-heCairns-Blake-Dowd（CBD）模型。凯恩斯等人（2009年）研究了CBD模型的队列扩展。Plat（2009）利用Lee-Carter模型和CBD模型的优势，建立了一个年龄段队列模型，其中包括一个捕获年轻死亡率动态的TERM。在这些众所周知的情况下，精算设置中的常见做法是基于奇异值分解法（Leeand Carter（19 92），Koissi et al.（2006））或基于最大似然法（如果考虑离散泊松回归设置）（Brouhns et al.（2002），Cairns et al.（20 09））。上述框架中采用的估计方法的一个共同特点是，周期效应的动力学，即随机潜在过程，并没有直接纳入到参数估计和状态估计中，而是形成了第二阶段估计的一个组成部分。通常，这包括仅在进行估计后，为预测目的指定一个周期效应模型。

与执行联合静态模型参数估计和潜在过程过滤的方法相比，此类方法往往缺乏统计效率。因此，我们提出的第一个论点是，在状态空间公式中重新定义不同类别的死亡率模型可以更好地促进在频率估计或贝叶斯估计下基于状态空间的推理。这在以下情况下尤其如此，即推理是在后一个过程和静态模型参数上联合进行的，而不是在统计效率较低的两阶段过程中进行的。通常，在实践和文献中进行的研究具有以下特点：仅考虑过去几十年的重要性数据。对于许多国家来说，除了一些发达国家在过去50年左右可能发生的趋势变化外，各年龄段的死亡率正在平稳发展。除了ARIMA模型外，还提出了结构变化模型，以考虑周期效应的终端变化行为（L i et al.（2011），van Berkum et al.（2014））。尽管如此，将死亡率波动较大的早期阶段包括在内，这可能归因于一些生命关键事件，如战争和流行病，其含义仍有待研究。当在状态空间公式中重铸模型时，将此类结构信息合并到实体模型中的能力将大大简化。此外，还可以在状态空间公式中简化的死亡率模型的扩展越来越能够被考虑，并且可以更好地解释此类过程的随机动力学。

这些功能包括：时间可变波动性；不同年龄组之间的横向波动性；极值相关特征；队列效应；政权结构断裂；不同年龄组的长期记忆或持续死亡特征；协整和非平稳特征；以及基于回归的结构，该结构根据类别特征分解死亡率，如死亡原因、区域类别等。此外，还可以考虑额外的随机因素模型，如二因素和三因素模型。这在建模诸如疾病流行（Zucs et al.（2005）、Dawood et al.（2012））、寒潮和热浪（Fouillet et al.（2006）、Analitis et al.（2008））和其他影响（如医疗损伤、职业危害、危险人员）导致的特定年龄组的死亡趋势时尤其相关，移民和种族起源的地理位置，见Eloranta et al.（2012）和Englandand Haberman（193）。因此，我们提出的第二个论点是，所有这些不同的模型结构都可以很容易地编码到状态空间模型结构中。此外，它们可以在这种状态空间模型结构的联合估计过程中，在频率和贝叶斯公式中一致地结合起来，同时lso允许一致的联合预测模型用于预测目的。各种状态空间模型方法存在于一系列不同的文献中，在本文中，我们建议从Harvey（1989）或West and Harrison（1997）在状态空间建模环境中引入的广泛采用的框架开始，我们开发这些框架是为了解决一些afo修正问题。

与奇异值分解和泊松回归估计方法相比，在第一阶段估计中，周期效应被视为参数，没有任何时间结构，而在状态空间方法中，周期效应被视为具有马尔可夫结构的最新过程。换句话说，状态空间公式允许在统一框架下建模、估计和预测死亡率。基于采样技术的最新进展使得统计推断能够在复杂的状态空间模型上进行，该模型可以包含多个潜在驱动因素，这些因素可能表现出非线性和非高斯随机动力学。我们对这一发展趋势持赞成态度，并利用现实模型来捕捉重要性时间序列的长期波动结构。Pedroza（2006）和Kogure以及K urachi（2010）考虑了状态空间形式下LeeCarter模型的贝叶斯估计。De Jongand Tickle（2006）研究了最大似然法。在这里，我们扩展了这些框架，以展示如何将过滤程序与Rao Blackwellization相结合，以获得基于梯度的Fisher得分方程递归，从而在均方误差最小化的意义上准确有效地执行最近状态过程的最佳过滤，以递推方式联合对静态模型参数进行递推最小二乘估计。此外，我们扩展了此类状态空间模型，将非线性和非高斯特征纳入状态空间结构中，不再允许简单的卡尔曼滤波前向算法递归，从而使我们获得了更多基于顺序蒙特卡罗方法的前沿滤波技术。在这方面，我们使用基于梯度的最大似然和贝叶斯分析来估计和检验具有异方差的Lee-Carter模型。

尝试包含此类特征的替代模型包括，例如，Brouhns et al.（2002）和Czado et al.（2005）中的泊松回归，其目的是通过泊松误差结构替代Lee Carter模型中的同质加性误差项。此外，我们还注意到Hirz等人（2015）最近开发的一个框架，该框架通过信用风险加方法和马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）模型估计，对具有共同潜在风险因素的死亡人数进行建模。然而，我们认为状态空间公式允许以更直接的方式解释异方差。通过在状态空间模型结构中重新表述和扩展Lee-Carter型死亡率模型，我们研究了死亡率数据中观察到的几个关键特性。首先，年龄组结构之间的横截面方差-协方差矩阵是非齐次的。其次，对长期死亡率数据的检查表明，死亡率演变的波动性不是恒定的，即存在同型性。我们表明，加入第二个随机波动性潜在因子将使我们能够确定风险性表现出高波动性的时期。这将有助于从这些模型中进行解释和预测。具体而言，我们引入了一个随机波动率模型f来描述周期效应，旨在捕捉长期死亡率动态。状态空间框架为m分析随机波动模型提供了一个天然平台（Kim et al.（1998），Chib et al.（2002））。在这篇论文中，我们开发了一种粒子马尔可夫链蒙特卡罗（PMCMC）（Andrieu et al。

（2010）贝叶斯模型公式，以便与其他潜在随机因素和静态模型参数一起估计由此产生的重要性随机波动率模型。我们介绍了基于PMCMCalgorithm的死亡率建模估计框架，该框架利用序贯蒙特卡罗（SMC）（Doucet et al.（2001），Peters et al.（2012））获得Metropolis-Hastings算法中所需的数量，该算法在金融（Peters et al.（2013））、经济学（Fluryand Shephard（201 1））等领域有许多应用，无n-人寿保险（Peters et al.（2010b））、风险管理（Targinoet al.（2015））和计算生物学（Golightly和Wilkinson（2011））。我们将这一强大的工具应用于morta-ity建模，它使我们能够开发高效的算法来估计Lee-Carter模型的随机波动率扩展。本文的组织结构如下。在第2节中，我们概述了文献中的传统死亡率建模和估计方法。第3节阐述并讨论了状态空间概率建模方法。第4节致力于用频率论方法对随机死亡模型进行状态空间推断。第5节重点讨论状态空间框架下动态死亡率模型的贝叶斯推理。在第6节中，根据本文提出的增强模型和方法分析丹麦的死亡率数据。第7节提供了结束语。2经典贝叶斯和频率分析在本节中，我们首先简要回顾了死亡率建模的一些重要定义。我们回顾了文献中常见的随机死亡率模型。

讨论了频率和贝叶斯方法下的标准估计过程。2.1定义和符号我们使用死亡率建模精算文献中的以下标准定义（Dickson et al.（20 09），Pita cco et al.（200 9））。设Txbe为一个随机变量，代表一个人的剩余寿命x。txa的累积分布函数和生存函数写为τqx=P（Tx≤ τ）和τpx=P（Tx>τ）。对于人物x，x+τ年龄的死亡率定义为ux+τ：=limh→0hP（Tx<τ+h | Tx>τ）=-ddτlnτpx。（1） 设fx（t）是Tx的密度函数，从（1）我们得到τqx=Rτfx（s）ds=Rτspxux+sds。x岁儿童的中心死亡率，其中x∈ N、 定义为asmx：=qxRspxds=Rspxux+sdsRspxds，（2）是死亡率的加权平均值（此处qx：=qx）。在所谓的分段常数f死亡率假设下，即ux+s=ux，其中0≤ s<1和X∈ N、 我们有，f r om（2），mx=ux。此外，如果对实际死亡人数进行泊松假设，则死亡率ux（以及由此产生的^mx）的最终最大似然估计值由^ux=Dx/Ex=^mx给出，其中Dx是在x上一个生日记录的死亡人数，风险敞口是x上一个生日年龄段人群的平均数字，观察年期间。请注意，Exis近似于观察年中x岁上一个生日的人口估计数。我们将^mxas称为粗死亡率。在上述设置中，假设死亡力u是确定性的。随机情况可以通过基于强度的框架来处理，其中死亡时间被建模为双随机过程的初始跳跃时间（Bi ffs（2005））。此后，我们处理死亡率ux+t（t），中心死亡率mx，和粗死亡率^mx，tas随机过程。