百慕大DB支持混合养老金福利的估值

通过可选采样定理，我们可以定义类似于离散情况的值函数。v（t，w，l）=sup0≤τ≤T-tEQt公司e-rτ（Wt+τ- Kt+τ）+Wt=w，Lt=l式中，DWT=（rWt+cLt）dt+σSWtdZQS（t）Kt=b t–a（t）Lte-r（T-t） 现在请注意，价值函数也取决于时间t的工资。在下面的部分中，我们表明，虽然价值函数是三维的，但最佳行使边界仍然是二维的，因为价值函数只取决于财富工资比过程。6.1价值函数的定义我们定义了一个新变量Yt=WtLt，代表DC财富工资比率。使用Girsanov的理论，我们可以证明值函数v（t，w，l）=l v（t，w/l），其中v（t，y）定义为v（t，y）=sup0≤τ≤T-tEPhYt，Yt+τ- b（t+τ）–a（t）e-r（T-t型-τ )+|fti和财富工资比率如下dyt=cdt+σYYtdZPY（t），其中ZPY（t）是度量P下的标准布朗运动。有关推导的详细信息，请参见附录A.5.6.2值函数的性质和练习前沿命题4。值函数v（t，y）是y的一个连续、严格正、非减、凸函数，也是时间t的一个连续、非增函数。证明见附录a.6。如上所述，我们表示连续区域C={（t，y）∈ （0，T）×[0，∞) : v（t，y）>ve（t，y）}和停止区域C={（t，y）∈ （0，T）×[0，∞) : v（t，y）=ve（t，y）}，并设Д（t）为分隔两个区域的运动边界。提案5。

存在一个函数ν（t），使得v（t，y）=ve（t，y）如果y≥ Д（t）vh（t，y）如果y<Д（t），可在附录A.6中找到证明。对于数值解，我们将问题表述为自由边界偏微分方程问题。vt+cvy+σYyvy=0 in Cv（t，y）=ve（t，y）in Dv（t，y）>ve（t，y）in Cv（t，y）=ve（t，y），对于y=Д（t）或t=TIn附录A.6，我们说明了其中的条件∞, 我们证明了当DCcontribution率很高时，c>b¨aT（1+rT），则该期权成为正则DBunderpin期权。图1显示了最佳练习边界的示例。0 5 10 15 20 25 30时间012345678财富工资比率ABO与工资比率最佳行使边界图1：最佳行使边界示例，r=0.06，σS=0.15，σL=0.04，c=0.16，b=0.016，aT=14.756.3 ABO计算的不同贴现率在实践中，精算师通常使用高于观察到的市场无风险利率的贴现率来确定ABO。这里，我们将γ表示为ABO计算的贴现率，因此ABO的形式如下：Kt=tbLt–a（T）e-γ（T-t） 通过可选抽样定理，可以用与方程（1）相同的形式表示新的成本函数，这并不困难。然而，在我们的随机工资假设下，无风险利率r仅出现在ABO计算中，这意味着γ和r在数学上不可区分。因此，我们在确定性薪酬假设的研究中只包括γ。新的值函数保留了与离散情况下的位置（1）、（2）、（3）和连续情况下的位置（4）和（5）中所述相似的属性（略有修改）。请注意，对ABO使用不同的贴现率并不违反我们的市场一致性估价原则。

这里我们使用vto表示价格，用γ作为ABO:v（t，w）=sup0的贴现率≤τ≤T-特克赫-rτWt，Wt+τ- b（t+τ）Lt+τ¨a（t）e-γ（T-t型-τ )+|Fti7数值示例在本节中，我们给出了百慕大DB基础平面图数值结果。对于连续设置，我们使用惩罚方法（见Forsyth和Vetzal（2002）），对于Discrete情况，我们使用最小二乘法（见Longstaff和Schwartz（2001））。我们将百慕大方案与DB支柱方案以及佛罗里达州第二次选举方案进行了比较。对于百慕大DB基础期权，为了与百慕大DB基础期权的估值方法一致，我们在离散设置下使用蒙特卡罗模拟，在连续设置下使用Crank-Nicolson有限差分法对其进行评估。对于第二种选择，我们能够在离散和连续设置下导出Explicit解决方案（见附录A.7）。此外，我们在连续设置（以V表示）中包含具有确定性薪酬的百慕大期权，作为与离散情况的中间比较。7.1基准场景初始基准参数设置如下。随后，我们对每个参数进行了一些敏感性测试uL=r=0.04。我们将uLto设置为与无风险利率相同，以便与随机工资假设（假设工资可对冲时）进行一致的比较ρ=0，假设工资和投资回报之间没有相关性σS=0.15，b=0.016，c=0.125和–a（T）=14.75L=1，t=0，W=0，因此所有值都是按单位起薪给出的。7.2成本表1显示了连续设置中每个养老金计划的价值。百慕大DB支持计划（BDBU）、佛罗里达第二次选举（FSE）和DB支持计划的价格表示为基本DB计划之上的额外成本。

我们显示了百慕大b的随机工资v值，以及确定性工资v值。表2显示了Discrete设置中的结果。可以得出一些观察结果：退休时间DB DC FSE DB支撑BDBU BDBUτvv10yr 2.36 1.25 0 0.0023 0.0070 0.006215yr 3.54 1.87 0 0.0126 0.0354 0.031520yr 4.72 2.50 0.0203 0.0348 0.1010 0 0.093630yr 7.08 3.75 0.2179 0.1199 0.3492 0.335540yr 9.44 5.00 0.5837 0.2594 0.7380 0.7194表1：每单位启动养老金计划的成本工资，连续设置。FSE是Floridasecond选举选项；BDBU与百慕大DB之间具有随机薪酬，BDBU与百慕大DB之间具有确定性薪酬。混合动力成本是基本DB成本的额外成本。退役时间DB DC FSE DB支柱BDBUτv10yr 2.2675 1.2500 0 0.0039（0.0011）0.0099（0.0001）15yr 3.4012 1.8750 0 0 0.0210（0.0020）0.0456（0.0003）20yr 4.5349 2.5000 0.0304 0.0458（0.0029）0.1190（0.0006）30yr 6.8024 3.7500 0 0 0.2476 0.1455（0.0048）0.3752（0.0014）40yr 9.0699 5.0000 0.6280 0.3115（0.0069）0.7726（0.0025）表2：每个养老金计划的成本，离散设置。FSE是佛罗里达州的第二次选举选择，BDBU是百慕大DB的支柱。混合动力成本是基本DB成本之外的额外成本BDBU vis大于BDBU V，这反映了随机工资的额外成本，但结果相当接近。

我们预计，在离散的情况下，随机工资将导致更高但接近的成本，就像确定性工资假设一样当预期退休日期临近时，在基准参数下，第二次选举计划的参与者应始终在DB计划中（t*= 0），因此无需额外费用来资助第二次选举选项。o尽管百慕大DB支持选项大于DB支持选项和第二次选举选项，但基准情景中的任何值均不超过aDB计划成本的10%。对于30年或更短的期限，DBDU选项的额外成本比基本DB计划高出约5%。o随着T的增加，所有三种方案的成本都在以越来越快的速度增加。与30年的成本相比，40年来，支柱和选举选项的成本明显更高在离散情况下，期权的价值通常大于连续情况下的价值，如果加入随机薪酬，我们预计会有更大的差异。然而，在连续情况下进行的观测也适用于离散情况。7.3灵敏度测试在本节中，我们介绍了连续设置中所有参数的灵敏度测试。我们在确定性工资假设下考虑c、uL、r、σS、γ和b，在随机工资假设下考虑σLandρ。我们还确定时间范围为30年。详情见表3。我们注意到以下几点：随着参数的变化，所有三个计划都具有相同的方向趋势，但敏感度非常不同对于影响数据库成本的参数，混合计划的额外成本与基础数据库成本的反应方向相反。例如，增加无风险评级者会降低DB成本，但会增加额外的混合成本。

增加应计比率B会增加DB成本，但会减少额外的混合成本。