高管股票期权行权，包括有关

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英文标题：
《Executive stock option exercise with full and partial information on a
  drift change point》
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作者：
Vicky Henderson, Kamil Klad\\\'ivko, Michael Monoyios, Christoph
  Reisinger
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We analyse the optimal exercise of an executive stock option (ESO) written on a stock whose drift parameter falls to a lower value at a change point, an exponentially distributed random time independent of the Brownian motion driving the stock. Two agents, who do not trade the stock, have differing information on the change point, and seek to optimally exercise the option by maximising its discounted payoff under the physical measure. The first agent has full information, and observes the change point. The second agent has partial information and filters the change point from price observations. This scenario is designed to mimic the positions of two employees of varying seniority, a fully informed executive and a partially informed less senior employee, each of whom receives an ESO. The partial information scenario yields a model under the observation filtration $\\widehat{\\mathbb{F}}$ in which the stock drift becomes a diffusion driven by the innovations process, an $\\widehat{\\mathbb{F}}$-Brownian motion also driving the stock under $\\widehat{\\mathbb{F}}$, and the partial information optimal stopping value function has two spatial dimensions. We rigorously characterise the free boundary PDEs for both agents, establish shape and regularity properties of the associated optimal exercise boundaries, and prove the smooth pasting property in both information scenarios, exploiting some stochastic flow ideas to do so in the partial information case. We develop finite difference algorithms to numerically solve both agents\' exercise and valuation problems and illustrate that the additional information of the fully informed agent can result in exercise patterns which exploit the information on the change point, lending credence to empirical studies which suggest that privileged information of bad news is a factor leading to early exercise of ESOs prior to poor stock price performance.
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中文摘要：
我们分析了经理股票期权（ESO）在漂移参数在一个变化点下降到一个较低值的股票上的最优行使，该变化点是一个指数分布的随机时间，与驱动股票的布朗运动无关。两个不交易股票的代理人在变化点上有不同的信息，并通过在实物衡量下最大化其贴现回报来寻求最佳行使期权。第一个代理拥有完整的信息，并观察变化点。第二个代理拥有部分信息，并从价格观察中过滤变化点。该场景旨在模拟两名资历不同的员工的职位，一名完全知情的高管和一名部分知情的级别较低的员工，每个人都收到ESO。部分信息情景产生了一个在观测过滤$\\widehat{\\mathbb{F}}下的模型，其中股票漂移成为创新过程驱动的扩散，一个$\\widehat{\\mathbb{F}}布朗运动也驱动股票在$\\widehat{\\mathbb{F}下，部分信息最优停止值函数具有两个空间维度。我们严格描述了两个代理的自由边界偏微分方程，建立了相关最佳运动边界的形状和正则性，并证明了两种信息场景中的平滑粘贴特性，利用一些随机流思想在部分信息情况下实现了这一点。我们开发了有限差分算法来数值解决代理的练习和估价问题，并说明完全知情代理的附加信息可以产生练习模式，利用变化点上的信息，实证研究表明，坏消息的特权信息是导致股票价格表现不佳之前提前行使股票期权的一个因素。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Executive_stock_option_exercise_with_full_and_partial_information_on_a_drift_cha.pdf (2.97 MB)

2022-6-15 18:03:56 上传

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关键词：股票期权 Mathematical observations Quantitative information

基于漂移变化点的全面和部分信息的高管股票期权行使Vicky HENDERSON、KAMIL KLAD\'IVKO、MICHAEL MONOYIOS和CHRISTOPH REISINGERAbstract。我们分析了美国看涨期权（ESO）在漂移参数在一个变化点下降到一个较低值的股票上的最优行使，该变化点是一个指数分布的随机时间，与驱动股票的布朗运动无关。两名不交易股票的代理人拥有关于转换点的不同信息，并通过在实际衡量下最大化其折扣支付来寻求最佳行使期权。第一个代理拥有完整的信息，并观察变更点。第二个代理拥有部分信息，并从价格观察中过滤变化点。该场景旨在模拟两名不同资历的员工的职位，一名完全知情的高管和一名部分知情的较低资历的员工，每个人都收到一份ESO。部分信息情景产生了一个观察过滤bf下的模型，其中股票漂移由创新过程驱动，anbF布朗运动也驱动股票下跌，部分信息最优停止值函数具有两个空间维度。我们严格描述了两个代理的自由边界偏微分方程，建立了相关最佳运动边界的形状和规则性，并证明了两种信息场景中的平滑粘贴特性，利用一些随机流思想在部分信息场景中实现了这一点。

我们开发了有限的差异算法，以数值方式解决代理人的行使和估价问题，并说明充分知情代理人的额外信息可以产生利用变化点信息的行使模式，实证研究表明，坏消息的特权信息是导致股票价格表现不佳之前提前行使ESO的一个因素。关键词：最优停止、自由边界问题、执行股票期权、美式期权、平滑粘贴、随机流、Kalman-Bucy过滤器主题分类：91G80、93E11、93E201。本文研究了两个纯最优停止问题，涉及一个常波动率股票，其漂移参数影响一个变化点。在指数分布的随机时间θ（变化点），独立于驱动股票的布朗运动W，其漂移从初始定值u下降到较低的定值u<u。我们研究的两个问题是通过完整信息区分的，其中变化点是可观测的，或者是通过部分信息区分的，其中变化点是不可观测的，因此是从股票价格的观测中过滤出来的。最佳止损问题产生于执行股票期权（ESO）的行使，这是一种美国看涨期权，是指期权持有人不交易的股票。这种情况有时被称为“纯买方头寸”，其中代理人获得期权，由于交易限制而无法对冲期权，仅寻求以最佳方式行使债权。

我们用于这一完全无法确定的支付的目标是，在代理过滤的停止时间内，在物理度量P下，最大限度地减少支付。因此，我们的两个ESO控股代理仅在各自有权访问的过滤方面有所不同，我们的目标之一是了解这些信息的差异如何影响他们的零售战略。我们的目标是捕捉发生在2020年7月20日的特定公司灾难性事件。2 VICKY HENDERSON、KAMIL KLAD\'IVKO、MICHAEL MONOYIOS和CHRISTOPH REISINGERa random time，这些事件立即为公司高管所知，但尚未公开，至少不会立即公开，因此较低级别的员工对此不为人知。最近此类灾难性事件的例子可能是大众汽车排放丑闻（Dieselgate）、Facebook剑桥分析数据丑闻或波音737 MAX groundings。第一个代理拥有“完整信息”。他观察变化点过程Y∈ {0，1}（变化点已经发生的指标）以及布朗运动W，sohis过滤，F（“大”过滤，或背景过滤），是（W，Y）产生的过滤的增强。在这种情况下，坯料的（随机）漂移过程为u（Y），由变化点过程Y的线性函数给出∈ {0，1}，这样，在任何时候，偏差都等于一个不同的值（变化点之前为u，之后为u，请参见（2.5））。第二个代理具有“部分信息”。她不观察变化点，而是从股价观察中过滤Y（从而过滤变化点）。因此，部分信息代理的过滤bF（观察过滤）是股票价格过滤和bF的增强 F

在这个部分信息场景中，过滤后的变化点过程是创新过程CW驱动的[0，1]中的一个差异，这是BF布朗运动，也驱动了观察过滤下的股票。在这种情况下，随机漂移为u（bY），与fullinformation情况下具有相同的线性函数，但现在是经过过滤的processbY（见（2.11））。适应股票价格过滤的processbY是股票价格路径历史的函数。对于全部和部分信息问题，我们对期权的相关价值函数进行了详细和严格的自由边界分析。对于每个问题，这涉及到一个经典的步骤程序，我们将其从（典型的）恒裂谷情况推广到两个随机漂移场景中的每一个，如下所示。完全信息的两态漂移问题自然会导致一对值函数（每个可能的初始漂移状态i对应一个值函数∈ {0，1}），表示ESO值。同样自然地，在部分信息问题上，取决于∈ [0，1]，值函数取决于变量y∈ [0，1]，表示变化点过程的初始值（除了通常的时间和股价依赖性之外）。我们首先推导了值函数的基本凸性、单调性和时间衰减特性（引理3.1（完整信息）和引理4.2（部分信息）），后者使用了一些应用于y（y）的随机流思想，过滤后的变化点过程被视为初始值y的函数。

从这些结果中，我们推断了继续和停止区域的形式，最佳行使阈值的存在和形式，以及（稍后）当我们接近ESO成熟期时的限制值。我们证明，对于完全信息问题，存在一对有序的、非递增的、时间相关的运动边界x*(·) ≥ x个*（·），以便在漂移为ui，i∈ {0，1}，当股票突破x时*我（·）从下面开始，或者如果这种违反是由变更点触发的。另一方面，在部分信息情况下，运动边界x*（·，·）是一个曲面，对变量y具有额外的空间非递增依赖性∈ [0，1]，由漂移对过滤变化点过程的依赖性引起，并且部分信息练习面位于完全信息练习阈值之间。这可以导致一系列有趣的可能练习模式（例如，完全知情的代理响应变化点立即进行练习，对于没有看到漂移跳跃的代理来说，这是一种不可用的策略），我们对此进行了描述（稍后进行数字检查）。我们还考虑了期权行权期的加入如何改变我们的止损问题。实际上，公司使用期权持有人不允许行使的行权期来维持员工的激励或股票价格敞口。带漂移变化点3的ESO然后，我们根据自由边界偏微分方程（命题3.5（完整信息）和命题4.6（部分信息））以及运动阈值处的相关平滑粘贴条件（定理3.6（完整信息）和定理4.7（部分信息））给出ESO值函数的严格特征。

利用这些结果，我们能够证明表示discountedESO值过程的超鞅的Doob-Meyer分解（定理3.7（完全信息）和引理4.8（部分信息））。这些反过来又用于证明当我们接近成熟度T（命题3.4（完整信息）和引理4.5（部分信息））时边界极限值的结果。虽然其他地方不需要，但我们也证明了全信息问题的边界在[0，T]上是连续的，如命题3.4所述。我们的数学结果是通过实施广义的获得美式期权性质的经典程序获得的（参见Black-Scholes模型中美式看跌期权的Karatzas和Shreve[31，第2章]），并仔细修改和扩展这些参数到我们的随机漂移场景中，使用新的工具（如上面提到的随机漂移思想）将其补充到位。正如我们现在所描述的，这些结果与现有文献相比是新颖的。完整信息案例与关于制度转换美式期权估值的论文有一些相似之处，例如郭和张[28]中的最终期限，以及布灵顿和埃利奥特[8]中的最终期限（他们假设了价值函数的所有必要规律性）。Le和Wang[34]也将美式看跌期权与制度转换联系起来，并通过扩展Bayraktar[4]最初相当复杂的迭代过程，证明了平滑粘贴特性。除了冗长之外，有些步骤还利用了put Payoff函数的有界性，因此不清楚它们是否直接适用于我们的模型。因此，在这里，我们利用我们的显式单开关场景，并展示如何将更经典的技术扩展到随机漂移情况，包括自由边界特性和平滑粘贴特性。

后者需要分析给定特定起始状态的最佳停止时间，这里我们使用我们推导的停止和继续区域的结构。在部分信息的情况下，我们的结果是全新的。据我们所知，之前尚未证明值函数作为具有相关平滑粘贴条件的自由边界偏微分方程解的严格特征。我们实现了这一点，也表明运动表面在时间和初始值上都在减少∈ [0，1]并给出其极限终值。Gapeev[25]研究了一个包含部分转换红利过程信息的完整的美国看跌期权，但价值函数的规律性和平滑粘贴特性被认为是成立的。我们在部分信息问题中解决了这些问题。请注意，由于我们的目标是在物理度量下最大化贴现预期收益，我们的问题映射到鞅度量下的常规美式期权定价问题，但具有随机股息收益率。因此，我们的结果也给出了[25]中研究的问题所需的正则性。最后，有一系列论文（D'ecamps等人【14、15】、Klein【32】、Ekstr¨om和Lu【19】Ekstr¨om和Vannestal【20】）研究了部分信息场景中的最优停止问题，假设漂移参数采用两个值中的一个，但代理不确定哪一个值与实际相关。这些模型对应于我们模型中指数时间的参数接近零的限制，因此没有明确的变化点（它们是不确定漂移的模型，而不是漂移变化时间的不确定性）。

这使得它们比我们的部分信息模型更简单，因为过滤过程对股票整个历史的依赖性消失了。在某些情况下，这些论文能够降低问题的维数，这在我们的模型中是不可用的。4 VICKY HENDERSON、KAMIL KLAD\'IVKO、MICHAEL MONOYIOS和CHRISTOPH REISINGERWe通过使用有限差分模式数值解决这两个问题来完成这幅图，并进行模拟以说明可能发生的一些运动模式。由于第二空间维度的原因，部分信息情况在数值上更为困难，但只有一个布朗驱动因素，导致秩差矩阵降低，以及某些扩散系数和漂移系数在域的特定边界处退化。这种设置需要一种新颖的、量身定制的近似方案来获得有效的数值解。我们提出了非均匀网格上的一阶单调和二阶非单调惩罚后向微分公式（BDF）格式，并证明了前者的收敛性。数值试验证明了该格式的稳定性和可达到的精度。我们研究这些问题的动机之一是实证金融方面的一系列文献，这些文献将股票表现不佳之前的早期ESO操作部分归因于特权信息，尤其是即将到来的坏消息。早期的研究（Huddart和Lang【29】、Carpenter和Remmers【10】）提供了一些证据证明情况确实如此。根据所采用的特定行使策略对行使进行划分的最新研究发现了更多知情行使的证据（Brooks等人【7】、Cicero等人【12】、Aboody等人【1】）：伴随着股票出售的行使之后是负异常回报（而其他行使则不是）。

因此，我们有动机构建一个模型，在该模型中，可以在Americancall练习中比较不良事件的完整或不完整信息。在这里，我们认为完全知情的代理人是一位观察变革点的高级管理人员，而部分知情的代理人则被认为是一位级别较低的员工，不参与分享即将到来的坏消息的董事会会议。我们的设置考虑的是股价漂移将跳到并保持在较低的值。我们不考虑漂移可以在两个值之间反复切换的模型，因为这不会捕捉到负面消息的地震片段，尽管对这样一个模型进行严格分析会很有趣，并且可能建立在我们的分析基础上。在Brooks等人的实证工作的推动下，我们利用我们的模型对具有全部和部分信息的代理人的平均运动后回报进行了研究。我们的模拟（第7节）支持这样的猜测，即完全知情和部分知情代理人的平均锻炼后回报率之间的差异确实是显著的负。在我们的模拟中，完全知情和部分知情代理的平均运动后回报率之间的差异在-3.8%和-9.7%之间变化，这取决于预期的股票回报率u和波动率，涵盖了Brooks等人报告的数值范围。