多随机因素下衍生产品定价的局部化方法

我们将以下值分配给Ns、Nv和NrNs=2Nv=2Nr。在本节的以下部分中，我们介绍并讨论了第2节中定义的每个问题的局部RBF方法所获得的结果。我们用于解决问题的方法的参数可在附录A.4.1二次局部随机波动率模型中找到。在图3中，我们展示了两种方法对赫斯顿问题的收敛性和计算性能（即α=0、β=1、γ=0的QLSV）。20 40 60 80 100Ns10-510-410-310-2errorRBF-PUMPSLOPE-2.52RBF-FDslope-3.150.1 1cpu时间10-510-410-310-2RBF-PUMPRBF-FD图3：赫斯顿问题的数值结果。左：局部RBF方法的收敛性。右图：局部RBF方法的计算性能，以执行时间的秒为单位。可以看出，虽然RBF–PUM在所选区间的性能比RBF–FD更有效，但这两种方法的收敛阶数相似。此外，对于相同数量的离散化节点，这两种方法消耗的计算时间相似，但RBF–PUM的精度占主导地位。尽管如此，由于更高的收敛阶，RBF–FD有可能达到RBF–PUM内部节点集的精度。由于我们没有α=2、β=0、γ=0的QLSV问题的解析解，我们在表2中给出了不同节点集分辨率的选项值。根据这些结果，我们发现这两种方法都能在小数点后保留三个数字，尽管两种方法在获得的货币价值和货币价格上略有不同。

最新节点集上的方法之间的最大绝对差异小于6·10-表2：QLSV模型下α=2、β=0、γ=0的欧洲看涨期权的价值。RBF–PUM RBF–FDNsS=0.75 S=1.00 S=1.25 NsS=0.75 S=1.00 S=1.2520 0.005851 0.089819 0.291363 20 0.007359 0.087353 0.29147740 0.005434 0.089478 0.291170 40 0.005493 0.088851 0.29097060.005407 0.089465 0.291152 60 0.005324 0.088929 0.290882100 0.005258 0.089453 0.291114 100 0.005282 0.088922 0.2908364.2 SABR模型在图4中，我们显示了我们针对ρ=0.20 40 60 80 100Ns10-410-3errorRBF-PUMslope-2.38RBF-FDslope-2.910.1 1cpu时间的SABR问题的方法10-410-3RBF-PUMRBF-FD图4：ρ=0的SABR问题的数值结果。左：局部RBF方法的收敛性。右图：localizedRBF方法的计算性能，以执行时间的秒为单位。同样，我们观察到这两种方法都以相似的顺序收敛，并且显示出更相似的精度。然而，当达到特定误差水平时，RBF–PUM明显快于RBF–FD。

尽管如此，在算法并行化后，这种差距可能会消失，因为主要的开销来自矩阵组装，这对于RBF–FD来说更加耗时。因为对于ρ=-0.5，我们在表3中给出了不同节点集分辨率的选项值。结果表明，两种方法均能在2·10秒内收敛到相同的解-4最小节点集的最大绝对差值。表3:SABR模型下欧洲看涨期权的价值与相关ρ=-0.5.RBF–PUM RBF–FDNsS=0.75 S=1.00 S=1.25 NsS=0.75 S=1.00 S=1.2520 0.007379 0.083762 0.269809 20 0.007028 0.082064 0.26998440 0.006017 0.080824 0.268928 40 0.005641 0.080085 0.26899260 0.005573 0.080305 0.268649 60 0.005318 0.080049 0.268442100 0.005412 0.080054 0.268513 100 0.005319 0.079928 0.2684784.3赫斯顿-赫尔-怀特模型这一数值上最具挑战性的问题的结果从列表中可以看出，如表4所示。表中显示，这两种方法都能在8·10秒内收敛到相同的解-3最高节点密度下的最大绝对差异。可以观察到，这些方法倾向于收敛到略有不同的值，这可能是由与负利率值和边界条件相关的数值问题引起的（4.1）。

现金外现货价格的计算期权价值相差很大，因为该价值比其他价值小得多。表4：HHW模型下欧洲看涨期权的价值。RBF–PUM RBF–FDNsS=0.75 S=1.00 S=1.25 NsS=0.75 S=1.00 S=1.2520 0.005332 0.109525 0.346429 20 0.017820 0.128679 0.35746130 0.006946 0.117208 0.350123 30 0.009746 0.123169 0.35675940 0.008453 0.125490 0 0.354327 40 0.005824 0.122055 0.35999650 0.008590.127896 0.35896 4546 50 0.003351 0.120412 0.3602584.4赫斯顿-考克斯-英格索尔-罗斯模型最终，我们在表5中给出了HCIR问题的结果。期权价值与HHW问题获得的价值相似，这验证了我们的解算器的可信度，因为它们是在相同的参数集上进行评估的，而这些问题之间的唯一区别在于所选的利率Rt动态随机模型。该表显示，这两种方法在8·10秒内再次趋于相同的解决方案-3最高节点密度下的最大绝对差异。在这里，我们再次看到聚合值中的细微差异。正如在之前的实验中所看到的，货币外的期权价值之间存在着显著的相对差异，因为该价值很小。表5:HCIR模型下欧洲看涨期权的价值。RBF–PUM RBF–FDNsS=0.75 S=1.00 S=1.25 NsS=0.75 S=1.00 S=1.2520 0.003478 0.108315 0.346736 20 0.019821 0.130269 0.35333830 0.004580 0.117966 0.351828 30 0.009327 0.122469 0.35749940 0.005405 0.119717 0.351985 40 0.004659 0.120718 0.36033850 0.006225 0.122347 3 50 0.002748 0.120701 0.3608914.5并行如上所述，这两种方法都有并行化潜力。

我们选择RBF–FD来证明当差异权重的计算被并行化时，计算性能的改善。为此，我们使用MATLAB的并行计算工具箱中可用的parfor功能，它将计算负载分散到nwavailable并行工作者中。在我们的机器上，nw=4。在图5中，我们展示了并行实现的计算性能，并与赫斯顿和萨博问题的串行代码的计算性能进行了比较。红色虚线与图3和4.10-1100cpu时间10-410-2errorparallel RBF FD串行RBF-FD10-1100cpu时间10-410-3errorparallel RBF FDserial RBF FD右侧面板中显示的相同。图5：以执行时间秒为单位测量的并行和串行RBF–FD解算器的计算性能。左图：赫斯顿问题。右图：SABR问题。RBF–PUM可以通过在补丁内并行运行操作，以与RBF–FD类似的方式进行并行化。结果表明，通过并行化，RBF–FD的执行时间可以减少数倍。它显示了最近一个节点集上SABR问题的运行时间从5.13秒减少到2.41秒。此外，这些图表明，随着需要更精确的解决方案，计算节省会增加。最后，如果计算负载分散在一个具有4个以上可雇佣并行工作者的高性能计算集群上，这些加速可能会大得多。然而，我们需要强调的是，并行RBF–FD解算器仍然包含一个基于BDF-2方法和GMRES的非并行时间积分部分，用于线性系统的迭代解。

GMRES中的矩阵向量乘法运算也可以并行化[63、64、65]，但对于该级别的性能优化，更适合使用编译编程语言和更高级的硬件，这超出了本研究的范围。5结论在本文中，我们研究了局部RBF方法（即RBF–PUM和RBF–FD）在多因素模型下金融衍生品的数值定价中的应用。我们选择金融行业感兴趣的高级定价模型。在这些模型中，除了随机资产动力学外，波动率、利率或两者都被建模为随机过程，因此在两个或三个空间维度中产生了具有挑战性的时间依赖性偏微分方程，这是一个数学问题，需要解决（在大多数情况下，只有数字），以获得期权价格。作为解决这些问题的合适方法，我们详细展示了两种本地化DRBF方法的最佳性质，如稀疏性和高收敛阶，并展示了如何设计和实现所提出问题的数值解算器。此外，在公平的环境中测试和比较我们的解决方案。我们证明了数值方法的收敛性及其计算性能。此外，我们还讨论了所提出方法的并行化潜力和增益。结果表明，这两种方法都能够在合理的时间（几秒钟）内以足够的精度解决所提出的问题。这两种方法显示了相似的收敛顺序，可以通过更精细的参数选择进一步优化，例如RBF–PUM的面片重叠大小和RBF–FD的模板大小。

在我们的测试中，RBF–FD显示出略高的收敛阶，并且能够在最终节点处达到RBF–PUM的精度。此外，在串行算法的情况下，RBF–PUM在某些情况下似乎比RBF–FD更快，但在并行化后，由于权重计算任务分布在多个并行工作者上，此差距消失。总的来说，这两种方法具有非常相似的性能特征，很难为特定应用选择哪种方法提供建议。然而，从实验中可以清楚地看出，这两种方法都适用于多因素问题，并且具有很高的潜力来解决由数学金融问题引起的高维偏微分方程。致谢作者感谢伊丽莎白·拉尔森（ElisabethLarsson）和莉娜·冯·西多（LinavonSydow）富有成效的讨论和校对手稿。利益声明作者报告没有利益冲突。作者独自负责论文的内容和写作。参考文献【1】A.H.D.Cheng、M.A.Golberg、E.J.Kansa和G.Zammito。偏微分方程的指数收敛和HC多重二次配置方法。数字。冰毒。部分D、 E.，19（5）：571–5942003。[2] 堪萨斯州E.J。多重二次曲面-一种散乱数据近似格式，可应用于计算流体动力学I曲面近似和偏导数估计。计算机。数学应用程序。，19(8-9):127–145, 1990.[3] W.R.Madych和S.A.Nelson。多元多项式的界和多重二次插值的指数误差估计。J、 《近似理论》，70（1）：94–1141992。[4] C.Rieger和B.Zwicknagl。不完全光滑函数的采样不等式，应用于插值和机器学习。高级计算机。数学32(1):103–129, 2010.[5] V.Shcherbakov和E.Larsson。

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