季节性随机波动与农业中的萨缪尔森效应

最低/最高价格和平均价格，因为我们将平均每种商品的到期日容量。合同玉米棉花大豆糖小麦129。54%30.3%25.51%35.76%33.44%c2 28。57%27.1%23.72%31.95%31.75%c3 27。63%26.7%8%23.42%28.75%30.22%C426。56%24.8%22.97%26.25%28.77%C525。47%23.0%22.43%24.68%27.47%c6 24。48%21.6%21.65%23.18%26.48%c7 23。14%20.5%20.96%21.42%25.55%c8 22。25% 20.0 1% 20.51% - 24.58%c9 21。64% 19.2 1% 20.19% - 24.02%c10 21.45%18.75%19.85%- 23.25%c11- - 19.73% - -c12级- - 19.51% - -c13级- - 19.32% - -表2：我们数据集的每个期货合约的平均波动率。日历月玉米棉花大豆糖小麦1月26.52%23.96%22.91%32.39%28.97%2月19.99%24.54%18.67%34.14%31.83%3月27.29%28.35%21.99%37.92%35.87%4月26.70%26.02%19.53%32.72%31.92%5月25.83%28.41%20.26%32.57%29.66%6月33.71%32.82%21.04%34.29%35.33%7月32.62%33.99%27.03%35.73%31.31%8月29.07%25.94%28.01%30.41%34.46%Setpember 28.93%26.57%28.28%36.15%29.50%10月30.05%27.82%25.37%38.25%31.32%11月25.78%29.71%22.74%30.65%27.59%December 24.37%24.59%19.92%30.43%27.29%表3：数据集中第一个期货系列（c1）每个日历月的平均波动率。对于每种商品，方框表示波动率最高的两个日历月。5.2最大似然估计我们使用这些数据集，根据第2节中的五个海洋特性规范以及模型的非季节性版本来估计我们的模型。在下文中，我们将这六种季节性指标作为模型。我们使用的方法是使用卡尔曼滤波算法进行最大似然估计，以获得第4节中形式化的隐藏状态。

由于我们的样本中不包括期权价格，因此我们不会试图估计波动性风险参数πv的市场价格，并将其设置为零。我们使用的最大化算法是模拟退火算法，如inGo Offe et al.（1994）所述。我们的实现是在C++和Matlab中完成的。使用对数返回时间序列（32）进行估计。在滚动日期，必须根据相同的轨迹计算收益，即两个相邻序列之间的“对角线”。对于加入到我们样本中的新“最后一个”合同，我们不能这样做，而是将该回报设置为零。对于每种商品，我们估计有六种型号，其中一种是非季节性的。表4收集了获得的结果。对于每种商品和模型，我们提供对数似然、AIC（AkaikeiInformation Criteria）、BIC（Bayesian Information Criteria）、第一个似然比检验（季节性模型与非季节性模型，见下文）的状态D1所取的值及其p值（非季节性模型为零假设）。对于这些模型，我们提供AIC差异（表示为aic）和Akaike权重（用ωi表示）。在表4中，我们还提供了在设置λ=0（无萨缪尔森效应的嵌套模型）时，估计所考虑模型的嵌套版本后获得的对数似然性，以及s-二次似然比检验（有萨缪尔森效应的模型与没有萨缪尔森效应的模型，见下文）的统计数据D2所取的值及其p值（没有萨缪尔森效应的模型为零假设）。为了根据模型的性能对其进行排名，我们采用了Burnham和Anderson（2002）提出的方法。AIC和aicare用于对ea chcommodity的估计模型进行排序。我们的想法是，最好的模型提供最小的AICAIC允许我们计算出一个替代模型与bes t模型之间的距离。

我们计算的另一个指标是Akaikeweightωithat，可以解释为在考虑数据和模型集的情况下，有利于模型i的证据权重。在贝叶斯框架中，ωI可以表示为模型I在给定的模型集中是最佳模型（在相对熵意义上）的可能性。关于AIC差异和Akaike权重的更多细节和性质，请参考Burnham和Anderson（2002）。表5列出了每种商品的估计模型排名。值得注意的是，exp正弦曲线总是排名第一或第二。这表明，如果我们只考虑其中一个，我们可以选择此季节性规范（如果我们还计算了非seaso分析规范，则选择六个）。还可以注意到，非季节性模型总是排在第六位，即最后一位，这与推测的季节性具体建模需求一致。5.3季节波动性测试与非季节性模型相比，季节性模型有两个额外的参数，重要的是检查所获得的可能性增加是否显著，而不是由于过度拟合。我们进行alikelihood比率测试，以进一步调查对季节性特定建模的需求。该测试依赖于统计数据D1，该数据是交替模型和约束模型（在我们的案例中为非季节性）之间对数可能性差异的两倍。定义为D1=2（ln L（季节性模型）- ln L（非季节性L型））。（33）D1遵循2个自由度的χ分布。直观地说，当附加参数不有用时，它取接近零的值，当附加参数对描述数据非常有用时，取较大的值。图3报告了每种商品的似然比检验统计量d1所取的值，该统计量是为每种季节模式l计算的。

我们还报告了χ分布的分位数，在99%、99.9%和99.99%的水平上有2个自由度。总之，大多数模型在99.99%显著性水平上通过了测试（25个模型中有21个模型通过了测试），并且所有模型都在99%显著性水平上通过了测试。这些结果再次证实了对所考虑市场的季节性进行特定建模的必要性。另请注意，小麦是我们获得最小D1值的商品。如第5.1节所述，这表明与其他市场相比，该市场的波动性季节性较低。尽管如此，统计检验仍然证实了aseasona l模型对小麦的适用性。5.4萨缪尔森效应测试我们对参数λ进行类似的似然比测试，该参数决定萨缪尔森效应的强度。其目的是检查该参数在季节性规范中是否重要。该测试依赖于通过设置λ=0获得的交替模型和约束模型之间对数可能性差异的两倍定义的统计D2。定义为D2=2（ln L（具有相同lson效应的模型）- ln L（λ=0的模型）。（34）D2遵循1个自由度的χ分布。同样，当控制萨缪尔森效应的阻尼因子无效时，它取接近零的值，当参数λ对描述数据非常有用时，取较大的值。表4中报告了D2取的值以及相应的p值。对于所考虑的商品，参数λ在模型规格中总是很重要（在99.99%的水平上）。

这些结果证实了萨缪尔森效应在描述这些市场的波动行为方面的重要性。5.5过滤后的方差图4，对于每种商品，第三状态变量v（t）以及季节性分量θ（t）的时间序列，均采用表5中确定的最佳性能模型获得。对于玉米、棉花和大豆，v（t）n的季节行为可以很容易地在相应的图表上确定。对于甘蔗和小麦，季节性行为更难识别。5.6估算参数稳定6、7、8、9和10分别收集了玉米、棉花、大豆、糖和小麦的估算参数。对于每个参数和模型，我们提供估计值以及在R中转换的相应值和估计的标准误差（相对于R中参数的标准偏差）。对于每种商品，参数λ的估计在所有模型中都相当稳定。该参数决定了我们规范中萨缪尔森效应的大小。我们发现，糖含量较高（约0.28），大豆含量较低（约0.13）。对于玉米、棉花和小麦，我们发现大约为0.21。λ值方面的这些差异与第5.1节根据表2所示结果推测的萨缪尔森效应大小方面的差异一致。我们还对期货价格风险的市场价格进行了y ie ld估计。我们发现，玉米、大豆、糖和小麦的市场风险价格明显为正，棉花的市场风险价格接近于零。对于季节成分，大豆的皮重参数估计值高于玉米和棉花。对于玉米和棉花，这些估计值具有相似的值。

根据表3.0 500 1000 1500 2000 2500玉米500 1000 1500 2000 2500-0.1-0.050.10 500 1000 1500 2000 2500-0.1-0.050.10 500 1000 1500 2000 2500-0.1-0.050.050.10 500 1000 1500 2000 2500棉花500 1000 1500 2000 2500-0.1-0.050.10 500 1500 2000 2500-0.1-0.050.10 500 1000 1500 2000 2500-0.050.050.10 500 500 1000 1500 2000 2500大豆500 1500-0.1500 2000 2500-0.050.1-0.050.10 5001000 1500 2000 2500-0.1-0.050.050.10 500 1000 1500 2000 25000.050.10.150.20.250.30.350.4糖0 500 1000 1500 2000 2500-0.1-0.050.050.10 500 1000 1500 2000 2500-0.1-0.050.050.10 500 1000 1500 2000 2500Wheat0 500 1000 1500 2000 2500-0.1-0.050.050.10 500 1000 1500 2000 2500-0.1-0.1-0.050.050.1图2：每种商品期货价格和日志收益的时间序列。自上而下：玉米、棉花、大豆、糖和小麦。左列：到期时间最短（蓝色）和最长（红色）的期货价格。中柱：记录shor测试到期的合同返回。

右栏：记录最长到期日的期货收益。正弦Exp正弦三角形锯齿非季节性尖峰：LL 102465.71 102484.74 102472.79 102480.13 102484.19 102453.7AIC-204893.42-204931.48-204907.57-204922.27-204930.39-204873.41BIC-204782.53-204820.6-204796.69-204811.39-204819.5-204774.2D1（LR测试1）24.01 62.07 38.16 52.86 60.98-p值（测试1）0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000-aic38.07 0.0000 23.91 9.21 1.1 58.07Ωi0.0000 0.6463 0.0000 0.0000 0.3537 0.0000LL，不含λ100161.49 100175.27 100158.01 100144.85 100173.33 100113.78D2（LR测试2）4608.43 4618.94 4629.55 4670.56 4621.73 4679.84p值（测试2）0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000LL棉花：92282.69 92283.76 92280.73 9227280.73 2.13 92296.98 92261.8AIC-184527.38-184529.52-184523.46-184506.26-184555.97-184489.61BIC-184416.5-184418.65-184412.58-184395.39-184445.09-184390.4D1（LR测试1）41.77 43.92 37.85 20.66 70.36-p值（测试1）0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000-aic28.59 26.45 32.51 49.71 0.0000 66.36Ωi0.0000 0.0000 0.0000 1 0.0000LL，不含λ91488.25 91497.24 91486.01 91484.56 91512.44 91426.22D2（LR测试2）1588.87 1573.04 1589.43 1575.14 1569.08 1671.16p值（测试2）0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000M大豆：LL 141142.8 141153.78 141142。