最优投资消费与寿险选择

这一问题可以通过以下性能函数来定义（有关更多详细信息，请参见，例如，Pliska和Ye【15】、Oksendal和Sulem【16】、Azevedo等人【2】、Guambe和Kufakunesu【8】）。J（0，x，π，c，p）：=sup（π，c，p）∈AEhZτ∧Te公司-Rsρ（u）duU（s，c（s））ds+e-Rτρ（u）duU（τ，Jn（τ））1{τ≤T}+e-RTρ（u）duU（X（T））1{τ>T}i，（3.10），其中1a是集合a的特征函数。最优投资组合、消费和保险9策略集合a：={（π，c，p）：=（π（T），c（T），p（T））T∈如果除可积条件（3.7）外，SDE（3.8）具有唯一的强解，如X（T），则称[0，T]}是可容许的≥ 0，P-a.s.a ndEhZτ∧Te公司-Rsρ（u）duU（s，c（s））ds+e-Rτρ（u）duU（τ，J（τ））1{τ≤T}+e-RTρ（u）duU（X（T））1{τ>T}i<∞ .注意，根据工资收入者的条件生存概率（3.4）和工资收入者死亡的条件生存概率密度（3.5），我们可以通过：J（t，x，π，c，p）=Et，xhZTte写出函数（3.10）的动态版本-Rst（ρ（u）+λ（u））du[u（s，c（s））+λ（s）u（s，J（s））]ds+e-RTt（ρ（u）+λ（u））duU（X（T））i.（3.11）因此，工薪族的问题是在容许策略A下使上述动态绩效函数最大化。

因此，值函数V（t，x，y）可以用以下形式表示：（3.12）V（t，x，y）=sup（π，c，p）∈AJ（t，x，π，c，p）。应用前一节中的结果来解决上述问题，我们定义了哈密顿量H:[0，t]×R×R×R×（0，1）×RM×R×R×R×R×R×R×R→ R by:H（t，X（t），Y（t），c（t），π（t），p（t），A（t），A（t），B（t），B（t），D（t））（3.13）=e-Rt（ρ（s）+λ（s））ds[U（t，c（t））+λ（t）U（t，J（t））]+“X（t）（r（t）+π（t）u（t，Y（t）））- c（t）-MXn=1pn（t）#A（t）+g（Y（t））A（t）+π（t）X（t）（β（t，Y（t））B（t）+σ（t，Y（t））B（t）+π（t）X（t）ZRγ（t，Y（t），z）D（t，z）ν（D z）。对应于容许策略（π，c，p）的伴随方程由以下BSDEsdA（t）=-Hx（t，x（t），Y（t），c（t），π（t），p（t），A（t），A（t），B（t），B（t），B（t），D（t））dt+B（t）dW（t）+B（t）dW（t）+ZRD（t，z）~N（dt，dz）；（3.14）A（T）=e-RT（ρ（s）+λ（s））dsU′（X（T）），10 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESUwhere U′：=UxanddA（T）=-Hy（t，X（t），y（t），c（t），π（t），p（t），A（t），A（t），B（t），B（t），B（t），D（t））dt+B（t）dW（t）+B（t）dW（t）+ZRD（t，z）~N（dt，dz）；（3.15）A（T）=0。为了解决我们的优化问题，我们考虑了常数相对风险规避类型的幂函数，定义如下：Ui（t，x）=Ui（x）=κixδ，i=1，2，3，其中δ∈ (-∞, 1） \\{0}和κi>0是常数。因此，逆函数（3.9）由Ii（t，x）=Ii（x）给出=xκi-1.-δ.下面的定理给出了最优策略的特征。定理3.1。假设假设（A1）- （A2）和可积条件（3.7）成立。然后是最优策略（c*, p*, π*) ∈ 问题（3.12）的A由以下公式给出：（i）最优消费过程由c给出*（t，x，y）=It、 A*（t） κ（t）eRt（ρ（s）+λ（s））ds=A.*（t） κδ-1eδ-1Rt（ρ（s）+λ（s））ds；（3.16）（ii）对于每个n∈ {1, 2, . . .

，M}，最优保费保险pn（t，x，y）由p给出*n（t，x，y）=（maxn0，hIt、 ηn（t）κλ（t）A*（t） eRt（ρ（s）+λ（s））ds- xio，如果n=n*（t） 0，否则=最大值0，ηn（t）ηn（t）A*（t） κλ（t）δ-1eδ-1Rt（ρ（s）+λ（s））ds- x个, 如果n=n*（t） 0，否则，（3.17），其中n*（t） =arg minn∈{1,2，…，M}{ηn（t）}（iii）和，最优分配π*（t，x，y）∈ （0，1）是以下方程式β（t，y）hy（t，y）的解-nu（t，y）- (1 - δ)β（t，y）+σ（t，y）π-锆1.- （1+πγ（t，y，z））δ-1.γ（t，y，z）ν（dz）oh（t，y）=0，其中h∈ C1,2（[0，T]×R）。最佳投资组合、消费和保险证明。从哈密顿函数（3.13）和效用函数su，U的定义，我们可以推导出以下条件：Hcc=e-Rt（ρ（s）+λ（s））dsUc（t，c）<0，Hpnpn=e-Rt（ρ（s）+λ（s））dsλ（t）ηnηnUxt，x+MXn=1pnηn（t）！<0 .因此，有必要获得最佳的日常消费和保险（c*, p*) 通过应用最优性的一阶条件。然后从（3.13）我们得到以下结果：（i）最优消费c*（t，x，y）由以下公式得出-A（t）+e-Rt（ρ（s）+λ（s））dsUc（t，c）=0。从（3.9）可以明确地通过C获得最佳消耗*（t，x，y）=It、 A*（t） κeRt（ρ（s）+λ（s））ds=A.*（t） κδ-1eδ-1Rt（ρ（s）+λ（s））ds；（二）最优保费保险p*n（t，x，y）是利用库恩-塔克最优性条件得到的。正如Mosa等人[12]所述，我们正在寻找解决方案（p（t，x，y）；pM（t，x，y）；ξ（t，x，y）；ξM（t，x，y））在以下系统中：（3.18）-A（t）+λ（t）ηn（t）e-Rt（ρ（s）+λ（s））dsUx个t、 x+PMn=1pnηn（t）= -ξn（t，x，y）pn（t，x，y）≥ 0 ; ξn（t，x，y）≥ 0 ;pn（t，x，y）ξn（t，x，y）=0，n=1，2。M首先，假设n6=n。如果我们有ξn（t，x，y）=ξn（t，x，y），对于一些（t，x，y）∈[0，T]×R×R，必须有ηn（T）=ηn（T）。因此，假设所有保险公司都提供不同的合同，我们得出每n，n∈{1, 2, . .

. , M} ，使得n6=n，然后ξn（t，x，y）6=ξn（t，x，y）；（t，x，y）∈ [0，T]×R×R，a.e.因此，T这里最多是一个n∈ {1，2，…，M}使得pn（t，x，y）6=0。然后从系统中的第一个方程（3.18），ηn（A（t）- ξn（t，x，y））=ηn（A（t）- ξn（t，x，y））。因此，我们可以得出结论，如果ξn（t，x，y）>ξn（t，x，y），那么ηn（t）>ηn（t）。此外，对于某些t，如果ξn（t，x，y）=0∈ [0，T]，ηn（T）<ηn（T），n∈ {1，2，…，M}这样n6=n。从这一点开始，让n*（t） =a r g minn∈{1,2，…，M}{ηn（t）}，则pn（t，x，y）=0或pn*（t，x，y）>0是方程的解-A（t）+λ（t）ηn*（t） e类-Rt（ρ（s）+λ（s））dsUx个t、 x+pn*ηn*（t）= 0,12 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESUwhich给出了所需的解决方案p*n（t，x，y）=（maxn0，hIt、 ηn（t）κλ（t）A*（t） eRt（ρ（s）+λ（s））ds- xio，如果n=n*（t） 0，否则=最大值0，ηn（t）ηn（t）A*（t） κλ（t）δ-1eδ-1Rt（ρ（s）+λ（s））ds- x个, 如果n=n*（t） 0，否则；（iii）由于哈密顿量H（3.13）中涉及π的表达式是线性的，对于最大投资π*, 我们有以下关系：（3.19）u（t，y）A*（t） +β（t，y）B*（t） +σ（t，y）B*（t） +ZRγ（t，y，z）D*（t，z）ν（d z）=0。为了获得最优投资组合，我们首先求解伴随BSDE方程（3.14）和（3.15）。

从伴随方程（3.14）的终端条件出发，我们尝试求解第一个伴随方程A*（t） 形式（3.20）A*（t） =X（t）δ-1e级-h（t，Y（t）），h（t，Y（t））=ZT（ρ（u）+λ（u））du。另一方面，对于最优策略（c*, p*n、 π*), 我们有（3.21）dA*（t） =-ηn*A.*（t） dt+B*（t） dW（t）+B*（t） dW（t）+ZRD*（t，z）~N（dt，dz）。应用（3.20）和（3.8）、（3.1 6）和（3.17）中的It^o乘积规则，我们得到*（t） =-x（t）δ-1e级-h（t，y）nht（t，y）+g（y）hy（t，y）+hy（t，y）-（hy（t，y））+（δ- 1)π*（t） β（t，y）hy（t，y）-h（δ）- 1） [r（t）+u（t，y）π*（t） +ηn*（t） ]+（δ- 1)(δ - 2)(π*（t） ）（β（t，y）+σ（t，y））+锆(1 + π*（t） γ（t，y，z））δ-1.- 1.- ( δ - 1)π*（t） γ（t，y，z）ν（dz）i+（1- δ） e1级-δh（t，y）eRt（ρ（s）+λ（s））dsh1+ηn*（t）ηn*（t） κλ（t）δ-1iodt+（（δ- 1)π*（t） β（t，y）- hy（t，y））x（t）δ-1e级-h（t，y）dW（t）+（δ- 1)π*（t） x（t）δ-1σ（t，y）e-h（t，y）dW（t）+x（t）δ-1e级-h（t，y）ZR(1 + π*（t） γ（t，y，z））δ-1.- 1.~N（dt，dz）。与伴随方程（3.21）相比，我们得到：最优投资组合、消费和保险13B*（t） =（（δ- 1)π*（t） β（t，y）- hy（t，y））x（t）δ-1e级-h（t，y）；（3.22）B*（t） =（δ- 1)π*（t） σ（t，y）x（t）δ-1e级-h（t，y）；（3.23）D*（t） =x（t）δ-1e级-h（t，y）(1 + π*（t） γ（t，y，z））δ-1.- 1..（3.24）此外，h是以下后向偏微分方程（PDE）ht（t，y）+（g（y）+（δ）的解- 1)π*（t） β（t，y））hy（t，y）+hy（t，y）-（hy（t，y））+K（t）+（1- δ） e1级-δh（t，y）eRt（ρ（s）+λ（s））dsh1+ηn*（t）ηn*（t） κλ（t）δ-1i=0，（3.25），终端条件h（T，Y（T））=e-RT（ρ（u）+λ（u））du，其中k（t）=-(δ - 1） [r（t）+u（t，y）π*（t） +Δηn*（t） +（δ- 1)(δ - 2) ( π*（t） ）（β（t，y）+σ（t，y））+锆(1 + π*（t） γ（t，y，z））δ-1.- 1.- ( δ - 1)π*（t） γ（t，y，z）ν（dz）。上述方程的解可用定点算法近似。

为此，我们定义了Feynman-Kac算子Φ，作用于函数h，如下（Φh）（t，Y（t））=EheQ（t，Y（t））+ZTteQ（s，Y（s））nK（s）+（1- δ） e1级-δh（s，Y（s））eRs（ρ（u）+λ（u））duh1+ηn*（s）ηn*（s） κλ（s）δ-1iodsi，其中Q（t，Y（t））=g（Y（t））+（δ- 1)π*（t） β（t，Y（t））。要求解（3.25），需要找到以下定点方程（Φh）（t，y）=h（t，y）的定点解。然后，在假设（A1）和（A2）下，存在唯一解h∈ PDE（3.25）的C1,2（[0，T]×R）。（见Berdjane和Pergamenschikov【3】，定理3.1。）现在，将（3.20）、（3.22）、（3.23）、（3.24）代入（3.19），得到β（t，y）hy（t，y）-nu（t，y）+（δ- 1)π*（t） （β（t，y）+σ（t，y））+锆γ（t，y，z）(1 + π*（t） γ（t，y，z））δ-1.- 1.ν（dz）o=0。注意π中的二阶导数，对于*, B*, B*和D*为负，即。，-(1 - δ） hβ（t，y）+σ（t，y）+ZR（1+π（t）γ（t，y，z））δ-2γ（t，y，z）ν（dz）i<0.14 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESUHence，存在一个最佳π*（t）∈ (0, 1).对于第二个adjo int方程，注意从m（3.19），我们得到以下关系式（3.26）uy（t，y）A*（t）+βy（t，y）B*（t）+σ（t，y）yB公司*（t） +锆γy（t，y，z）D*（t，z）ν（d z）=0。然后，对于最优策略，第二个伴随方程（3.15）可以写成（3.27）dA*（t） =-g′（y）A*（t） dt+B*（t） dW（t）+B*（t） dW（t）+ZRD*（t，z）~N（dt，dz），这是一个带跳跃的线性BSDE。

因为终端条件是*（T）=0，通过应用求解具有j umps的线性BSDE的技术（Delong[5]，命题3.3.1和3.4.1），我们得到了*（t） =B*（t） =B*（t） =D*（t，z）=0。最优解的相应财富过程方程（3.8）变为X*（t） =X（t）hG（t）dt+π*（t） [β（t，y）dW（t）+σ（t，y）dW（t）]+π*（t） ZRγ（t，y，z）~N（dt，dz）i，其中g（t）=r（t）+π*（t） u（t，y）+ηn*（t）- h（t）δ-1\"κ-δ-1+ηn*（t） κλ（t）δ-1eδ-1Rt（ρ（s）+λ（s））ds#，它给出以下解x（t）=x expnZt[G（s）-(π*（s） ）（β（s，y）+σ（s，y））]ds+ZtZR[ln（1+π*（s） γ（s，y，z））- π*（s） γ（s，y，z）]ν（dz）ds+Ztπ*（s） [β（s，y）dW（s）+σ（s，y）dW（s）]+ZtZRln（1+π*（s） γ（s，y，z））~N（ds，dz）o。最后，问题（3.12）的值函数可以表示为以下BSDEdV（t，x，y）=-H（t，x*, y、 c类*, π*, p*, A.*, A.*, B*, B*, D*)dt+B*（t） dW（t）+B*（t） dW（t）+ZRD*（t，z）~N（dt，dz）；V（T，x，y）=κeRT[ρ（T）+λ（T）]dtX（T）Δδ。最佳投资组合、消费和保险15例3.1。下面的例子将定理3.1中的结果具体化为一个众所周知的Ornstein-Uhlenbeck型随机波动率模型，并导出了一个明确的投资组合策略。设N为泊松过程，强度ν>0。我们考虑以下模型dynamicsB（t）=1；dS（t）=S（t）[（α+αY（t））dt+γY（t）dN（t）]；dY（t）=-bY（t）dt+dW（t），其中α，α，γ∈ R和b>0。假设我们有一个常数死亡率λ>0，常数保险费率ηn>0，n=1，2，M、 贴现率ρ>0且κ=κ=κ=1。

然后哈密顿量由h（t，X（t），Y（t），A（t），A（t），B（t），D（t），D（t））=δe给出-（ρ+λ）th（c（t））δ+λ（X+MXn=1pn（t）ηn）δi+[X（t）π（t）（α+αY（t））- c（t）-MXn=1pn（t）ηn]A（t）-bY（t）A（t）+B（t）+π（t）X（t）γY（t）D（t）ν+D（t）。然后，根据定理3.1，我们可以很容易地看到最优投资组合由π给出*（t） =δhγνy- α- αyγνyδ-1.-1i，其中y由y（t）=e给出-bty+Rte-b（t-s） dW（s）。并给出了最优消费和最优保险*（t） =eδ-1（ρ+λ）t（A*（t） ）δ-1，p*n*（t） =小时ηn*λA*（t）δ-1eδ-1（ρ+λ）t- xi，其中A*（t） 是以下线性BSDEdA解决方案的一部分*（t） =-ηn*A.*（t） dt+B*（t） dW（t）+D*（t） dN（t）。因此*（t） =e-ρTEheηn*（T-t） （X（t））δ-1 | Fti。B*和D*可以由鞅表示定理导出。见德龙【5】，提案3.3.1和3.4.1。因此，对于Ornstein-Uhlenbeck型的纯跳跃泊松过程，我们导出了一个显式最优投资组合策略。确认。我们要对NRF项目编号：CSUR 90313、比勒陀利亚大学和MCTESP莫桑比克表示深切感谢，感谢他们的支持。16 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESUAppendix。主要结果证明定理证明2.1。L etπ∈ A是可接受的策略，X（t）是相应的财富过程。然后，继Framstad等人。