特征分类投资组合：估计和推断

这种关系似乎与过去的“赢家”（即动量值高达12-2的赢家）呈凹形，平均回报率约为2%。另一方面，投资于过去的“失败者”（即动量值为12-2的失败者）的策略导致了后面的子样本中的损失增加。估计关系的最低点大约出现在-全样本中的0.8%，略低于1967–2015年子样本中的0.8%，以及-1980-2015年的子样本为1.5%。这表明，近年来，购买利差投资组合的空头部分似乎变得更加有利。这一结论对于排除金融危机及其后果是有力的。图6的右栏显示，使用传统的估计器无法收集到这种见解。此外，传统估计表明，收益率和动量之间存在近似线性关系，赢家和输家的平均回报率之间存在明显的压缩差异。这强调了我们更一般的方法是如何得出关于底层数据生成过程的托里彻结论的。表1的底部面板显示了动量异常的相应点估计和测试统计数据。结果有力地证实了动量是一种稳健的异常现象。在所有三对评估点和三个不同的样本中，差异在统计学上非常显著（最后一列）。分别关注u（zH）和u（zL），我们发现，在我们的所有规范中，点估计值分别为正和负。事实上，在后一个样本中，以u（zL）表示的价差交易的短端似乎变得更强（另请参见图6），产生的统计数据在1980-2015年样本中具有最大的幅度，当在其中一个（Φ-1(.975), Φ-1（.025））或（Φ-1(.95), Φ-1(.05)).

相比之下，传统的实施方法发现，在任何子样本中，交易的空头部分都不显著，并且仅在-1980–2015年样本为0.36。到目前为止，横断面回归是投资组合排序最常用的经验替代方法（见备注1和备注6中的讨论）。可以说，对实证研究者来说，横截面回归最吸引人的特点是能够包含大量的控制变量。鉴于我们已将这两种方法结合在一个统一的框架中，很自然会考虑一个例子。在这里，我们将考虑回报和动量之间的非参数关系，同时控制行业动量。这种经验主义的精神与莫斯科维茨和格林布拉特（1999）相似。然后，模型变为，Rit=u（momit）+β·Immit+β·Immit+β·Immit+εit，（15），其中Immit是时间t时企业i的行业动量。我们还包括行业动量的平方和立方，作为一种灵活的方式，以允许此控制中的非线性。图7显示了回报和动量之间关系的估计值，如等式（15）所示（实线）。作为参考，左列中的曲线图还包括{u（z）：z∈ Z} （虚线虚线）没有控制变量（即，基于方程式（14）），对于每个时间t的投资组合数量的相同选择。为了提高可比性，没有控制变量的估计函数使用与控制变量相同的{Jt:t=1…t}序列。因此，该估计函数与图6所示不同。对于较大的12-2动量值，两个估计函数之间的差异倾向于更大，并且在全样本中最多占动量回报的约0.5%。

在最近的两个次样本中，差异较小，但在经济上有意义。也就是说，通过对IndustryMontum的控制，回报率和股票动量之间关系的大致形状保持不变。这表明，对于这种规格选择，单个企业的动量通常不同于行业内的动量（Moskowitz和Grinblatt，1999；Grundy和Martin，2001）。表1的底部面板在标有“w/controls”的行中提供了基于方程式（15）的点估计和相关测试统计数据。首先，很明显，产业动量的加入确实对推断有明显的影响。一般来说，高评估点、低评估点和差异的t统计量的大小接近于零。对于高评估点和差异而言，这是一致的，并且在所有情况下，都会导致相关p值大幅增加的t统计。也就是说，对于所有子样本，高评估点和低评估点的差异导致5%水平的回归差异具有统计学意义。本练习说明了我们的统一框架的有用性，因为它允许以简单明了的方式增加控制变量。最后，图5的右面板显示了动量异常样本中最佳投资组合数的时间序列图。正如规模异常的情况一样，投资组合的最佳数量远高于10个。然而，许多规范导致最多约55个投资组合。一般来说，这比大小异常要小得多。图表还显示了在控制行业势头时，不同时期的最佳投资组合数量。它们比左列中对应的行大得多。

直观地说，控制的加入吸收了一些以前仅用12-2动量解释的反转变化。这种较低的方差导致J的选择较高（见方程式（10））。这个例子清楚地表明，投资组合数量的适当选择反映了数据的一系列不同特征，如横截面样本大小、时间序列观察数量、关系形状和创新的可变性。7结论本文开发了一个基于评估和差异的投资组合排序形式化框架。尽管在实证金融领域使用了数十年，但投资组合排序几乎没有得到正式的处理。通过将投资组合排序形式化为非参数过程，本文迈出了发展这一广泛使用的技术的计量经济学特性的第一步。我们已经发展了一阶渐近理论以及基于均方误差的投资组合数量最优选择，处理了最常见的应用，测试了基于经验分位数的高回报与低回报。我们已经表明，投资组合数量的选择对于从数据中得出准确结论至关重要，在标准的实证金融应用中，投资组合数量应随时间而变化，并受数据和其他方面的指导。我们就如何实施这一选择提供了实际指导。此外，我们还表明，一旦以适当的、数据驱动的方式选择了投资组合的数量，基于“Fama-MacBeth”方差估计量的推断是渐近有效的。实证金融文献中的一个关键挑战是在多特征环境中进行排序，其中特征的数量很快会受到空投资组合的限制。相反，研究人员往往求助于横截面回归，从而强加了一个约束性参数假设。

在这里，我们弥补了这两种方法之间的差距，提出了一种新的投资组合排序估计器，该估计器允许线性条件变量。我们通过回顾文献中发现的两个显著的股票收益率异常，即规模异常和动量异常，证明了我们理论结果的经验相关性。我们发现，收益与规模之间的估计关系是单调递减和凸的，在规模变量的极值处评估的函数之间存在显著的收益差异。然而，统计意义是由非常小的公司产生的，一旦从样本中删除最小的公司，结果就不再可靠。我们还发现，回报与过去回报之间的估计关系似乎是单调递增和凹形的，具有显著和稳健的回报差异。我们发现，动量价差交易的“空头”部分在随后的子阶段变得更加有利。在这两种理论应用中，投资组合的最佳数量随时间变化很大，远远大于经验金融文献中常用的十个标准选择。8参考Adrian，T.、Crump，R.K.和Moench，E.（2015），“基于回归的动态资产定价模型估计”，《金融经济学杂志》，第118211–244页。Andrews，D.W.K.（2005），“常见冲击的横截面回归”，计量经济学，731551–1585。Ang，A.、Liu，J.和Schwarz，K.（2018），“在因子模型测试中使用股票或投资组合”，《金融和定量分析杂志》（即将出版）。Bali，T.G.、Engle，R.F.和Murray，S.（2016），《经验资产定价：股票回报的横截面》，新泽西州霍博肯：John Wiley&Sons，股份有限公司Banz，R.W。

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选择断点作为z的估计分位数，其中z~ β（1，1）/z~ 奇偶时间段的Beta（1.2，1.2）。J=4，T=10 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.60.811.21.41.61.82J=4，T=20 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.811.21.41.61.82J=4，T=500 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.60.811.21.41.82J=10，T=10 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.60.811.21.61.82J=10，T=20 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.60.811.21.41.61.82J=10，T=500 0.2 0.4 0.6 0.8 10.40.60.811.21.41.61.82图2：动量异常示例该图显示了股票收益与12-2动量之间的估计关系。左栏用J？表示^u（z）？t；右栏显示了使用J=10的标准实现的估计关系。所有收益均为月度变化，所有投资组合的价值均基于滞后的市场权益进行加权。样本期为1927年至2015年。^u（z）与最佳J-5 0 5-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.02标准实施，J=100 2 4 6 8 10-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.02表1：经验结果该表报告了使用J？t、 标准估计器是指J=10的标准实现。使用方差估计量的^vfm形成检验统计量。