最优能源需求响应管理的平均场道德风险

对于所有P P P，∧pds，dvq“ΔνPspdvqds P–a.s.，对于一些F–可预测控制过程νP：“`αP，βPandXt”X'tαPs–1dds'tσPβPsq–dWs'tσ'dW's，t P r0，t s，P'a.s。注意，由于前面的引理，集合U“在第2.1节开始时引入的容许效应A^B现已明确定义。为了应用带有常见噪声的链式规则，如Carmona和Delarue所定义的【11，定理4.17】，我们需要一个进程X的副本，表示为byrX，由相同的公共噪声W"驱动，并且具有相同的条件allawu。为此，我们需要定义初始规范空间的副本。定义2.4（空间副本）。允许Ohm 是形式的规范空间Ohm :“ Ohm"^ Ohm^ Ohm^U.副本Ohm ISD由Ohm :“ Ohm"^rOhm^ Ohm^rU，其中OhmandrU分别是空格的标准副本Ohm这个正则间隔子Ohm 支持规范化过程“W"，rX，W，u，r∧”，以及规范化过滤rf：“prFtqtPr0，T被精确定义为F。对于给定的概率P P P，我们可以以一种独特的方式将概率P满足定义2.2关联到prOhm,rFTq，尤其是rP和P具有相同的r.c.P.d。因此，稍微滥用符号，rEPtwill代表对pr的期望Ohm,rFTq在r.c.p.d.PtforrP p p p p给定F"t下。然后，通过引理2.3，对于任何rP，我们有r∧pds，dvq“ΔνrPspdvqdsrP–a.s.，对于一些rf–可预测过程νrP：“pαrP，βrPq and rxt”rX'tαrPs–1dds'tσpβrPsq–d'Ws'tσ"dW's，t p r0，t s，rP'a.s.（2.3）定义2.5（流程副本）。

上述（2.3）定义的过程称为X.2.2.2其他代理规范空间的副本。为了模拟其他消费者（即与代表代理不同的消费者）的偏差消费，受相同常见噪声的影响，我们需要定义一个替代概率空间POhm byp公司Ohm :“ Ohm"^pOhm^pOhm^pU。这个正则空间支持一个正则过程` W"，pX，xW，pu，p∧，以及正则过滤pf：“ppFtqtPr0，T的定义方式与F相同。我们将pm设为pp上所有概率测度的集合Ohm,pFTq，我们可以用定义2.2中定义PAM的相同方式定义SubsetPPApM。特别是，符号PEPPT将代表r.c.p.d.pPtofpP PpP给定NPF"t下的预期，位于空间pp上Ohm,pFq。仍然应用引理2.3，对于任何PP PpP，我们可以写下文本“pX'tαpPs–1dds'tσpβpPsq–dxWs'tσ'dW's，t p r0，t s，其中νpP：”pαpP，βpPq是一些可预测的控制过程，由其他人选择，满足p∧pds，dvq“Δνppsvqdspp–a.s。注意，这允许我们正确定义setpU“pA^pB其他人的可接受影响。其他人的偏差消耗量的副本，用qx表示，定义方式与空格q上定义2.5的X的副本X相同Ohm :“ Ohm"^qOhm^pOhm^qU本身就是P的副本Ohm 在定义2.4的意义上。该空间支持非规范流程和相关规范过滤QF：“pqFtqtPr0，T s。符号QEPPTS代表r.c.p.d.PPT下的预期空间pqOhm,qFq。换句话说，规范过程pW"，X，W，u，∧q定义在空间上Ohm 代表代表性代理关于其偏差消费的选择。同样，规范过程pW"，pX，xW，pu，p∧q定义为Ohm 允许我们代表其他消费者的选择，这些选择可能不同于代表性消费者，但受到相同常见噪音的影响。

然后，涉及R–的符号将指初始空格的副本Ohm, 而notationsinvolvingq–将指其他SP规范空间的副本Ohm. 为了计算其终端支付ξ，代表代理人将假设其他人已经发挥了一些分布pu（主要是某些pp PpP下的条件定律p给定pp上的NPF"Ohm,pFTq），他将沿着自己的偏差X和pu计算ξ。2.3合同的定义在工程【1】中，委托人（一个能源生产商）向代理人（一个消费者）提供一份合同，并根据其偏差消耗量编制索引。在我们的调查中，委托人面临着一系列具有平均现场互动的代理人，因此可以从这些额外信息中受益：她可以根据给定消费者的偏差和其他消费者偏差的汇总统计数据来提供合同。在我们感兴趣的框架中，不允许电力生产商向其他消费者透露特定消费者的消费。因此，她不能直接针对另一个专用产品的偏差消费为消费者设计报酬。这就是我们在本例中考虑聚合统计的原因。我们坚持认为，法律要求电力生产商尊重其消费者的隐私，即使他们可以通过现代智能电表使用其消费产品。此外，根据平均值框架，委托人面临着大量相同和不可区分的消费者，因此不能选择另一个消费者的偏差消费来进行合同。

正式地，委托人向代表代理人提出一个合同ξ，该合同ξ是一个随机变量，可测量由X，pu（表示为FOB）产生的自然过滤，回顾：oX是代表代理人的偏差消耗，opu是其他代理人的偏差消耗定律，有条件地与常见噪声相关。换言之，ξ必须是X和pu路径的可测函数：ξ：pX，puq p CT^PpCTqTh221;ИξpX，puq p R.（2.4）备注2.6。考虑到条件律，pu自然来自N-代理情况的限制。事实上，如果委托人监控N个消费者，她希望根据第i个消费者的偏差，根据其他消费者的经验分布，为第i个消费者的合同编制指数，u'i，定义为：u'i：“^N'1N"yj“1，j‰iδXjt˙t0其中，偏差Xjare不是独立的，因为所有消费者都受到共同噪声的影响。因此，在平均场框架中，我们可能会怀疑经验度量u'itas N的收敛性是否趋向于8。在没有共同噪声的情况下，混沌传播的标准理论适用：渐进地，粒子变得独立，u'ItconvertRGE到它们的公共渐近分布。相比之下，当存在共同噪声时，即使在极限N'Y~n8内，粒子仍必须跟踪共同噪声W"，因此它们不能变得独立。

然而，在Carmona和Delarue[11]中已经证明，粒子在条件上依赖于公共噪声，并且经验分布收敛于给定公共噪声的每个粒子的公共条件分布（在我们的例子中为pu）。根据本合同和其他消费者pu偏差消耗的条件定律，代表性消费者解决了以下优化问题va`ξ，pu：“supppjapξ，pu，Pq，其中JApξ，pu，Pq:”EPUA^ξpX，puqzT`c`v Ptf`Xtdt, （2.5）式中，c:Rd\'p0，1sd\'R\'是与代理所做的效用ν相关的成本函数，函数f:R\'R表示代理对其偏差消费的偏好。函数f需要在原点处保持不变、递增和居中。这意味着，代理人消耗量的减少会使他感到不适，相反，如果消耗量偏差为非负，代理人会消耗更多的电，从而使他感到满意。将获得线性f的闭式解。函数ua是指数效用函数，风险规避参数为代表性消费者RAa0，由UApxq“e”RAx定义。人们可能会注意到，除了合同依赖性之外，代理的问题与[1]中定义的问题相同。为了使VApξ，puq有意义，我们要求合同上的可积性最小，对某些pa1施加支持“epRAξ| 305a8”。（2.6）此外，出于技术原因，我们将注意力限制在满足以下技术假设（CARA）的合同ξ上，只有在解决CARA风险规避委托人的问题时才有必要（对解决代理问题毫无用处）。这两个技术假设在线性能量值差异的应用中始终得到满足（见第4.2节）。

此外，与合同理论中的通常情况一样，我们假设消费者具有内生保留效用Ra0，低于该效用，他们拒绝生产者提供的合同。其基本思想是，在没有补偿的情况下（即ξ“0），消费者已经可以施加影响并修改其消费，而我们可以获得效用R。因此，他当然会拒绝任何不能为他提供至少自己可以获得的东西的合同。表（2.4）中相应类别的合同，满足（2.6），（卡拉），而参与约束用Ξ表示。最后，请注意，委托人提供的合同被假定不在commonnoise W"上编制索引。这可能意味着委托人不能完全遵守该条款，或者存在监管理由，防止生产者在合同中直接使用该条款。然而，我们的公式允许在可能的情况下纳入案例。因此，在第6.1节中，我们将研究允许委托人在合同中直接使用公共噪声的情况。在这种特殊情况下，她可以向代表代理人提供一份合同ξ，根据X、W和pu产生的自然过滤进行测量，用FOB表示。换言之，在这种情况下，ξ必须是X，W"和pu路径的可测函数：ξ：`X，W"，pup CT^CT^PpCTqTh221;Иξ`X，W"，pup R.（2.7）相应的合同类别将用Ξ"表示。2.4平均场平衡的定义我们在经典平均场框架下工作，其中所有代理都是相同的。因此，类似于Carmona、Delarue和Lacker【14】，我们定义了一个平均场平衡，如下所示。定义2.7（平均场平衡）。设ξPΞ为合同。

我们用Mèpξq表示所有平均平衡的集合，即对pPè，uèq p p^PpCTq，使得给定uèp PpCTq的PIQ，概率pèp p p对于（2.5）是最优的，即VApξ，uèq“EPèUA^ξpX，uèèq'T'p'T'f'Xt 9）;P媫–a.e.ωP的piiqOhm 对于每个t P r0，t s，我们需要有u媫tpωq“Pωt"pXt ^¨q'1，其中pPωtqωPOhm是P媫给定F"t的正则条件概率分布族。我们很容易将此定义扩展到Ξ中的合同，并用M媫，"Pξq表示相关的平均场平衡集。备注2.8。不太正式的是，过程X媫的概率定律P媫表征了平均场平衡，这是每个代理的最佳偏差消耗；piiq X媫关于公共噪声的条件定律u媫。细心的读者可能会注意到，我们对平均场平衡的定义，主要是定点约束，涉及路径空间上的概率度量，即u媫P PpCTq。虽然这在马尔可夫背景下的平均场博弈理论中不是标准的，但这在我们的非马尔可夫框架中是有意义的，在Carmona和Lacker的工作中也可以找到类似的情况【12】。关于如何计算R.2.5值的更多细节，请参见附录B。现在，我们转向委托人的问题。在【1】中定义的单代理人框架中，委托人具有指数效用函数，风险规避参数RPa0，UPpxq定义的“e”RPX希望最大限度地减少：piq支付给代理人的补偿：ξ。piiq生产成本，与偏差消耗引起的额外成本相对应：gpXtq，其中gis凹进并增加。这意味着如果代理人的偏差消耗为正，消耗增加，因此委托人有一个额外的生产成本。

相反，负偏差消耗意味着消耗正在减少，因此主要受益于生产成本的降低。piiiq偏差消耗的二次变化：xXyt。这一处罚条款允许委托人考虑消费随时间的变化。这一额外成本在电力市场中尤其重要，因为生产商必须遵循负荷曲线，而且消费波动性越大，成本就越高。平均场案例中主要问题的直觉来自N-代理案例。从形式上讲，如果我们考虑一个N人模型，委托人将最小化之前成本的总和（效用）。为了确保这些总和随着N的增长而稳定，从而获得N个代理问题的平均场限，我们可以按照[25]的线，假设每个单独的偏差消耗量都是由代理N的总数缩放的。在他们的框架中，没有常见噪声，也有指数效用函数，通过混沌参数的经典传播，当N'Y~n\'8时，主体在极限内变得风险中性。这种情况下，对委托人风险中性的另一种解释是，委托人通过考虑大量消费者来分散风险：N人博弈中的随机平均惩罚输出收敛到一个确定性数量。在我们的框架中，如备注2.6所述，在公共噪声的情况下，试剂的消耗偏差变得渐近依赖于公共噪声。因此，在我们的情况下，风险规避主体不会成为风险中性主体，并且仍然受到常见噪音产生的剩余风险的影响。

然而，我们将考虑风险规避和风险中性本金的两种情况。因此，与【25】和【1】类似，给定合同ξ，委托人的绩效标准由JPPξ、Pq定义：“EP"UP^'EP'''ξ''TgpXsqds'θ'TdxXysˇF'T˙, 对于任何P P P，（2.8），其中函数UP:R'Y~nR是委托人的效用函数，θ是一个正常数，表示消费的二次变化所产生的成本，说明了生产的有限灵活性。根据我们在第3节中获得的结果，对于合同ξPΞ，任何平均场平衡pP媫，u媫q P M媫Pξq将为消费者提供相同的效用，因为他们都具有相同的特征。此外，在我们的模型中没有有限责任的情况下（补偿ξ不必是非负的），消费者的参与约束将达到饱和，这意味着任何最优合同都将为他们提供准确的保留效用水平。因此，如果最优合同会导致几种可能的均衡，消费者将与所选的特定均衡不同，这意味着我们可以合理地假设，正如标准道德风险文献中所述，委托人可以通过为自己选择最优均衡来最大化其效用。这导致了以下第二个最佳承包问题VP：“supξPΞsuppP，uqPMèPξqJPpξ，Pq，与通常的约定sup“8.请注意，对于我们将最终考虑的类别中的合同，只有一种可能的平衡，这使得上述问题不是我们分析的核心问题。在这里考虑的道德风险合同问题中，委托人有兴趣给出一个至少存在平均场平衡的合同，否则，按照惯例，她的效用等于'8.

因此，合同ξPΞ使得MèPξq“ 不会受到委托人的影响，这意味着我们可以隐含地假设，消费者对委托人提出的合同总是会有最佳的回应。此外，由于合同必须满足参与约束，因此存在pP媫，u媫q P M媫Pξq，使得VApξ，u媫qěR。现在正式定义了可删除合同集。我们对Ξ"和VP的定义类似。对第一个最佳合同问题的研究，即委托人可以连续观察代理人的影响，从而可以对后者的合同进行索引，推迟到第6.2.3节代理人的问题。我们现在考虑的是，委托人只观察X和pu，这意味着她提供的是Fobs–可测量合同，如（2.4）所示。对于其他参与者的给定条件分布pu，我们考虑代表消费者VAt的价值函数的动态版本，它满足VA“VApξ，puq，和VAt”UApξpX，puqq。从这个定义中，我们注意到支付函数和终值函数之间的以下显式关系适用于ξpX，puq“'RAln'VAt'''728。