最优能源需求响应管理的平均场道德风险

（3.1）在本节中，我们将通过引入适当的哈密顿函数，开始针对其他消费者选择的给定合同和给定效果，这将允许首先正式计算消费者的最佳响应。直观地说，该哈密顿量是通过将链规则和公共噪声定义的Carmona和Delarue【11，定理4.17】应用于消费者的动态值函数，并考虑相关的主方程而产生的。然后，我们的下一步是推导出一类所谓的披露合同，从而将[18]的主要论点扩展到一般平均场游戏框架，其中考虑了一个代理的一般道德风险问题，以及[25]的主要论点，其中考虑了平均场游戏道德风险问题，其中代理仅控制输出过程X的漂移。非正式地，揭示合同的类别是通过仍然使用带有常见噪声的链式规则获得的，但将其应用于消费者动态价值函数的转换函数，由（3.1）定义。我们坚持认为，我们在以下小节中进行的分析，以确定代理人的哈密顿量以及合同的相关形式，是非正式的。实际上，我们考虑了马尔可夫框架，也就是说，我们假设代理在时间t的动态值函数仅取决于x和put，其中pu是已知公共噪声的x的条件定律（而不是x到时间t的路径）。该框架允许我们应用【11，定理4.17】中定义的带有常见噪声的链式规则。尽管如此，我们所做的分析虽然在这一点上是非正式的，但在很大程度上依赖于控制McKean–Vlasov SDEsand的动态规划方法的最新进展，本文稍后将严格地进行调整，主要在附录A中。

事实上，考虑到马尔可夫框架所激发的简单契约，我们可以计算代表性代理的最优效果和关联平均场均衡（见定理3.4），其证明基于二阶BSDE理论（2BSDE for Short）。本文的主要结果，主要是对这种所谓的披露合同的限制实际上没有失去普遍性，推迟到下一节（见定理4.1）。3.1马尔可夫框架的直觉桑尼科夫（Sannikov）[45]首创的、在Cvitani'c、Possama"i和Touzi（18）中全面研究的连续时间道德风险问题方法的基石之一，是为激励相容的合同获得适当的概率表示。本节的目标是使用非正式的动态规划类型论证，在涉及具有平均场交互作用的连续代理的情况下，推导出这种表示，其中每个代理都能够控制输出过程的波动性，然后证明这类合同很容易获得平均场均衡。我们在本节中确定了一个概率型购买力平价，由其他消费者根据自己的规范空间选择Ohm. 使用定义2.2，我们用ppωt表示给定F"t的p的r.c.p.d，并用put表示相关的文本条件定律。

几乎通过对购买力平价的定义，更准确地说，通过引理2.3，存在一个代表其他消费者影响的控制过程，表示为pν：“ppα，pβq PpU”pA^pB，因此其偏差消耗的动态px为：dpXt“\'pαt–1ddt`σ\'pβt¨dxWt`σ"dW"t。因此，固定pp PpP意味着ppu，pνq p PpCTq^pU也是固定的。从（3.1）来看，直觉上看，我们预计合同Fobs–可测量是以下过程的任何终值，作为t、X到t的路径和put的函数，Xt ^¨关于公共噪声的条件定律：ξt：“\'RAln `''''''''VAt''uApt，Xt ^¨，putq，（3.2），其中uA:r0，t s^CT^PpCTq'YИR。因此，给定合同ξpΞ以及分配pu所包含的其他消费者的效用，消费者的持续效用VAt可以写为VAt：“vApt，Xt ^¨，putq，其中vA：“\'e'RA¨uA，即时间t的过程VAat取决于t、X的路径历史以及其他人偏差消耗px的条件lawpu。事实上，合同仅在X和pu上索引，延续实用程序不应依赖于F和pf中包含的所有信息。要找到合同的相关形式，直觉是关注马尔可夫框架，即n函数va和函数uA仅取决于t、Xt和put，其中pu是关于公共噪声的Xt的条件定律（而不是时间t之前的路径）。

请注意，在这种特殊情况下，VAR和UAR函数均来自r0，T s^R^PpRq，其值在马尔可夫框架中的R.3.1.1消费者哈密顿量中，即，当VAtonly依赖于XT和putwhere，pu是XT的条件定律（而不是时间T之前的路径），知道公共噪声，并且如果Vai在Carmona和Delarue的意义下足够平滑【11，第4.3.4节】，我们可以将带公共噪声的链式规则（对于状态和测量的函数，请参见[11，定理4.17]）应用于vA:r0，T s^R^PpRq'YR:vApt，Xt，putq“vA` tBsvAps，Xs，pusqds` tBxvAps，Xs，pusqdXs ` tpEpPs”BuvAps，Xs，pusqpxs pXs pXs ` tBxvAps，Xs sztpEpPs“BxBuvAps，Xs，pusq”pXsdxX，pXysiztpEpPs“BvBuvAps，Xs，pusq ` pXsdxpXysi` tpeppsqqps“BuvAps，Xs，pusq ` pXs，qXsdxpX，qXysi，（3.3），其中qx是定义2.5意义上的px副本。人们可能会注意到，这一特殊的It'o公式涉及与度量有关的导数：我们参考[11，第4.3.4节]对这些类型导数的严格定义，以及wedenote byrL（resp.rL）将Borel可测泛函集从R（resp.R）转换为R，以考虑后者。直觉上，与经典控制理论一样，代表性智能体的哈密顿量应该由之前It'o展开式中出现的所有漂移项组成。

因此，通过计算代表消费者和其他消费者的偏差消费之间的二次变化和协变量，主要是：dxyt“∑βPtpσ"qdt，dxpXyt”∑pβtpσ"qdt，dxX，pXyt“dxpX，qXyt”pσ"qdt，此外，使用X和px的动力学，可以获得以下形式的哈密顿量，对于Pt，X，yq Pr0，t s^R，p：“pzu，γ，γu，γu，γu，1，γu，2q p R^rL^R^rL^rL，并沿ppu，pνq p PpCTq^pU计算：Hpt，X，y，p，put，pνtq：“supvPUhpt，x，y，p，put，pνt，vq，其中，对于v p U，hpt，x，y，p，put，pνt，vq：”\'RApcpvq\'fpxqqy\'za¨1d'pEpPt“zu'pXt'pαt¨1d‰`γ''∑pbq\'pσ'q'pσ'qpEpPt“γupXt''pEpPt”γu，1 ` pXt∑` pβt` pσ"qi``σ"peppetqpt“γu，2 ` pXt，qXt‰。根据控制理论中的经典推理，值函数应满足以下Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程：\'BtvApt，x，put，vApt，x，vApt，x，putq，vApt，x，putq，put，pνtq“0，（3.4），其中vApt，x，putq：“` BxvApt，x，putq，BuvApt，x，putq，和vApt，x，putq：“` BxxvApt，x，putq，BxBuvApt，x，putq，BvBuvApt，x，putq，BuvApt，x，putq。3.1.2关于合同的相关形式，通过仍然考虑马尔可夫框架，并假设我们可以应用于（3.2）C1,2,2–正则性下的链规则定义的函数uA，我们可以获得类似于（3.3）的公式，uA。

通过用vA的偏导数计算ua的偏导数，我们经过一些繁琐而简单的计算得到：ξt“'RAln'''vA''''''tBsuAps，Xs，pusqds''tZsdXs'''tpeps”Zusppxsqpxs''''''''''t'''s''''''''''''''dxys'''''''''''''''''''''，2s\'pXs，qXs\'RAZus\'pXsZus\'qXs\'d@pX，qXDsi`ztpEpPs“\'us ` pXs ` RAZsZus ` pXs”d@X，pXDsi，（3.5），其中过程pZ，Zu，Γ，Γu，Γu，1，Γu，2q取R^rL，R^rL^rL^rL rL rL rL rL rL rL rL，并通过以下方式定义所有t P r0，t:Zt，Zut，Γt，Γt，1t，Γ，2t：“\'RAVAt\'BxvA，BuvA，BxxvA，BxBuvA，BvBuvA，BuvApt，Xt，putq。使用vA满足的HJB方程，请参见（3.4），我们可以陈述uA满足的HJB方程：\'BtuApt，x，putq'rH\'t，x，Zt，Zut，Γt，Γt，put，2t pνtq“0，（3.6）其中，Rh是初始哈密顿量H的略微修改版本，在处理CARA效用函数时更加方便，并且满足ppu、pνq p PpCTq^pU、pt、xq p r0、T s^R和pz、zu、γ、γu、γu、1、γu、2q p R^rL R^rL rL rL、rHpt、x、zu、zu、γ、γ、1、γu、2、γu、puT，pνtq“Hdpzq ` Hvpγq ` Hcpx，γq ` H"pzu，γu，1，γu，2，γu，put，pνtq，（3.7），其中Hdpzq：\'infaPA2za–1d ` cαpaq（，Hvpγq：\'infbPBcβpbq'γ∑pbq（，Hcpx，γq：\'γpσ"q，和H"pzu，γu，1，γu，2，γu，put，pνtq：“pEpPt”zu\'pXtpαt–1dipσ"qpEpPt“γu\'pXtpEpPt”γu，1\'pXt∑pβtpσ"q305;\'pσ"qpepptqpt”γu，2\'pXt，qXt。因此，在这种情况下，代表消费者的哈密顿量由四部分组成。前三个，Hd、HV和Hc，是漂移和波动控制的经典部分，不依赖于其他参与者状态的影响和分布。最后一部分，H"，确实取决于法律和其他人的影响，并作为代表性消费者的一个固定部分，因为他无法控制它。注意，优化值由AK、媫pzq：“ρkpz'^ Amaxq和bk、媫pγq：“1 ^`λkγ''''''''1ηk'1\\ubmin给出，对于k”1，…，d。

（3.8）因此，我们声称，在我们的框架中，代表消费者的哈密顿量应该是（3.7）的路径依赖版本，并且相关契约应该是（3.5）形式，由过程pz、Zu、Γ、Γu、Γu、1、Γu、2q参数化。尽管如此，仍有必要进行一些修改，主要是考虑路径依赖版本，但也可以进行一些简化。特别是，通过明确写出（3.5）的最后三个积分的二次变化，我们可以表明，由Γu、Γu、1和Γu、2索引的项可以简化为哈密顿量的某些部分，因此是不必要的。我们将在下一节中提供详细信息。关于导数的计算规则，我们再次参考【11，第4.3.4节】，但为了给出一个想法，我们有：BuuApt，x，putqppxq“'RAVAtBuvApt，x，putqppxq和BvBuuApt，x，putqppxq“\'RAVAtBvBuvApt，x，putqppxq.3.2通过简单合同求解平均值上一小节中开发的马尔可夫框架中的直觉允许我们在我们的框架中直觉出收入合同的形式，定义3.1如下。特别是，相关合同形式的灵感来自（3.5），适用于非马尔可夫框架，并注意到一些简化是可能的。因此，从由过程pZ、Zu、Γ、Γu、Γu、1、Γu、2q的元组索引的契约形式开始，我们最终得出，过程pZ、Zu、Γq的元组应该能够有效地参数化相关契约。这类合同仅以pZ、Zu、Γq为索引，然后允许我们计算代表性代理的最佳效果和相关的平均场平衡（见定理3.4），其证明基于2BSDEs理论。

本文的主要结果，主要是对这种所谓的披露合同的限制实际上没有失去一般性，被推迟到下一节（见定理4.1）。在下文中，为了简单起见，对于任何正整数n，我们用ln表示从Cpr0、ts、Rnq到R的Borel可测泛函集，和L：“L.事实上，我们现在应该考虑，在我们的非马尔可夫框架中，对于所有的P r0，T s，函数Zutca可以应用于x的路径，直到T.3.2.1简单合同调用（3.1）中的值，我们期望合同Fobs–可测量定义为（3.2），作为t的函数，X到t的路径，以及put，X ^¨的条件定律。由于上一节中的推理，并且注意到，以合同（3.5）的形式将哈密顿量Rh替换为其值（见（3.7）），可以在哈密顿量部分和与二次变化相关的项之间进行一些简化。特别是，通过设置px、z、zu、γq P R^R^L^R和ppu、Pαq P PpCTq^pA:Hpx、Put、z、zu、γ，pαtq：“Hdpzq ` Hvpγq ` Hcpx，γq'pEpPt”zu\'pXt ^¨728; pαt¨1d‰，（3.9）我们得出，合同应仅通过过程ζ进行参数化：“pZ，zu，Γq，取R^L^R中的值，并应满足ξt“ξ'tHpXs，pus，ζs，pαsqds'tZsdXs'tpEpPs”zus ^¨728; dpXsi` t ` s ` RAZsdxys ` RAztppsqeqps“zus ` pXs ^¨728; zus ` qXs ^¨728;d@pX，qXDsi\'RAztZspEpPs“Zus\'pXs ^¨728;d@X，pXDsi，（3.10）对于某些ξP R。因此，（3.9）定义的H是我们非马尔可夫框架中的相关哈密顿量。人们可能会注意到，H是由方程式（3.7）定义的哈密顿量RH的简化版本。事实上，哈密顿量中一些不受消费者控制的部分用合同的某些部分进行了简化。

因此，合同中不再出现三重pΓu、1、2、q。因此，我们获得了合同的简化表格，仅以三重ζ为索引：“pZ，Zu，Γq PR^L^R。这三重ζ将被称为支付率的三重。此外，人们可能会注意到，哈密顿量以及代表性代理的合同不再依赖于其他消费者对波动性的影响，即pβ，但仍然依赖于对其他消费者漂移的影响，即pα。尽管（3.10）呼吁用作我们的通用合同形式，但不可能在存在道德风险的委托代理问题的情况下直接使用它。事实上，这种形式明确地依赖于其他消费者的漂移效应，即pα，通过哈密顿量，而这种效应对于主体来说是不可观察的，也不可收缩的。然而，我们可以通过将pα替换为其他消费者的最佳漂移过程来克服这一困难，该过程必须正式计算为由pα媫和definedby（3.8）表示的哈密顿量中的最大值，以便pak，媫ppzq：“ρkppz'^ Amaxq，k“1，…，d，其中pz是其他消费者漂移效应的支付率。事实上，在均衡状态下，每个消费者都应该进行最佳消费。此外，在我们的平均场框架中，消费者是相同的，无法区分。因此，委托人将为所有代理提供相同的合同，即所有消费者漂移效应的支付率都是相同的，since不允许歧视。因此，其他用户的最佳漂移过程将是pαèpZq。因此，我们需要考虑一种特殊类型的收入合同，具体描述见下文定义。定义3.1（简单合同）。

对于任何R^L^R-值FOB-可预测过程ζ：“pZ，Zu，Γq，和任何ξP R，让我们定义以下过程ξ，对于所有t P r0，由ξ确定的t s，ζt：”ξ'tHpXs，Pus，ζs，Pαèsqds'tZsdXs't's'RAZs'dxyss'tpEpPs“Zus'pXs dpXsi\'RAztpEpPsqEqPs“Zus\'pXs ^¨728; Zus\'qXs ^¨728;d@pX，qXDsi\'RAztZspEpPs“Zus\'pXs ^¨728;d@X，pXDsi，（3.11），其中函数H由（3.9）定义。然后，我们将R^L^R-值FOB-可预测过程ζ的集合设为V，以支持PPEP“sup0dtdTepRA”ξξ，ζt|a\'8，其中p与条件（2.6）中的相同。我们将形式为pξξ，ζTq的随机变量称为pξ，ζq p R^V，simplecontracts，并用ΞS表示相应的集合。此外，对于任何R^L^R值F可预测过程ζ：“pZ，Zu，Γq，我们将用ζ”pZ，Zu，Γq表示R值F可预测过程，Zut“pEpPtrZutppXt^qs，对于t P r0，t s。我们会说，如果ζP V，那么ζP V。备注3.2。请注意，集V定义中的可积性要求是相当隐含的。但很明显，V不是空的，因为它包含平凡的常数过程，因为X的漂移和波动性总是有边界的。此外，这正是我们需要能够解决M如下面定理3.4的证明所示，对于给定收缩的代理，FG。3.2.2合同格式的解释定义3.1中给出的合同格式主要由两部分组成：一部分是消费者控制过程的指数化，即其偏差消费，另一部分是通过pu法对其他消费者的指数化。特别是，与[1]类似，合同在消耗偏差水平x和相应的二次变化xXy中具有线性部分，具有线性系数Z和Γ。合同的这一部分是漂移和波动控制的经典合同。