最优能源需求响应管理的平均场道德风险

恒定部分与道德风险框架中通常的部分略有不同。事实上，我们可以把它分成三个积分：zTHpXs，pus，ζs，pαèsqds“zT^HdpZsq ` HvpΓsq ` fpXsq˙ds'tpeps“ZusppXs ^¨qpα23s¨1d‰ds'pσ"qzTΓsds。第一个代表消费者效用收益的确定性等价物，可以通过对合同的最佳响应来实现，因此从委托人的付款中减去，与通常的委托人-代理人口头风险类型的合同一致。此外，由于消费者的风险厌恶，最小的必须通过额外付款RAZTDXXYT来补偿yment ZTDXTM。遵循同样的推理，（3.11）中的第二个积分和额外薪酬是对其他指标的最小薪酬的补偿，最后一个积分是对两个最小薪酬引起的协变量的补偿。总之，委托人将选择三重控制ζ“pZ，Zu，Γq，其中，支付率pZ，Γq为所考虑的消费者的偏差消费指数合同，与漂移和波动性控制的通常委托-代理道德风险类型合同一致，支付率Zu为其他消费者的行为指数合同，由条件定律pu表示。备注3.3。到目前为止，我们认为ipal无法观察到常见噪声，或者至少不允许直接对其进行指数补偿。只要她能这样做，我们注意到（3.10）定义的合同可以用以下方式书写：ξt“ξ'tH'pXs，Zs，sqds'tZsdXs'σ'tpEpPs”Zus'pXs'dW's't's'RAZs'dxys'RA'tpeppsqps“Zus'pXs Z''Zus\'qXs ^¨728;d@pX，qXDs‰`RAztZspEpPs“Zus ` pXs ^¨728;d@X，pXDs‰，其中对于px，z，γq P R^R^R，H"px，z，γq“Hdpzq` Hvpγq` Hcpx，γq，（3.12），因此不再依赖于其他方的作用Pα。

我们甚至可以进一步简化，注意到，给定公共噪声，pX和qx是独立的。因此，回顾Zus“pEpPs”Zus ` pXs ^¨728;‰，我们有ztpEpPsqEqPs“Zus ` pXs ^¨728; Zus ` qXs ^¨¨728;d@pX，rXDs‰“`σ"ztpEpPs\'Zus ` pXs ^¨¨qEqPs\'Zus ^¨¨qXs ^¨ds”`σ"zt'Zus ^¨¨¨ds，tpEpPs\'ZsZus ^¨¨¨728;d@X,pXDs‰“`σ"tZspEpPs\'Zus` pXs ^¨728; ds”`σ"ztZsZusds。因此，在这种情况下，合同的实际补偿参数是三重ζ：` Z，Zu，P V，合同形式变为ξ'tH"pXs，Zs，sqds'tZsdXsσ"tZusdW's\'t\'s\'RAZsdxyss\'RApσ"qztZus\'Zus\'2Zsds。（3.13）之前的合同形式只不过是对（3.10）给出的合同形式的改写。这表明，基于条件律的索引实际上是对公共噪声的隐藏索引：合同中的补偿条款依赖于其他条款被重写为仅依赖于公共噪声的条款。因此，如果生产商被允许使用W"，她可以直接履行此类合同。否则，如果有一些监管原因阻止她在合同中直接使用，她可以在定义3.1中解除合同。也就是说，当委托人使用C"中的合同时，我们需要将公共噪声作为状态变量添加到代表消费者的价值函数中，然后可以类似地显示合同通过参数Z"根据公共噪声进行索引，委托人选择的付款率ζ"可以根据X、W和pu生成的自然过滤进行测量。因此，如果主体观察到公共噪声，我们只需扩展主体选择的控制空间。事实上，最优合同的形式将是相同的，这将导致相同的消费者福利和相同的委托人效用。

我们参考第6.1节了解详细合同以及在这种特殊情况下最优合同的解决方案。前面的评论强调了这样一个事实，即如果σ"“0，定义3.1中的简单合同正是漂移和波动控制的标准合同（见[1，17，18]）。因此，在没有常见噪音的情况下，可以直接得出结论，考虑消费者群体消费指数的合同不会改善[1]中给出的结果. 有关此结果的更多详细信息，请参阅第5节。3.2.3解决平均场博弈通过考虑简单合同，我们能够计算代表代理人的最佳效益，非正式地由（3.8）计算得出。直觉上，最大化（3.9）给出的哈密顿量有助于获得最佳效果，但形式证明依赖于2BSDE理论。我们将注意到，消费者的最优效用并不依赖于其他人的效用，这简化了获得理论3.4给出的唯一平均场均衡的任务。换句话说，每个消费者都独立于其他人优化其偏差消费。因此，存在一个唯一的平均场平衡，由以下定理给出。定理3.4。给定合同ξξ，ζTPΞ由参数ζ的三重指数表示：“pZ，Zu，Γq P V，在定义3.1的意义上，在定义2.7的意义上存在一个唯一的平均场平衡，由pP媫，u媫q表示，其中piq消费者的最佳漂移由过程α媫给出：“a媫pZq，其中k，媫pZq：”ρkpz''^ Amaxq，Z P R，k“1，…，d；piiq消费者的最佳波动率由过程β媫给出：“b媫pΓq，其中bk，媫pγq：”1 ^ `λkγ'''''1ηk'1\\uBmin，γp R，k“1，…”。

dpiiq P媫是由最优控制驱动的X定律xt“'ρ\'Z\'t^Amaxdt'σ媫PΓtq¨dWt'σ"dW"t；（3.14）pivqu媫是给定F"的X的条件定律。前面定理的证明（总结如下）依赖于2BSDE理论，主要推迟到附录A：这里的论点的关键是使用命题A.3和定理A.4的一般结果，并表明只要ξξ，ζPΞS，我们就可以直接构造2BSDE（A.3）的解。事实上，与前一节中给出的直觉相反，带有公共噪声的链式规则不能应用于我们的非马尔可夫框架。证据我们首先假设其他消费者正在按照P媫进行游戏，这尤其意味着，他们的效力是ν媫“pα媫，β媫q和that pu”u媫。在这种情况下，可以注意到合同的简化（3.13），因为其他消费者都在玩α媫。定义如下：“\'e\'RAξ，ζt，Zt：”“\'RAYtZt，Zt：”“\'RAYtpEP媫ZutppXt ^¨q‰，Γt：”“\'RAYt，tpr0，t s，Kt：“zt^'RAYsH'pXs，ζsq's'Ss ``σ"'F pXs，Ys，Zs，Ssq'ds，t P r0，t s，其中对于任何sě0，∑'1pSq是映射∑：B'YИR'的单子tSu前映像，其中我们用∑pBq表示B的映像∑，其中映射F:R^R^∑pBq'Y~nR由F px，y，z，sq定义：“suppa，bqPA∑'1pSq'a–1dz'RAypcpa，bq'fpxqq（，px，y，z，Sq P R^R^R^∑pBq，（3.15）和H"通过等式（3.12）。然后，简单应用通常的It'o公式，得到y“'e'RAξT'TtF'Xs，Ys，Zs，Ss'ds'TtZsdXs'σ'TtZsdW's'TtdKs，T P r0，T s。通过定义H'和F，我们还直接检查K始终是一个非递减过程，它在与e'F'效应对应的任何概率测度的支持下消失ned在命题陈述中。

的确dKs“射线”infbPBcβpbq's∑pbq（'infbP∑1pSsqcβpbq'sSs'ds。确保pY、pZ、ZqJ、Kq解决2BSDE（A.3）因此，仍需检查定义A.2中的所有可积性要求是否得到满足，因为定义满足了定点约束。Y的一个是集合V的直接定义。然后，ppZ、ZqJ、Kq上所需的可积性来自Bouchard、Possama"i、Tan和Zhou【10，定理2.1和命题2.1】。因此，我们得出命题陈述中提供的候选者确实是一个均衡。现在让我们来证明独特性。设pν“ppα，pβq是其他消费者的任意影响，以及相关的条件分布pu。在这种情况下，合同ξξ，ζpΞ不再允许分解（3.13）. 尽管如此，根据命题A.3，最优effνè是映射F的最大值，并且不依赖于pν。虽然概率P媫通常不唯一，因此，effβ媫也不唯一，但effα媫是唯一的，并且是定理声明中定义的。综上所述，对于其他消费者的任意效应spν，给定一个契约，每个消费者都有一个唯一的最优漂移效应αè，与pν无关。因此，我们已经可以得出结论，对于所有消费者来说，最佳的效果α媫是相同的。使用带有α媫的Px动力学，合同ξξ，ζ允许分解（3.13）。因此，我们可以应用上述推理来构造2BSDE（a.3）的解，现在我们有了概率P媫的唯一性，因此也有了由定理的piiq点给出的波动率β媫。综上所述，给定一个任意的lawpu和一个合同ξξ，ζPΞS，最佳效应是ν媫“Pα媫，β媫q，诱导lawp媫和条件定律u媫。因此，这是唯一的平衡。在整个工作中，我们将用v媫pz，γq表示：“pa媫pzq，b媫Pγqq”是给定药剂的最佳反应。

与此相关的成本将由c媫pz、γq.3.2.4对最佳效率的解释表示。对于一组支付率ζP R^L^R，piq，支付的z分量会对消费者的所有用途产生影响，以减少其平均消费量。对第k次使用的影响与其成本成比例，1{ρk，不随z增加，如果z为负，则为正，否则为零。因此，z为负越多，代理将减少其平均消费偏差越大；piiq组分γ仅对成本比付款低1{λkis的使用产生影响。如果γ为非负，则bk，èpγq“1对于所有用途，因此消费者不会影响其消费偏差的波动性。γ越负，b越接近零，即代理越能降低其消费偏差的波动性；piiiq zu分量对消费者的影响没有影响：虽然他的付款是根据其他人的消费偏差进行索引的，但消费者不会将其考虑在内以优化其偏差消耗。这种模式可能会受到批评，但从某种意义上讲似乎相当合乎逻辑，即即使电价取决于全球需求，消费者也会独立于其邻居的行为来优化其消费。因此，尽管我们考虑的合同有更多的组成部分，但消费者的福利与[1]中定义的相同。附加组件不会影响消费者的最佳效果。备注3.5。这些结果与漂移和波动控制的经典结果一致，psee【17】或【18】q，pz编制的合同指数，γq有助于激励代理人对漂移和波动进行影响。

因此，很自然，合同中的另一个参数不会直接影响效果，但可能会增加委托人的价值函数。为了总结本节内容，我们在定义3.1中提供了一种新的合同形式，称为简单合同，通过定理3.4，我们可以计算消费者的最佳效益和相关的唯一平均值-场平衡。下一节的目的是证明只考虑简单合同不会失去一般性，并解决委托人的问题，因此仅限于这些简单合同。4委托人的问题我们记得，委托人的优化问题定义如下VP：“supξPΞSUPP，uqPM媫PξqEP^UP^'EPξzTgpXsqdsθTdxXysF"T˙.按照[18]的一般方法，我们预计委托人在定义3.1而非定义3.1的意义上限制合同不会失去一般性。这一性质在艾列、马斯特罗利亚和波萨梅（25）之前就已获得，用于一般道德风险问题，这些问题具有一系列具有平均场相互作用的因素，但这些因素仅限于控制扩散X的漂移。我们在此表明，这一一般结果也扩展到了波动性也可以控制的情况，使用2BSDEs理论。为便于注释，我们为任意Pξ，ζq P R^V定义了以下过程Lξ，ζt：“ξ，ζt` tgpXsqds`θtdxXys，对于t P r0，t s。定理4.1。以下等式表示P”suppξ，ζqPrU\'1ApRq，`8q^VEP媫UP'''EP媫Lξ，ζtˇFisup pv EP媫“UP'''EP媫”LU'1ApRq，ζtˇˇF"tii。这一主要定理的证明推迟到附录A.4。从现在起，假设f和g具有线性增长。因此，命题B.1的结果成立。为了简化符号，通常会省略指数U'1ApRq，因为使用命题B.1，它是由U'1ApRq“ψp0，Xq一次性固定的。

请注意，从委托人的角度来看，当考虑以Ξs为单位的合同时，当消费者处于唯一均衡时，其他消费者的偏差px只不过是X的一个副本，在定义2.5的意义上，我们用X表示。此外，注意到分布PP和P媫重合，特别是在pu“u媫，并施加ξ：”U'1ApRq从现在起，获得：ξζt”ξ'tHpXs，u媫s，ζs，α媫sqds'tZsdXs'trEP's“ZusprXsqdrXs‰`t's'RAZs'dxyss'RA'σ'σ's'Zusprq'ds'RA'σ'ztZsrEP媫s“ZusprXsq‰ds。考虑到委托人的控制问题和合同的形式，直觉是她的价值函数应该只依赖于时间和状态变量Y的条件律uyo“pX，LqJ.4.1一般情况细心的读者注意到，定理4.1的右侧看起来像是带有常见噪声的McKean–Vlasov随机微分方程的随机控制问题的值函数。然而，两个状态变量中的一个，主要是L，似乎被考虑在强公式中（由控制ζ索引），而在弱公式中考虑了其他状态变量X（控制ζ仅影响X到P的分布）。Ashighlighted by Cvitani'cand Zhang【16，备注5.1.3】，直接考虑这种形式的控制问题几乎没有意义。因此，从我们的角度来看，我们没有理由只采用弱公式来说明委托人的问题，这与通常在委托代理问题中所做的相反（参见，例如，[18]），因为这对代理人的问题是有意义的。因此，我们将在下文对此进行阐述。设V是r0，T s^R上所有有限和正Borel测度的集合，其在r0，T s上的投影是Lebesguemeasure，对于某些Borel函数φ，我们称V为Δφspdvqdt形式的所有q P V的集合。

直觉是，委托人的问题只取决于时间和状态变量Y“pX，LqJ的条件定律uyo。按照用于代理人问题的相同方法，为了正确定义委托人问题的弱公式，我们考虑以下正则空间OhmP： “”Ohm"^ Ohm1，P^Ohm2，P^V，其中OhmP、 1：“Cpr0、T s、R^Rdq和OhmP、 2：“PTpRq，具有规范过程pW"，Y，W，uY，λPq，其中对于任何pt，W"，Y，W，u，qq P r0，T s^OhmPW"tpw"，y，w，u，qq：“w"ptq，Ytpw"，y，w，u，qq：”yptq，Wtpw"，y，w，u，qq：”wptq，uYtpw"，y，w，u，qq：“uptq，∧Ptpw"，y，w，u，qq：”q。不太正式地说，对于所有的t P r0，t s，uYtP PpRq将是y的条件分布“pXt，Ltq，我们将用ux和ul来表示uY的边际分布。当不可能混淆时，为了减轻符号，我们通常会省略与条件分布相关的积分空间，例如表示：φpx，`quYpdx，d`q:”“Rφpx，`quYpdx，d`q，对于任何φ：RuR。规范过滤FP：“pFPtqtPr0，T定义为fpt：“σ'\'W"s，Ys，Ws，uYs，spхq：ps，Дq P r0，ts^Cb\'r0，T s^R，R\'，T P r0，T s，其中Cbpr0，T s^R，Rq是从r0，T s^Rto R到R的所有有界连续函数的集合，对于任何ps，则为Дq Pr0，T s^Cbpr0，T s^R，Rq，spsq：“sssRspr，vq∧Ppdr，dvq。我们还定义了FP，"：”“pFP，"tqtPr0，T s，一个较小的滤波器，仅包含由公共噪声和Y，FP，"T的条件定律生成的信息：“σ` pW"s，uYsq:s P r0，ts，t P r0，t s。让CbpR^Rd^R，Rq是有界的两次连续可微分函数集，请注意，在一天结束时，这不是一个真正的问题。

事实上，只要问题有足够的规律性（通常是终端和运行奖励相对于状态的半连续性），就可以预期强公式和弱公式是一致的。Djete、Possama"i和Tan在具有常见噪声的环境中证明了这一点【21，22】。R^Rd^R到R，其一阶和二阶导数也有界，对于任何ps，^q P r0，T s^CbpR^Rd^R，Rq，我们设置mpsp^q：“pYs，Ws，W"sqzszU^APpvq¨^1pYr，Wr，W"rq ` Tr“D"pYr，Wr，W"rqBPpvqBJPpvq‰∧Ppdr，dvq，其中D"表示ν、apa和bpa的Hessian矩阵，分别是向量过程pY、W、W的漂移向量和扩散矩阵；qJAPpvq："'ρ''z'^ Amax'b'Xt，vD''''''''，BPpvq：''''''''''''''''00σ媫pγqJσ"0 0 zσ媫pγqJpz`zuqσ"ddid0 0 0Jd媫其中v：“pz，zu，γq p Rbpx，vq：“c媫pz，γq ` gpxq'f pxq'RAz∑pγq'RA'σ"'zu'θ'''pγq'σ"''σ''''''θ''pγq'''''''''σ'''''''''σ''''''''''''''''x'x'x'x'设MPbe是p上所有概率测度的集合OhmP、 FPTq。子集QAMPis由所有Psuch thatpiq MPp^Q组成，是一个pP，FPq–r0上的局部鞅，T s，表示所有ДP CbpR^Rd^R，Rq；piiq P"pYq'1”%P和P"`pW，W"q'1“ι；piiiq P∧PP Vs”1；P–a.e.ωP的pivqOhm对于每个t P r0，t s，我们有uYtpωq“Pωt"pYtq'1，其中pPωtqωPOhm是给定FP，"t的p的r.c.p.d.族。与之前类似，我们将用ept表示r.c.p.d.pωt下的条件期望；pvq pW"，uYq为P–与W无关。备注4.3。人们可能会注意到，之前的定义，尤其是点pivq，不再涉及路径空间的概率测量，与定义2.2相反，如备注2.8所示。