弱一致极限订货簿模型下的做市

方向和时间一致性确保LOBmodel仅从订单事件中如实反映价格风险。如果没有卷一致性，则可能会减少方向一致性违规的夸大。一般而言，积极市场秩序的平均规模大于非积极市场秩序的平均规模。因此，当积极订单的数量分布未正确建模时，将进一步低估积极市场订单不利价格变动造成的损失。然而，由于我们需要跟踪订单簿的深度，因此在LOB模型中很难实现批量一致性。如果模型只符合方向和时间一致性，我们将弱一致性标签与LOB相关联。如上所述，上述订单一致性条件只是正常订单操作的直接后果，因此，任何完整的LOB模型，无论分布假设如何，都将完全符合。2.1不一致模型的示例大多数现有做市商模型都没有对整个LOB进行建模：价格通常是外生的，导致价格波动不一致，尤其是在高频交易中使用时。例如，Avellaneda和Stoikov[1]将中间价格建模为独立的布朗运动。dSmt=σdWt（23）这样的设置甚至可能无法再现一些简单的程式化事实。例如，当一个买方市场订单到达时，由于中间价是一个独立的布朗运动，一半的时间它会下降，有时下降幅度很大。这种不切实际的情况可能会严重夸大做市策略的优势。

由于价格是一种扩散，即使没有任何订单，价格也会持续波动。观察到这些和其他与完全独立的价格和订单到达相关的问题，一些作者试图在这两个过程之间加入一些依赖结构。Cartea等人[9]将买卖市场订单分为流动（M+t，M-t） 和非流动性（eM+t，eM-t） 带（M+t，M-t、 eM+t，eM-t） 是一个多元霍克斯过程。中间价是通过不可观察的均值回复过程αt与市场订单耦合的扩散，如下所示：dSmt=（ν+αt）dt+σdWt（24）dαt=-ζαtdt+σαdBt+ε+dM+t- ε-dM公司-t（25），其中wt和bt是独立的布朗运动，而ν∈ R、 ζ，σ，σα，ε+，ε-0都是严格的正常量。这不是经典意义上的套利，因为在这样的买入之后可能会有一个主要的市场卖出指令。积极的订单是一种会影响价格的订单。当一个流动的买入市场指令M+T上升时，αT会上升，而中间价SMT会有更大的漂移。尽管如此，没有什么可以阻止Wtterm发生更大的负面变化，从而导致整体价格下降。由于中端价格持续上涨，即使流动市场订单到来，价格也不会上涨。引入依赖结构的另一种方法是将中间价格建模为与订单到达相关的纯跳跃过程。

Bacry和Muzy[18]假设中间价格具有theformSmt=Sm+δ（N+t- N-t） （26）连同买卖市场订单M+t，M-t、 四组（N+t，N-t、 M+t，M-t） 形成多变量霍克斯过程【19–21】。尽管价格和市场订单现在通过霍克斯过程中的交叉激励特性进行关联，但在买入市场订单后，价格下跌的概率仍然为非零。此外，多元霍克斯过程被定义为一个简单的点过程，这意味着价格上涨和市场订单发生的概率为零。在Fodra和Pham【12】中，中等价格是按S+δ建模的∑田纳西州≤tJn（27），其中δ是刻度大小，{（Tn，Jn）}是具有Tn的马尔可夫更新过程∈ R+和Jn∈ {-1,1}分别表示跳跃时间和跳跃方向。市场订单被假定为A点过程M（dt×dz），其中标记ZN表示市场订单的侧面（买入/卖出）。M的随机强度取决于自上次价格跳跃以来的时间t，zn的条件分布取决于上次价格跳跃的方向jm。它同样存在与[18]相同的问题，即价格和市场是相关的，但方向一致性仍然可能以非零概率被违反。此外，即使价格和订单到达过程是相关的，也无法保证价格和到达点过程同时跳跃。在上述所有示例中，要么假设所有订单的数量相同，要么不直接使用数量来控制价格上涨。在过去10年中，关于做市的学术研究（见表1）主要集中于扩展和优化Avellaneda和Stoikov[1]框架，很少关注其在现代订单驱动交易所中的实用性。

该框架非常适合于固定收益和OTC衍生品等由订单驱动的市场的报价，但由于存在价格-时间优先权，不适合股票和期货等由订单驱动的市场。但具有讽刺意味的是，上述研究中的大多数例子都是将其结果应用于高频电子交易平台，而这些平台是订单驱动的。人们可能会注意到，在这个模型中，“订单移动价格”的普遍观点是相反的，作者承认他的目的是再现价格和订单之间的依赖关系，而不是建模因果关系。盖恩特也提出了类似的评论。3弱一致的一级简化LOB3.1模型表2：订单分类类型订单到达事件出价询问价格1激进市场买入0+2激进市场卖出-03激进限价买入+04激进限价卖出0 5激进限价买入取消-06激进限价卖出取消0+7非激进市场买入0 08非激进市场卖出0 09非激进限价买入0 010非激进限价卖出0 011非激进限价买入取消0 012非激进限价卖出取消0+/-/0表示相应的价格上涨/下跌/保持不变，如下Biais等人【22】和Large【23】，根据类别（限额、市场、取消）、交易方（买入、卖出）和积极性，限额订单簿顶部的所有订单可分为表2中的十二种类型之一。正如【23】中所述，激进的订单是指改变出价或要价的订单。

更准确地说，激进的市场订单是指完全耗尽最佳出价或询问队列的订单，激进的限价订单是指限价在买卖价差内的订单，激进的取消是指取消最佳出价或最佳询问队列中最后一个剩余的订单。设N（t）=（N（t），。。。，N（t））是每种类型的订单数量的多元单点过程，直到并包括时间t。Ma（t），Mb（t）表示买卖市场订单的数量，Sb（t），Sa（t）分别表示买卖价格。假设价格网格的刻度大小δ是固定的。立即观察到以下直接但重要的关系。Ma（t）=N（t）+N（t）（28）Mb（t）=N（t）+N（t）（29）Sa（t）=Sa（0）+（N（t）+N（t）- N（t））δ（30）Sb（t）=Sb（0）+（N（t）- N（t）- N（t））δ（31）我们忽略了奇异订单类型，如冰山订单、零售价格改善订单、钉住订单等。卖出包括多头卖出和卖空。如果几乎可以肯定的是，一个点过程在每个时间点最多有一次跳跃，那么它被称为简单过程。为简单起见，我们假设没有两种类型的订单可以同时到达。尽管如此，由于纳斯达克/芝加哥商品交易所的时间戳降至纳秒，两个订单在同一时刻到达的概率接近于零。等式（28）和（29）只是Ma（t）和Mb（t）的定义。要价Sa（t）是初始要价加上推动要价上涨的激进订单数量，减去推动要价下跌的激进订单数量，再乘以刻度大小δ。投标价格的方程式（31）遵循相同的逻辑。通过这些非常简单的方程（28）-（31），我们可以通过公共组件Nand N观察价格和订单到达的依赖关系。

例如，当存在一个积极的买方市场订单（类型1）时，买方市场订单点流程Ma（t）和询价Sa（t）都将同时跳转（共同跳转），但它们也可以在其他订单类型到达时单独跳转。从这些方程式中，我们还认识到，买市指令（类型1或类型7）不会使询价价格下降。然而，激进指令导致的价格上涨可能会超过一个刻度，这对于小刻度股票尤其重要，因为在价格网格中，限制指令的数量很少。因此除了随机跳跃时间τn∈ R+=（0，∞), 我们添加随机标记ξn∈ N={0，1,2，…，}，对应于积极顺序的跳转大小（以记号为单位）（对于非积极顺序，ξN=0），和vn∈ R+，表示订单数量。多元标记点过程现在表示为Ni（dt×dv×dξ），其补偿器的形式为λi（t）ui（t，dv×dξ）dt，其中λi（t）是地面过程Ni（dt×R+×N）的强度，ui（t，dv×dξ）是条件标记（体积和跳跃）分布。为了便于说明，我们将使用符号Ni（dt×dv）=Ni（dt×dv×N），Ni（dt×dξ）=Ni（dt×R+×dξ）和（Ni+Nj）（dt×dv×dξ）=Ni（dt×dv×dξ）+Nj（dt×dv×dξ）。价格和市场订单的联合模型现在变成：Ma（dt×dv）=（N+N）（dt×dv）（32）Mb（dt×dv）=（N+N）（dt×dv）（33）Sa（dt）=ZZ+ξδ（N+N- N） （dt×dξ）（34）Sb（dt）=ZZ+ξδ（N- N- N） （dt×dξ）（35）买卖价差S（dt）=Sa（dt）- 我们模型中的Sb（dt）由s（dt）=ZZ+ξδ（N+N）给出- N- N+N+N）（dt×dξ）（36）由于负项Nand N，人们可能会担心买卖价差S（t）可能会低于一个刻度δ。

然而，如果我们仔细观察订单类型3和4（限制范围内的订单），它们只能在S（t-) > δ ; 因此，S（t）永远不会收缩到δ以下。实施该约束的最简单方法是限制N，N的强度。根据结果，当点过程的强度在时间t为零时-, 事件在时间t发生的概率为零[24，T12，p.31]，我们施加条件λ（t）=λ（t）（S（t-) > δ）（37）参见[24]中关于标记点过程的精彩介绍。我们也可以使用等效形式λi（t）=λi（t）（S（t）>δ），请参见Brémaud[24，T10，p.29]以获得证明。λ（t）=λ（t）（S（t-) > δ）（38），其中λ（t）和λ（t）是任何可预测的非负随机过程。很容易看出，我们的模型在方向和时间上是一致的，然而，由于我们没有跟踪最佳报价的深度，我们的模型在数量上并不一致。3.2强度和标记分布通常，订单到达过程的强度可以是任何可预测的非负随机过程。在最简单的情况下，它们被假定为常数，从而导致这些订单到达的泊松过程。然而，有人可能会认为，例如，N（t）只是总市场购买订单的细化过程，其细化概率为P（vt≥ Qat公司-|英尺-) 其中Qat-是最佳询价中的限价卖出订单数量，VT是进入的买入市场订单大小。因此，根据限额订单簿的当前形状，强度应该是随机的。然而，将Qatin纳入模型将显著增加建模所需状态变量的维度，因为我们需要跟踪所有价格水平下的订单流量，而不仅仅是最佳出价/要价【25】。此外，报价造假[26]和欺骗[27]的做法使整个LOB的有用性受到质疑，尤其是在最佳报价之外。

因此，完整LOB模型的好处可能无法证明增加的非平凡复杂性是合理的，这可能解释了简化模型的出现，简化模型只关注本书的顶部【28，29】。如果假设到达强度为常数，则可以将其解释为基于订单平衡分布中的稀释概率的强度。由于做市商在整个交易日提供流动性，订单账簿的平均形状为我们的目的提供了合理的近似值。关于订单量，Gopikrishnan等人【30】观察到，市场订单的大小具有幂律尾部（例如，帕累托分布），而Maslov和Mills【31】发现对数正态分布也能很好地拟合数据。我们将在第5.2节的numericalexample中使用对数正态分布，但我们的框架与任何分布假设都是兼容的。任何正离散分布都可以用来模拟价格上涨的幅度，并且可以以到达时间和数量的历史为条件。例如，一个非常大的订单将导致价格跳跃多次，而随着流动性枯竭，一系列大型市场订单更有可能导致价格跳跃更多。然而，为了简单起见，我们将在第5.2.3.3节参数估计中的求解示例中假设体积和跳跃大小是独立和稳定的。由于我们假设到达强度是恒定的，所有订单类型，除了激进限制订单（类型3和类型4）外，都遵循泊松过程。

例如，最大似然估计（MLE），我们需要跟踪处于次优状态的订单，否则我们将无法计算积极的市场订单后新的最佳报价的队列深度。快速下达和取消大量限价订单。提交限价订单，造成供需失衡的假象。LOB在一个大订单后恢复到正常/平衡形状的速度称为弹性[23]。众所周知，泊松强度为^λi=Ni（T）Ti 6=3，4（39）。对于侵蚀性极限阶数3和4，强度被限制为零，而投标报价为一个刻度，因此，对于跳跃和体积分布，MLE变为^λi=Ni（T）RT（St>δ）dti=3，4（40），可以假设参数分布，其中的参数由MLE估计，也可以简单地使用经验分布。例如，给定观察到的某种阶型跳跃大小{ξ，…，ξN}的序列，ξ的经验分布为简单的ξ（k）=N∑j=1（ξj=k）N（41）在人口稀少的LOB上，观察到的跳跃大小范围非常大，可以将参数分布（例如负二项式）设置为{ξj}。如果我们假设体积v服从对数分布，那就是log（v）~ N（u，σ），u和σ的最大似然只是对数（vj）的样本平均值和方差。对于激进订单类型的体积和跳跃大小的联合密度，我们将其表示为fv，ξ（v，ξ）=fξ（ξ）fv |ξ（v |ξ），fξ可以使用经验分布进行估计。由于ξ是离散的，我们可以很容易地估计给定特定跳跃大小ξ=k的条件体积分布，类似于无条件跳跃。4做市商模式4.1交易环境我们的做市商可以选择在买卖双方发布限价指令，或从市场的一方或另一方退出。

bid和ask的运行机制由Rbt、Rat表示∈ 分别为{0,1}。例如，在只买入（抛售）制度（Rbt=1，Rat=0）中，做市商只会以最低价发布限制买入订单。此外，做市商可以根据跨越买卖价差的成本、交易费用η以及固定的间接费用ci，发布规模为ζ的市场订单（冲动），以立即调整其库存。在此版本中，我们的做市商不会考虑像[7]中那样的激进限价指令（限价指令insidespread），其中价差内的限价指令可能具有高于之前最佳报价的永久有效融资利率。在我们的模型中，从一个注册表切换到另一个注册表的效果是打开/关闭市场订单的到达，这遵循一个规定的点过程动力学。在我们的术语中，收益是暂时的，我们在这里没有建模。假设每个市场订单的大小足够小，以至于它不会进入LOB，并且出价和询问队列都是非空的，概率为1。参与率ρ的增加是因为订单优先级较高，而不是因为我们的价格提高了一个百分点，导致市场订单的到达强度增加。4.2建模假设我们假设做市商在市场上的所有交易中只有一个很小的预先确定的参与率ρ（例如说10%），因此她的订单对订单的影响可以忽略不计。关于参与率ρ：1的解释，有三种选择。对于每个大小为v的市场订单，我们的做市商将执行ρv股；这意味着做市商的订单非常小，并且在队列中均匀分布。2、对于每个市场订单，有一个概率ρ，它将达到我们做市商的限价订单。