鞅最优输运和弱最优输运的稳定性

对于allx∈ 十： C（X，p）≤ K1+dX（x，x）r+RdY（y，y）rp（dy）.然后是P∈ ∧（u，ν）是（WOT’）的最佳值，P是C-单调的。同样，如果p 7→ C（x，p）是凸的，然后是π∈ π（u，ν）是（WOT）的最佳值，π是C-单调的。备注2.3。注意，在定理2.2的假设下，π的C-单调性∈π（u，ν）产生J（π）的C-单调性∈ ∧（u，ν），因此，J（π）对于（WOT’）是最优的，尤其是π对于（WOT）是最优的。我们将在备注2.4中完成此讨论。同时，我们在第5节示例5.1中看到，p 7的凸性→ C（x，p）对于最优耦合是C单调的是必要的。示例5.2表明，为了使Cmonotonic成为一个有效的最优性标准，需要成本C的额外正则性（下半连续性和有界性）。证据设P是集中在C-单调集Γ上的C-单调。修复P∈ Λ(u, ν). Weargue如【10】中所述，用于经典（线性）最优运输。取任意iid序列（Xn）n∈NofX值随机变量和任何iid序列（Yn）n∈N、 （Zn）N∈概率空间上的Nof P（Y）值随机变量(Ohm, P） ，带（Xn，Yn）~ P、 （Xn，Zn）~ P、 特别是根据大数定律，我们发现P-几乎可以肯定zx×Pr（Y）C（x，P）P（dx，dp）-ZX×Pr（Y）C（x，p）p（dx，dp）=limN→∞NNXn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，Yn）。（2.2）注意，对于任何函数g∈ C（Y），以Y 7为主→ 1+dY（y，y）r，我们有e[Yn（g）]=ν（g），其中p（g）表示p∈ P（Y）表示积分g（Y）P（dy）。那么，大数定律几乎肯定是有限的→∞NNXn=1Yn（g）=ν（g）=limN→∞NNXn=1Zn（g）。通过标准的可分性参数，我们发现P-几乎确定limn→∞NNXn=1Yn=ν=limN→∞NNXn=1ZnP-a.s.（2.3），其中在Wr中保持收敛。Letω∈ Ohm 处于P-全套s.t.limN→∞Wr公司NNXn=1Yn（ω），NNXn=1Zn（ω）= 0，鞅最优输运和弱最优输运的稳定性7and（Xn，Yn）（ω）∈ Γ对于所有n∈ N、 从现在起，我们省略ω参数。

对于每个N∈ N、 我们用χN表示∏（NPNn=1Zn，NPNn=1Yn）中的Wr最佳耦合，即WrNNXn=1Zn，NNXn=1Ynr=ZY×YdY（z，y）rχN（dz，dy）。我们用{χNz}z表示∈aχNgiven在第一个坐标（边缘）的投影的规则分解。定义χNZn（dy）：=Rz∈YZn（dz）χNz（dy），我们发现NNXN=1Wr（Zn，χNZn）r≤NNXn=1ZYdY（z，y）rχNz（dy）Zn（dz）=WrNNXn=1Zn，NNXn=1Ynr、 （2.4）此外，PNn=1χNZn=PNn=1Yn，因此通过C-单调性nnxn=1C（Xn，χNZn）- C（Xn，Yn）≥ 0。（2.5）在（a）的情况下，我们应用引理6.2，得到|θ：R+→ R+，它是连续的，凹的，在0处消失，为了简单起见，我们将其重命名为θ。因此，根据Jensen不等式，NNXn=1θWr（Zn，χNZn）r≤ θNNXn=1Wr（Zn，χNZn）r≤ θWr公司NNXn=1Zn，NNXn=1Ynr,以N的形式消失→ +∞. 利用P的C-单调性和一致连续性，我们得到了P几乎可以确定的nxn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，Yn）=NNXn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，χNZn）+NNXn=1C（Xn，χNZn）- C（Xn，Yn）≥ -NNXn=1θ（Wr（Zn，χNZn））≥ -θWrNNXn=1Yn（ω），NNXn=1Zn（ω）！→ 0。（2.6）在（b）的情况下，我们通过pn定义随机变量pn取X×P（Y）的值：=NNXn=1δXn，χNZn。通过（2.4），我们发现P-几乎可以肯定的WR（PN，P）r≤NNXn=1Wr（Zn，χNZn）≤ Wr公司NNXi=1Zn，NNXn=1Ynr、 如（2.3）所示，其右侧的a.s.收敛为零。然后，C yieldsZX×Pr（Y）C（x，p）p（dx，dp）的连续性和生长-ZX×Pr（Y）C（x，p）PN（dx，d p）→ 0。（2.7）这里，方程左侧的瓦瑟斯坦距离是在空间X×Pr（Y）w.r.t上取的。度量d（（X，p），（X，p））r=dX（X，X）r+Wr（p，p）r.8 J。BACKHOFF-VERAGUAS和G.Pammer因此，在这两种情况下，我们都有p-几乎确定的zx×Pr（Y）C（X，p）p（dX，p）-ZX×Pr（Y）C（x，p）p（dx，dp）≥ lim信息→∞NNXn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，Yn）≥ 0，我们使用了（2.2）、（2.5）、（2.6）和（2.7）。2.1. C-单调性的稳定性。

回忆（1.2）J:P（X×Y）的嵌入→ P（X×P（Y）），π7→ projX（π）（dx）Δπx（dp）。某些测度Q的强度I（Q）∈ P（P（Y））唯一定义为概率测度I（Q）∈ P（Y）with i（Q）（f）=ZP（Y）ZYf（Y）P（dy）Q（dp） f∈ Cb（Y），即I（Q）（dy）=Rp∈P（Y）P（dy）Q（dp）。备注2.4。鉴于这种嵌入，在增强空间X×P（Y）上考虑C-单调性似乎是很自然的。（a） π∈ π（u，ν）是C-单调的，而π（π）是C-单调的：一方面，如果π是Cmonotone，则有可能找到一个可测集Γ X使得u（Γ）=1，其中通过Γ=n（X，p）定义∈Γ×P（Y）：P=πxo，一个C-单调集。因此，等价于定义2.1，我们可以要求存在一个C-单调集Γ X×P（Y）使得（X，πX）∈ Γ对于u-AlmosteryX∈ 十、 另一方面，如果J（π）是C-montone，则存在一个C-montone集，其中1=J（π）（Γ）=u（{X∈ X：（X，πX）∈ Γ}).考虑u-全解析可测集{x∈ X：（X，πX）∈ Γ}. 由于分析可测集是普遍可测的，它允许一个Borel可测子集|Γ，u（|Γ）=1。因此，π在定义1.4的意义上是C-单调的（onΓ）。（b） 如果Γ X×P（Y）是C-单调的，C:X×P（Y）→ R在第二个参数中是凸的，即对于所有x∈ 十、 （p，q）∈ P（Y）和α∈ [0，1]C（x，αp+（1- α） q）≤ αC（x，p）+（1- α） C（x，q），然后放大集Γ：=x、 kkXi=1pi！：x个∈ 十、 （X，pi）∈ Γ，i=1，k∈ N也是C-单调的。

同样，如果C（x，·）对于所有x都是连续的∈ 十、 那么^Γ：=n（X，p）∈ X×P（Y）：X∈ 十、 p∈ co（Γx）o是C-单调的，其中co表示闭凸包，而Γx表示Γ的x-fibre，即{p∈ P（Y）：（x，P）∈ Γ}.（c） 我们观察到，集合∧（u，ν）（见（2.1））可以用一系列连续函数F来表征 C（X×Pr（Y））：P∈ ∧（u，ν）当且仅当ifZX×P（Y）f（x）P（dx，dp）=ZXf（x）u（dx） f∈ Cb（X），ZX×P（Y）ZYg（Y）P（dy）P（dx，dp）=ZYg（Y）ν（dy）g级∈ Cb（Y）。鞅最优输运和弱最优输运的稳定性9作为进一步观察，我们在定义2.1中具有C单调性的等价性，并且在线性约束FF=nf下具有C有限最优性∈ Cb（X×P（Y））：g级∈ Cb（X），h∈ Cb（Y）s.t.f（x，p）≡ g（x）或f（x，p）=RYh（y）p（dy）o，这是在[12，定义1.2]中引入的。定理2.5。设C:X×Pr（Y）→ [0, ∞] 可测量且P*∈ Pr（X×Pr（Y））（WOT’）的最佳值，具有有限值。然后是P*是C-单调的。特别是，如果allx满足C要求∈ X和Q∈ P（P（Y））C（x，I（Q））≤ZP（Y）C（x，p）Q（dp），（2.8）然后是任何优化器π*具有有限值的of（WOT）是C-单调的。证据第一个断言是备注2.4的结果。（c） 和【12，定理1.4】。Toshow the second assertion，let P∈ Λ(u, ν). 然后I（Px）u（dx）∈ π（u，ν）和by（2.8）ZX×P（Y）C（x，P）P（dx，dp）≥ZXC（x，I（Px））u（dx）。因此，J（π*) 是（WOT）的最佳选择。我们从证明的第一部分结合备注2.4（a）推导出π的C-单调性。在经典的最优弱传输环境中，C是下界的假设实际上没有必要推导C的单调性，参见【9，定理5.2】。注意，当C（x，·）是下半连续且凸的时，（2.8）成立。

事实上，通过与定理2.2相似的近似参数，我们可以找到任何Q∈ P（P（Y））测量序列{pk}k∈N P（Y）使得nnxi=1pi→ I（Q）in Wr，NNXi=1C（x，pi）→ZX×P（Y）C（x，P）Q（dp）。因此，ZX×P（Y）C（x，P）Q（dp）=limN→∞NNXi=1C（x，pi）≥ lim信息→∞Cx、 NNXi=1pi≥ C（x，I（Q））。引理2.6。让pi，mi∈ Pr（Y），i=1，N、 PNi=1pi=PNi=1mi，且{pk，…，pkN}，k∈N、 具有pki的Pr（Y）中的be序列→ 皮恩。然后存在近似序列{mk，…，mkN}k∈Nof竞争对手，即NXi=1pki=NXi=1MKI和mki→ miin Wr。证据当ni=1mi=PNi=1pi时，我们发现子概率测度mi，j，其性质为mi，j（A）≤ min{pi（A），mj（A）}对于所有可测量的，且mj=NXi=1mi，j，pi=NXj=1mi，j。用（χk，iz）z表示∈Ya Wr最优运输计划的正则分解χk，i∈ π（pi，pki）w.r.t.至其第一个边际pi。让我，j∈ {1，…，N}和Definemki，j（dy）：=Zz∈Yχk，iz（dy）mi，j（dz），mki：=NXj=1mkj，i.10 j.BACKHOFF-VERAGUAS和G.PAMMERSinceNXj=1Wr（mki，j，mi，j）r≤NXj=1ZY×YdY（z，y）rχk，iz（dy）mi，j（dz）≤ZY×YdY（z，y）rχk，iz（dy）pi（dz）=Wr（pki，pi）r，我们推导了mki，jto mi，j的收敛性，并由此导出了mkitomiin Wr的收敛性。最后观察NXi=1mki=NXi=1NXj=1mkj，i=NXj=1Zz∈Yχk，jz（dy）pj（dz）=NXj=1pkjso确实{mk，…，mkN}是{pk，…，pkN}的可行竞争对手，因此对于i=1，N、 mki公司→ miin Wr。引理2.7。让C∈ C（X×Pr（Y）），ε≥ 0和N∈ N、 然后，集合εN：=（（xi，pi）Ni=1∈ （X×Pr（Y））Nm、 ，明尼苏达州∈ Pr（Y）s.t.NXi=1pi=NXi=1mi，我们有NXi=1C（xi，pi）≤NXi=1C（xi，mi）+ε（2.9）是（X×Pr（Y））N证明的闭子集。取任意收敛序列（xki，pki）Ni=1∈ εN，k∈ N、 这样的话→ xiin X，pki→ piin Wr。假设（xi，mi）Ni=1是竞争对手，即PNi=1pi=PNi=1mi。引理2.6提供了竞争对手的近似序列，通过C的连续性，我们得出结论。

（WOT）稳定性的关键因素是以下关于C-单调性概念稳定性的结果。定理2.8。让C，Ck∈ C（X×Pr（Y）），k∈ N、 并且ck一致收敛于C.IfP，Pk∈ Pr（X×Pr（Y）），k∈ N、 这样（a）对于所有k∈ N测度Pkis Ck单调，（b）序列（Pk）k∈n收敛到P，那么P是C-单调的。此外，如果π，πk∈ Pr（X×Y）和Ckis在第二个参数k中是凸的∈ N、 使得（a’）对于所有k∈ N测度πkis-Ck单调，（b’）序列（πk）k∈n收敛到π，那么π是C-单调的。证据目的是构造一个P集中的C-单调集Γ。所以，我们写Pk，Nand P对于pk和P的N倍乘积测度，其中N∈ N、 通过CK单调性和一致收敛性，我们发现对于任何ε>0的自然数ksuch thatPk，N、 k级≥ k、 集中在ΓεN上，见（2.9）。引理2.7结合Portmanteau定理得出PNis集中在εN:1=lim supkPk，N（εN）≤ PN（εN）=1。因此，我们发现PNgives对闭集ΓN的完全测度：=ΓN。在X×Pr（Y）中OI为开的formNNi=1的集合构成了鞅最优传输和弱最优传输11（X×Pr（Y））N的乘积拓扑稳定性的基础。因此，我们可以通过在X×Pr（Y）中OI为开的formNNi=1的可数个集合来覆盖开集Γcns，其中OI为开的，ΓcN=[k∈NNOi=1Oi，k。特别是，我们推导出任何k∈ N0=PNNOi=1Oi，k=NYi=1P（Oi，k）。我们发现开放集ANsuch thatAN：=[k∈N、 我∈{1，…，N}P（Oi，k）=0Oi，k，P（AN）=0，ΓcNN[i=1（X×Pr（Y））i-1×AN×（X×Pr（Y））N-i、 自N起∈ N是任意的，我们定义了闭的和C-单调的集合Γ：=[N∈南安c、 P（Γ）=1，ΓN ΓN.在采取预防措施的情况下，验证P在Γ上是C-单调的并不构成挑战。为了显示第二个断言，我们嵌入了πk∈ 由于映射J，P（X×Y）变成P（X×P（Y））。注意∧（u，ν）是Pr（X×Pr（Y））的闭子集。

通过与[9，引理2.6]中相同的参数行，我们找到了相对紧性，从而得到了∧（u，ν）的紧性。因此，我们找到了一个累积点P∈ （J（πk））k的P（X×P（Y））∈N、 注意，u（dx）I（Px）=：π∈ π（u，ν）决定耦合，耦合同样是{πk}k的累积点∈N、 由于P集中在C-单调集Γ上，因此我们发现任何x∈ X使得Px（ΓX）=1个测量序列pxi∈ Γx P（Y），i∈ N、 带qxn：=nnXi=1pxi→ I（Px）=πx，n→ ∞, 在Wr中。通过备注2.4（b），我们知道（x，qxn）包含在C-单调集Γ中。通过closureofΓ，我们得出（x，πx）∈ Γ表示u-a.e.x，以及π的C-单调性。从定理2.2和2.8中，我们很容易推导出以下推论，其中引文中的定理1.3是一个特例：推论2.9。让C，Ck∈ C（X×Pr（Y）），k∈ N、 是非负的代价函数，使得ck一致收敛于C，并且下列之一成立：（a）{C（x，·）：x∈ 十} 是等连续的，（b）u∈ Pr（X）存在一个常数K>0，X∈ 十、 y型∈ Y使得对于所有（x，p）∈ X×P（X）C（X，P）≤ K1+dX（x，x）r+RYdY（y，y）rp（dy）.设{uk}k∈Nand{νk}k∈Nbe分别在P（X）和Pr（Y）上的两个概率度量序列，其中ukconverge弱到u，而νkconverge在Wrtoν。让Pk∈∧（uk，νk）是（WOT’）的优化器，成本函数Ck介于uk和νk之间。Iflim supkPk（Ck）<∞,那么{Pk}k的任何弱积累点∈对于成本C，Nis是（WOT’）的优化器。此外，如果Ck（x，·）和C（x，·）是凸的，则类似的语句适用于（WOT）的情况。12 J.BACKHOFF-VERAGUAS和G.PAMMER3。鞅最优运输的稳定性在本节中，我们考虑了鞅最优运输问题（MOT），X=Y=Rd。文献[12，45]提出了附加线性约束下c-循环单调性的推广，其中也包括（MOT）。

对于（MOT），线性约束集FM C（Rd×Rd）取形状Fm：=nf∈ C（Rd×Rd）：f（x，y）=g（x）（y- x） 和g∈ Cb（Rd）o.D定义3.1。（1） A测量α∈ P（Rd×Rd）被称为α的FM竞争者∈ P（Rd×Rd）i f f theirmarginals重合，且α（f）=α（f）对于所有f∈ FM。（2） 我们称之为Γ Rd×Rd（c，FM）-对于任何概率测度α，基本上支持于Γ，以及任何竞争对手α，我们有α（c）≤ α（c）。（3） 鞅耦合π∈ 在（c，FM）-单调集上支持的∏M称为（c，FM）-单调。备注3.2。定义3.1，第（2）点，对于任何（c，FM）-单调集Γ，意味着对于所有序列（x，p），（xN，pN）∈ Rd×P（Rd），pi在FibreΓxithatNXi=1ZRdc（xi，y）pi（dy）上得到完全支持≤NXi=1ZRdc（xi，y）qi（dy），（3.1），其中q，qN公司∈ P（Rd），PNi=1qi=PNi=1PINDRRDY pi（dy）=RRdy qi（dy）。另一方面，假设Γ是一个集合，使得（3.1）适用于所有N∈ N、 和集合（x，p），（xN，pN）∈ Rd×P（Rd），pi在Γxi上得到完全支持。给定任何度量值α∈ P（Γ）在有限集{（x，y），…，（xn，yn）}上得到{（x，αx），…，（xn，αxn）}的最优性，其中（3.1）中所有竞争序列的αxi（dy）=α（xi，dy）α（xi×Rd）。因此，△α（dx，dy）：=Pni=1δxi（dx）αxi（dy）定义了所有竞争对手的边缘之间的最佳耦合，即对于所有γ∈ π（proj（～α），proj（～α）），其中RRdyγx（dy）=RRdyαx（dy），我们得到nnxi=1c（xi，yi）=cfcfα（c）≤ γ（c）。（3.2）根据线性规划的对偶定理，我们找到了（3.2）给出的线性规划的对偶优化器，即Maxf（x）+g（y）的最大化子+（x） ·（x）-y）≤c（x，y）NXi=1f（xi）+NXi=1αxi（g）+NXi=1（xi）·ZRd（xi- y） αxi（dy）。互补松弛条件，这里读作（f（xi）+g（yj）+（xi）·（xi）- yj））～α（xi，yj）=01.≤ i、 j≤ n、 得出双重优化器的最优性独立于测量值α的定义选择，只要suppα 补充▄α。

因此，我们推导出α的（c，FM）-单调性，而Γ是（c，FM）-单调性。在定义3.3中，我们引入了弱运输成本的鞅c单调性的概念，通过上述推理，它自然地将（c，FM）单调性扩展到弱运输成本，参见定义3.1。我们将在引理3.7中看到，在给定条件（c，FM）下，耦合的单调性等价于鞅c-单调性（参见定义1.5）。在[12]中，（MOT）的优化器集中在（c，FM）-单调集上。如果c是连续的，那么Beiglb¨ock和Juillet[14]和Griessler[27]在一维中显示了反向含义，但在任意维d中显示了反向含义∈ N它仍然没有答案。鞅最优输运和弱最优输运的稳定性13让我们考虑（MOT）的两个自然推广：infπ∈πM（u，ν）ZRC（x，πx）u（dx），（MWOT）infP∈∧M（u，ν）ZR×P（R）C（x，P）P（dx，dp），（MWOT\'），其中∧M（u，ν）是所有P的集合∈ ∧（u，ν）完全测量（（x，p）∈ Rd×P（Rd）：x=ZRdy P（dy）），即P∈ ∧M（u，ν）i ff P∈ ∧（u，ν）和zrd×P（Rd）f（x，P）P（dx，dp）=0 f∈~FM，其中鞅约束集~FM由~FM给出：=（f∈ Cb（Rd×P（Rd））：g级∈ Cb（P（Rd）），h∈ Cb（Rd）s.t.f（x，p）=g（p）h（x）ZRd（x- y） p（dy））。定义3.3。（1） 我们称之为Γ 任意N的Rd×P（Rd）鞅C-单调i fff∈ N、 任何集合（x，p），（xN，pN）∈ Γ和q，qN公司∈ P（Rd）使得PNi=1pi=PNi=1qiandRRdy pi（dy）=RRdy qi（dy），我们有nxi=1C（xi，pi）≤NXi=1C（xi，qi）。（2） 概率测度P∈ P（Rd×P（Rd）），被支持在鞅单调集上，称为鞅C-单调。（3） 概率测度π∈ 如果J（π），则P（Rd×Rd）称为鞅C-单调∈P（Rd×P（Rd））是鞅C-单调的。（这相当于定义1.5。）同样，通过【12，定理1.4】，我们在下面的定理中证明了鞅C单调性是一个必要的最优性准则。定理3.4。

设C:X×Pr（Rd）→ [0, ∞] 可测量且P*∈ 具有有限值的∧M（u，ν）最佳值（MWOT’）。然后是P*是鞅C-单调。此外，如果所有x∈ X和Q∈ Pr（Pr（Rd））C（x，I（Q））≤ZP（Rd）C（x，p）Q（dp），（3.3）然后是任何优化器π*具有有限值的（MWOT）是鞅C-单调的。如前（3.3）所述，当C（x，·）是下半连续且凸的，尤其是当C:Rd×Rd时，C（x，p）=RRdc（x，y）p（dy）时，C（x，p）=RRdc（x，y）p（dy）成立→ R是下半连续的和下半圆形的。证据由于（MWOT’）是附加线性约束下的最优运输问题，第一种说法是【12，定理1.4】的结果。为了证明第二个断言，我们注意到任何鞅耦合π∈ 通过嵌入J，c.f.第1.3节，∏M（u，ν）自然诱导∧M（u，ν）中的元素。让P∈ ∧M（u，ν），然后I（Px）u（dx）∈ πM（u，ν）和by（3.3）ZRd×P（Rd）C（x，P）P（dx，dp）≥ZRd×P（Rd）C（x，I（Px））u（dx）。14 J.BACKHOFF-VERAGUAS和G.Pammerthus，J（π*) 对于（MWOT’）是最优的，并且我们从第一部分鞅C推导出J（π）的单调性*). 根据备注2.4（a）中的类似推理，我们得出结论π*也是鞅C-montone。从这里开始，我们假设D=1，但我们希望将来可以为更高维度开发类似的方法。引理3.5。让N∈ N和pi∈ 与竞争对手qi的Pr（R）∈ Pr（R），i=1，N、 即，NXi=1pi=NXi=1qi，ZRy-pi（dy）=ZRy-qi（dy）。假设有序列{pk，…，pkN}，k∈ N、 pki在Pr（R）中的应用→ piinWr。然后存在近似序列{qk，…，qkN}k∈Nof竞争对手，即NXi=1pki=NXi=1qki，ZRy pki（dy）=ZRy qki（dy）和qki→ qiin Wr。由于引理3.5的证明要求稍高，为了方便读者，我们首先在N=2的简单设置中给出更具体的论点版本：引理3.5的证明，N=2。W、 l.o.g.q，p。