最优多次停车的解析递推方法：Canadization

正如我们将在下面看到的，我们对d的选择会产生非常小的拟合误差。为了进行数值说明，我们将负贴现率α=-0.02，K=100。对于Z的每种情况，我们考虑具有公共参数ρ=1.5和σ=0.2的L'evy过程，并选择ε（1）=α的ecso- γ（即exp(-(α - γ） t+Xt）t≥0是鞅）来选择γ。请注意，随着γ的增加，ec（因此EXas也会降低）。就股票贷款而言，如【11，49】所述，负贴现率是无风险利率与贷款利率之差，K是贷款金额，γ是股息率。下面给出的所有数值结果都是在配备Intel Xeon CPU E5的Windows 7计算机上通过双精度MATLAB脚本生成的-2620，2.00GHz，24.0GB RAM。5.1. 一阶段随机化。我们首先通过考虑δ=0.5的期望值，分析我们随机化算法的准确性和计算时间，例如-αδv（1）（Xδ）]，（5.4），其中v（1）的解析表达式如（3.5）所示。为了做到这一点，我们通过与模拟结果的比较来评估我们的算法的近似值。更具体地说，我们首先计算M=1，5，10，这两种方法的近似值tou（1，M）（x）=Ex[e-αη（M，M/δ）v（1）（Xη（M，M/δ）），（5.5），然后通过模拟，以起点X=ea近似常数δ情况（5.4*. 这使得我们能够分析我们的随机化算法在Erlang情况下的近似误差（5.5），并分析M需要多大才能获得常数δ情况下的精确近似值（5.4）。根据上一节中的参数，我们的计算涉及两个主要步骤：（i）计算ψ（·）=p的根，和（ii）递归计算（4.9）中的参数集Γ。根查找程序由MATLAB内置函数solve（）执行。

在表1中，我们给出了样本值Availableathttp://home.imf.au.dk/asmus/pspapers.html截至2014年3月14日，T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.ZHANGγ=0.02γ=0.1M=1 M=3 M=3ξ1，p1.0252+0.0000i 1.5941+0.0000i 1.0056+0.0000i 1.5825+0.0000iξ2，p3.8602+3.6058i 3.9134+3.3255i 3.8296+3.6319i 3.8939+3.3384iξ3，p3.8602-3.6058i 3.9134 3.3255i 3.8296-3.6319i 3.8939-3.3384iξ4，p7.8211+3.4389i 7.6518+3.2454i 7.8398+3.4933i 7.6613+3.2799iξ5，p7.8211-3.4389i 7.6518-3.2454i 7.8398-3.4933i 7.6613-3.2799iξ6，p9.5837+0.0000i 9.3632+0.0000i 9.6386+0.0000i 9.3983+0.0000iξ7，p42.040+0.0000i 46.026+0.0000i 38.4292+0.0000i 42.666+0.0000iCase2：威布尔γ=0.02γ=0.1M=1M=3m=3m=3m=3m=3mξ1，p0.9842+0.0000i 1.4669+0.0000i 0.9674+0.0000i 1.4583+0.0000iξ2，p3.2497+2.3023i 3.2876+2.0887i 3.2331+2.3200i 3.2784+2.0976iξ3，p3.2497-2.3023i 3.2876-2.0887i 3.2331-2.3200i 3.2784-2.0976iξ4，p5.5298+1.6297i 5.4233+1.5437i 5.5425+1.6464i 5.4300+1.5543iξ5，p5.5298-1.6297i 5.4225 33-1.5437i 5.5425-1.6464i 5.4300-1.5543iξ6，p6.4520+0.0000i 6.2947+0.0000i 6.4805+0.0000i 6.3103+0.0000iξ7，p37.565+0.0000i 41.862+0.0000i 34.049+0.0000i 38.617+0.0000i酶3：折叠法线表1。ξi、pfor M=1、3和γ=0.02、0.1的值（按升序列出）。我们可以确认这些值都是不同的。因为X有一个布朗运动分量，| Ip |=d+1=7。ξi，p；在这里，我们可以确认这些值都是不同的。通过将上一节中的归纳步骤ii应用M次，可以有效地完成步骤（ii）。

对于模拟结果，我们通过基于100万条样本路径的蒙特卡罗模拟进行计算，其中布朗运动由具有时间步长的随机游动近似t=每次跳跃之间的到达时间^t/100。表2和表3分别总结了γ=0.02和0.1的结果。对于M=1，…，列出了从解析递归公式和模拟中获得的函数u（1，M）\'s，asin（5.5），5、10，以及通过模拟计算的常数δ情况，显示在最下面一行中。我们还报告了计算时间（以秒为单位）。对应于分析公式的时间以步骤（i）和（ii）所用时间的asum表示。对于模拟值，我们给出了每种情况的平均值和95%置信区间。由于布朗运动的离散化，模拟结果会产生一些误差，但可以作为基准。鉴于案例1中这两种方法之间的比较，这些离散化误差被确认为最小。

回想一下，案例1的数值结果是通过优化多次停止、CANADIZATION、，和相位型拟合17随机化模拟M值时间值时间1 1823.65 0.306+0.008 1823.89（1 821.61，1826.17）146.7122 1824.27 0.242+0.024 1824.15（1 822.03，1826.28）152.9693 1824.51 0.245+0.066 1824.58（1 822.51，1826.66）157.0014 1824.64 0.240+0.146 1823.69（1 821.71，1825.68）162.0825 1824.72 0.238+0.271 1825.10（1823.00，1827.19）167.06810 18 24.88 0.273+2.008 1823.11（1821.01，1825.20）186.8 93常数1823.9 0（1821.80，1826.0）141.833案例1：指数随机模拟M值时间值时间1 1665.62 0.604+0.036 1665.68（1663.64，1667.73）395.0632 1666.12 0.455+0.201 1663.54（1661.63，1665.44）393.9453 1666.32 0.374+0.599 1666.02（1664.07，1666.02 67.97）404.5904 1666.42 0.524+1.350 1664.73（1 662.84，1666.62）403.7725 1666.49 0.534+2.5201665.47（1663.59，1667.34）411.32210 16 66.58 0.403+18.74 1667.07（1665.08，1669.06）426.8 56常数N/A 1666.6 1（1664.75，1668.4 7）386.804案例2：Weibullrandomization simulation M value time value time1 1482.88 0.594+0.036 1486.05（1484.40，1487.69）141.3512 1483.35 0.380+0.232 1484.31（1482.76，1485.86）147.0913 1483.53 0.389+0.584 1484.30（1482.721485.89）1 52.594 1483.63 0.379+1.3021484.06（1 482.45，1485.67）1 56.255 1483.69 0.382+2.471 1485.29（1 483.69，1486.89）161.92310 14 83.80 0.329+18.64 1485.24（1483.67，1486.81）184.0 49常数N/A 1485.3 5（1483.78，1486.9 1）137.375案例3：折叠法线表2。在γ=0.02的情况下，比较随机化和模拟下的结果。对每个Erlang形状参数M进行了比较；在最下面一行（labeledconst），给出了常数δ=0.5情况下模拟的近似值。模拟中列出的值是平均值和95%置信区间。

随机化的计算时间（以秒为单位）是步骤（i）和（ii）所用时间的总和。18 T.LEUNG，K.YAMAZAKI，和H.Zhang随机化模拟M值时间值时间1 323.83 0.360+0.008 323.85（323.44，32 4.27）146.5112 324.33 0.235+0.023 324.10（323.69，32 4.51）150.8663 324.54 0.231+0.064 324.23（323.82，32 4.64）157.9424 324.65 0.235+0.143 324.13（323.74，32 4.53）162.2985 324.72 0.237+0.23 273 324.51（324.10，32 4.91）168.97310 32 4.87 0.271+2.013 324.48（324.06，324.90）184.726常数不适用324.97（324.56325.37）142.774案例1：指数随机模拟M值时间值时间1 303.13 0.307+0.036 302.36（301.94，30 2.78）389.0832 303.54 0.271+0.202 303.44（303.04，30 3.85）396.2853 303.72 0.588+0.679 303.63（303.23，30 4.03）401.6504 303.81 0.377+1.458 303.48（303.48 303.09，30 3.86）402.0405 303.87 0.401+2.504 303.65（303.24，30 4.06）404.43010 30 4.00 0.335+18.69303.87（303.48304.25）428.611Conts不适用303.98（303.60304.37）385.145案例2：Weibullrandomization Simulation M value time 1 265.46 0.876+0.037 265.67（265.33，26 6.00）144.6012 265.85 0.380+0.235 265.90（265.57，26 6.23）150.7593 266.01 0.386+0.583 266.37（266.04，26 6.70）155.1044 266.10 0.341+1.311 266.49（266.17，26 6.81）158.3895 266.15 0.388+2.459 266.69（266.37，26 7.01）162.12410 26 6.28 0.336+18.75 266.50（266.18，266.81）182.452不适用266.86（266.55，267.17）139.149案例3：正常折叠表3。在γ=0.1的情况下，比较随机化和模拟下的结果。最佳多重停止、CANADIZATION和相位类型拟合19随机化算法在拟合尺度函数时没有近似误差的意义上是精确的。基于这一观察，我们还可以从案例2和3的结果中推断，尺度函数的相关拟合误差也很小。

这表明使用相位型分布作为一般L'evy过程近似值的实用性。当M从1增加到10时，近似值函数（5.5）单调增加，并接近与常数δ情况相关的（5.4）的模拟值。事实上，指数折射时间情况（即M=1）已经给出了合理的近似值。就计算时间而言，随机化方法明显快于模拟。还请注意，对于随机化方法，只需进行一次计算即可获得值函数的整体形状。另一方面，令人遗憾的是，模拟方法并不实用；对于x的一个特定点，需要几分钟才能达到这种精度。回想一下，在多重映射问题中，我们需要知道整个形状才能进行反向归纳。如果采用simulationmethod，则需要计算任意多个起点x。然而，这在计算上是不可行的。当M很小时，随机化方法瞬时运行，我们观察到计算时间以M为单位非线性增加。它还取决于相位数；案例1（具有1个阶段）比案例2和案例3（具有6个阶段）运行得更快。这表明了随机化算法的一个局限性，即M的值和相位数d不能选择任意大的值。然而，正如我们已经在表2和表3中看到的，近似值函数即使对于小M和我们选择的d.5.2也是稳定的。多阶段案例。现在，我们进入多阶段案例。使用我们的随机化算法，近似值函数ev（1），对于Erlang形状参数M=1、3，计算ev（5），对于γ=0.02和0.1，分别如图1和图2所示。阈值水平ea*, . . .

，ea*（圆）标记在近似值函数曲线上。特别地，顶曲线对应于近似值函数ev（5）。正如预期的那样，阈值都高于罢工K=100，并且它们允许排序ea*n+1<ea*n、 这与Remark2.1一致。回想一下，流程exp(-(α - γ） t+Xt）t≥0是给定参数下的鞅。因此，对于较小的γ值，值函数在exp（x）中接近线性。另一方面，随着γ的增加，它看起来更凸。此外，函数ev（N）随着γ的增大而减小，因为γ减小了X的位移。在单次停止情况下，M=1和3的值函数之间的差异是看不见的。这表明这些是常数δ情况下的合理近似值。另一方面，在M=1和3.5.3的情况下，最佳阈值水平显示出不可忽略的差异。依赖于N和M。在图3中，我们根据γ=0.1的情况3显示了与阶段数N和Erlang形状参数M相关的阈值水平。在左侧面板上，我们绘制ea*, . . . , ea公司*对于固定M=1，注意，第一个阈值ea*独立于M。在右面板上的示例中，我们绘制了阈值ea*超过M=1，随着M从1增加到10，20 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H。

ZHANG0 500 1000 1500 20000100003004000500060007008000900010000Exp（x）值0 500 1000 1500 20000100002000000030000000600060000008000900010000Exp（x）值案例1（指数），M=1案例1（指数），M=30 500 1000 1500 2000010000200000004000500060007008000900010000Exp（x）值0 500 1500 20000100002000040005000600000080009000Exp（x）值案例2（Weibull），M=1案例2（Weibull）M=30 500 1000 1500 2000001000200030004000500060007008000900010000EXP（x）值0 500 1000 1500 200000100020003004000500060007008000900010000EXP（x）值案例3（折叠法线），M=1案例3（折叠法线），M=3图1。当γ=0.02且阈值水平为SEA时，近似值起作用*, . . . , ea公司*（圆）标记在近似值函数曲线上。这些值在级数上是单调的（顶部曲线对应于近似值函数ev（5））。最佳多次停车、加拿大人化、，和相位型配件210 100 200 300 400 5000200400600800100012001400108002000exp（x）值0 100 200 300 400 50002004006008001000120016018002000exp（x）值案例1（指数），M=1案例1（指数），M=30 100 200 300 400 5000200600800100012001400108002000exp（x）值0 100 200 400 50002006008001000140010800exp（x）值案例2（Weibull），M=1案例2（威布尔）M=30 100 200 300 400 50002004006008001000120014001600018002000Exp（x）值0 100 200 300 400 500020040060080010001200160018002000Exp（x）值案例3（折叠法线），M=1案例3（折叠法线），M=3图2。当γ=0.1时，近似值起作用。22 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.Zhang对于M=1、2、3，阈值首先在狭窄的范围内（5.81、5.82）相对快速地下降，然后对于较大的M，阈值趋于5.805。

在M=9和10之间，差值远小于0.001。图4显示了N=1，…，的ev（N），15，γ=0.05，M=1。随着剩余练习机会的增加（大N），函数ev（N）越高，前一次练习的最佳阈值越低。我们观察到，随着剩余练习次数的增加，连续最佳阈值（用圆圈标记）之间的距离会减少（例如，见用15圈标记的顶值函数曲线）。1 2 4 5.65.655.75.755.85.855.95.95Nthreshold levels M=1米=2米=3米=41 2 3 5 6 8 105.8055.815.8155.82Mthreshold levels图3。对于γ=0.1的情况3，阈值对N和M的依赖性。左侧面板绘制ea*, . . . , ea公司*对于固定M=1，4、右侧面板绘制阈值ea*overM=1，10.5.4. 局限性从公式（4.7）中调用，用于从参数集Γ=（A，B，C，D，E）恢复函数u（n，m）。尤其是系数D乘以exp（Φ（α+M/δ）x）xh，因此该项在ea附近变得非常大*, 即使在ea以上D为零*. 从我们的数值测试来看，它的值可以高达10，而D的值往往很小。回想一下，p：=α+M/δ在M中增加，Φ（p）=Φ（α+M/δ）也增加。此外，最大值h（4.7中的计数指数）随M和N的增加而增加。因此，当Erlang形状参数M和/或练习数N较大时，计算可能会失败。MATLAB或其他具有双精度的软件无法处理涉及这些大量数据的计算。在图5中，我们绘制了由MATLAB计算的情况3的函数ev（N），其中γ=0.1，N=5，M=4（左）和M=5（右）。

虽然Γ中的参数可以立即计算出来，而且不会发生变化，但当小参数乘以非常大的数字并求和时，值函数的计算可能会出现数值不精确的情况。事实上，当M=4时，在最佳多次停车、CANADIZATION和相位型配件230 100 200 300 400 500 700 800 01000 2000 400040005000600080009000100000exp（x）值之间出现不连续性图4。n=1，…，情况3的值函数和最佳阈值（用圆圈标记），15当M=1且γ=0.05.0 50 100 150 200 250 300 350 400050010001500exp（x）值0 50 100 150 200 250 300 350 400-2-101234x 105exp（x）值图5时。限制：在M=4（左）和5（右）的情况下，由MATLAB计算的情况3的值函数γ=0.1。ea公司*和ea*, 当M=5时，误差变得明显，产生了不准确的值函数和保留级别ea*. 这与[28]中给出的观察结果一致（涉及Americanput期权），其中他们的随机化算法需要两倍以上的精度。通过将机器ε设置为[28]中的值以提高精度，可以潜在地解决此问题。然而，这超出了我们论文的范围，因为它需要计算机科学方面的特殊技能，我们的目标是评估在通常的计算环境中可以实现的性能。即使考虑到这种潜在的局限性，解析公式本身也是有用的，因为它揭示了最优多重停止问题解的数学结构。24 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.Zhang这一观察结果还强调了选择M的大值和机器精度的Ngiven限制之间的潜在权衡。然而，我们从表2和表3中看到，对于不同的小值M，近似值保持稳定。