时变参数模型的另一种估计方法

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英文标题：
《An Alternative Estimation Method of a Time-Varying Parameter Model》
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作者：
Mikio Ito, Akihiko Noda, Tatsuma Wada
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  A non-Bayesian, regression-based or generalized least squares (GLS)-based approach is formally proposed to estimate a class of time-varying AR parameter models. This approach has partly been used by Ito et al. (2014, 2016a,b), and is proven to be efficient because, unlike conventional methods, it does not require Kalman filtering and smoothing procedures, but yields a smoothed estimate that is identical to the Kalman-smoothed estimate. Unlike the maximum likelihood estimator, the possibility of the pile-up problem is negligible. In addition, this approach enables us to deal with stochastic volatility models, models with a time-dependent variance-covariance matrix, and models with non-Gaussian errors that allow us to deal with abrupt changes or structural breaks in time-varying parameters.
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中文摘要：
提出了一种基于回归或广义最小二乘（GLS）的非贝叶斯方法来估计一类时变AR参数模型。Ito等人（2014、2016a、b）部分使用了该方法，并证明该方法是有效的，因为与传统方法不同，它不需要卡尔曼滤波和平滑程序，但产生的平滑估计与卡尔曼平滑估计相同。与最大似然估计不同，堆积问题的可能性可以忽略不计。此外，这种方法使我们能够处理随机波动率模型、具有时变方差协方差矩阵的模型以及具有非高斯误差的模型，这些模型允许我们处理时变参数中的突然变化或结构中断。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> An_Alternative_Estimation_Method_of_a_Time-Varying_Parameter_Model.pdf (710.53 KB)

2022-6-23 16:34:48 上传

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关键词：Quantitative Conventional Econophysics Multivariate Applications

时变参数模型Mikio Itoa、Akihiko Nodab、cand和Tatsuma Wadad的另一种估计方法*经济学院，庆应大学，2-15-45 Mita，Minato ku，东京108-8345，日本经济学院，京都三洋大学，Motoyama，Kamigamo，Kita ku，京都603-8555，日本经济观察站，庆应大学，2-15-45 Mita，Minato ku，东京108-8345，日本政策管理学院，庆应大学，5322 Endo，Fujisawa，Kanagawa，252-0882，日本版本：12月22日，2017年摘要：正式提出了一种基于回归或广义最小二乘（GLS）的非贝叶斯方法来估计一类时变AR参数模型。Ito等人（2014、2016a、b）部分使用了该方法，该方法是有效的，因为与传统方法不同，它不需要卡尔曼滤波和平滑程序，但产生的平滑估计与卡尔曼平滑估计相同。与最大似然估计不同，堆积问题的可能性可以忽略不计。此外，这种方法使我们能够处理仓促波动率模型、具有时变方差协方差矩阵的模型以及具有非高斯误差的模型，这些模型允许我们处理时变参数中的突然变化或结构中断。关键词：卡尔曼滤波器；非贝叶斯时变模型、广义最小二乘、向量自回归模型。JEL分类号：C13；C22；C32；C51。*通讯作者。电子邮件：twada@sfc.keio.ac.jp，电话：+81-466-49-3451，传真+81-466-49-34511引言宏观经济学家普遍认为，时变参数模型具有足够的灵活性，能够捕捉宏观经济系统的复杂性质，从而比具有恒定参数的模型产生更好的预测和更好的数据拟合。

在动态计量经济学模型的文献中，模型中参数的不稳定性通常被纳入马尔可夫转换模型（如Hamilton（1989））或结构变化模型（如Perron（1989））。然而，时变模型允许参数随时间逐渐变化，这是时变模型与马尔可夫切换或结构突变模型之间的主要区别。在将时变向量自回归（TV-VAR）模型应用于宏观经济学的文献中，Bernanke和Mihov（1998）考虑了自回归参数随时间变化的可能性。然而，在使用Hansen（1992）的参数一致性检验确认了参数的稳定性后，他们采用了时不变（通常）VAR模型。关于这种建模策略，Cogley和Sargent（2005）发现Hansen（1992）的测试功耗低且不可靠。相反，他们提出了一个误差项具有随机波动性的TV-VAR模型。Primiceri（2005）的一项研究揭示了时变模型的技术方面，尤其是时变参数的贝叶斯估计技术。通常，当需要估计自由参数和不可观测变量时，就会出现用时变参数模型进行指数化的困难。

Primiceri（2005）提出了一个基于贝叶斯马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法的清晰估计程序。包括Primiceri（2005）在内的多项研究声称，贝叶斯方法优于最大似然（ML）方法，因为前者（i）不太可能克服所谓的堆积问题（Sargan和Bhargava（1983））；（ii）不太可能出现计算问题，例如退化的似然函数或多个局部极小值；以及（iii）促进统计推断的发现，如标准误差。然而，贝叶斯和ML方法都需要卡尔曼滤波来估计包含时变参数的不可观测状态向量。Duncan和Horn（1972）、Maddala和Kim（1998）以及Durbin和Koopman（2012）等试图通过传统回归文献的视角来理解卡尔曼滤波。据我们所知，Duncan和Horn（1972）是第一项表明基本状态空间模型的广义最小二乘（GLS）估计器等效地揭示了通过HKALMAN滤波估计的未观测状态向量的研究。同样，Ito等人（2014、2016a、b）的一系列论文将TV VAR、时变自回归（TV-AR）和时变向量误差修正（TV-VEC）模型应用于股票价格和汇率，不使用卡尔曼滤波器，而是使用回归方法。在本文中，遵循Duncan和Horn（1972）的精神，我们阐明了基于回归的方法或基于GLS的方法的统计特性，该方法使用普通最小二乘法（OLS）或GLS代替Kalman平滑器。更准确地说，此后，我们基于GLS的方法包括OLSA和各种GLS。在最近的研究中，Ito等人采用了这种方法。

（2014年，这两种方法的替代方法是Cooley和Prescott（1976），他们不使用卡尔曼滤波，而是使用似然法估计未知参数。2016a，b）评估股票市场和外汇市场的市场效率。在本文中，我们首先表明，TV-AR模型的类别，包括TV-AR、TV-VAR和TV-VEC模型，可以使用GLS方法轻松估计。这些估计实际上等于卡尔曼平滑估计。鉴于Duncan和Horn（1972）或其扩展，这一发现可能并不令人惊讶。此外，有人可能会说，使用卡尔曼滤波器（或平滑器）的主要目的是避免使用GLS所需的大型矩阵系统。在计算机能够处理大型矩阵之前，这一论点相当有力。GLS和Kalman平滑器之间的等价性导致我们产生以下问题：如果GLS产生Kalman平滑估计，那么GLS basedapproach在恢复时变参数方面有多好？这个问题是实用且重要的，因为一般来说，GLS估计量的有限样本属性是未知的。另一个问题与堆积问题的严重性有关。如果状态方程误差方差的最大似然估计为零，即使其真值很小但不为零，也会出现堆积问题。虽然我们提出的方法与ML不同，因为我们没有最大化关于误差方差的似然函数，但我们基于GLS的方法是否能够在与ML相同的程度上支持文件问题，目前还不清楚。还考虑了模型中非独立同分布（i.i.d.）或非高斯误差的可能性。

前者在这一研究领域被反复使用，因为可以合理地假设误差方差具有可能随时间变化的方差。后者在实证研究中很重要，因为它允许我们对时变参数中的突变或结构断裂进行建模，这是Perron和Wada（2009）以及其他人采用的类似策略。综上所述，本研究的贡献如下：我们给出了这类TV-AR模型的Kalman平滑和GLS的等价性。然后，我们证明了即使在误差为零的情况下，GLS也能很好地估计出真实的时变参数。i、 d.是否为高斯分布，前提是主要根据误差方差的相对大小或信噪比（SNR）仔细选择合适的方法来实现可行的GLS（FGLS）。对于ML来说，通常很麻烦的堆积问题可以忽略不计。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了我们的模型及其似然函数。在第3节中，我们分析了这类TV-AR模型基于GLS的方法的统计特性。第4节评估了各种条件下基于GLS的方法，如小信噪比、非i.i.d.误差和非高斯误差。第5节展示了宏观经济数据的应用，包括与Bayesian MCMC方法的比较。第6节总结全文。请注意，Ito等人（2014，2016a）并未正式证明其基于回归的方法生成的估计值与Kalman平滑估计值等效。请注意，我们的模型中有未知参数，例如误差项的方差。在这种情况下，我们必须依赖于可行的GLS（FGLS），它可能并不等同于GLS。2模型在本节中，我们介绍了我们的模型，该模型允许TV-AR模型的类别。

然后，我们证明了我们的模型允许两种不同的矩阵形式。第一种矩阵形式是Turbin和Koopman（2012）的矩阵形式，他们将其用作一种设备，以查找未观测状态向量的Kalman平滑目标。第二种矩阵形式是Maddala和Kim（1998）的扩展版本，我们在本文中使用了它。很明显，这种形式允许我们使用GLS来估计时变参数。然后，我们可以正式证明第一种矩阵形式的Kalman平滑估计与第二种矩阵形式的GLS估计等价，证明GLS估计是Kalman平滑器的替代估计方法。2.1时变ARModelsOur模型的基本状态空间模型由以下公式给出：yt=Ztβt+εt（1）βt=βt-1+ηt，（2）其中ytis是可观测变量的k×1向量；zt是可观测变量的k×m矩阵；βtis是时变参数的m×1向量；和正态分布误差项的εtandηtare k×1和m×1向量，分别具有Ht和Qt的方差协方差矩阵：εtηt~ N,Ht0 Qt.请注意，方差-协方差矩阵Ht和qt允许与时间相关，如在随机波动率模型中。对于βt的初始值，我们假设β~ N（b，P）。如果我们假设带参数已知，则合理利用p之前的差异，因为βt遵循非平稳过程。在这种情况下，P的对角线元素应为belarge数（例如，见Harvey（1989）；库普曼（1997））。或者，当我们假设β是已知的且不是随机的时，我们可以简单地忽略Pas零。方程（1）和（2）可用于各种TV-AR模型。例如，当k=1时，Zt=yt-1生成TV-AR（1）模型。类似地，TV-VAR（1）模型YT=Atyt-1+εtwith At=At-1+ηt通过设置Zt表示=年初至今-1. Ikβt=vec（At）。还可以包括随时间变化的截取。

例如，对于TVAR（1）模型，可以设置Zt=（1，yt-1） ，然后，βt的第一个元素为时变截距。我们在下面给出了模型的两种规格（1）和（2）。第一个规范要求我们推导Durbin和Koopman（2012）解释的Kalman平滑估计。第二个规范与Duncan和Horn（1972）的精神相同，使我们采用了基于GLS的方法。正如我们将看到的，这两种规格都产生了相同的估计值。2.2状态空间模型的模型矩阵公式继Durbin和Koopman（2012）之后，我们采用方程（1）和（2）的矩阵公式。对于t=1，T，我们有一个方程组：YT=Zβ+ε（3）β=C（b*+ η） （4）式中ε~ N（0，H），η~ N（0，Q），带y=yp+1yp+2。。。年初至今, Z=Zp+1 Zp+2。。。0 ZT, β =βp+1βp+2。。。βT, ε =εp+1εp+2。。。εTH类=Hp+1 Hp+2。。。0 HT, C类=I 0···0I I。。。。。。。。。。。。我，我，我,b*=b, P*=P0 00 0。。。。。。0 0 ··· 0, η =ηp+1ηp+2。。。ηT, Q=Qp+1Qp+2。。。0夸脱.与更一般的状态空间模型不同，其中方程（2）有一个包含待估计未知参数的转移矩阵，TVparameter模型的矩阵公式在很大程度上是简化的。例如，矩阵C通常被称为随机行走生成矩阵（如Tanaka（2017）），它是非奇异的，并且矩阵中没有待估计的自由参数。此外，如果Ht和QT是时不变的；也就是说，如果模型中不存在GARCH效应或随机波动性，则矩阵H和Q会大大简化。为简单起见，我们假设bis已知且非随机；因此，P=0。这一假设不会改变我们下面的结论。主要区别在于V ar（β）=C（P*+ Q） Cand V ar（YT）=ZC（P*+ Q） CZ+H=Ohm.

例外情况是，如果使用了差异先验，则计算似然函数，不包括前几个观察值。在这种情况下，两种方法对未知截距参数的估计将不同。2.3具有时不变截距的模型虽然我们的模型（1）和（2）及其矩阵公式（3）和（4）足够灵活，可以允许时变系数，但有时会假设TV Armodel类具有时不变截距。为了推导似然函数，我们在这里修改了我们的模型，以允许时不变截距。假设我们的模型中有一个时不变截距的k×kvector，v。然后，（1）和（2）变成t=v+Ztβt+εt（5）βt=βt-1+ηt.（6）在这种情况下，可以方便地使用矩阵形式推导似然函数。利用截距向量，我们的矩阵形式（3）和（4）模型被修改为y=Iv+Zβ+ε（7）β=C（b*+ η） ，（8）式中，I=hIkIk···Iki，Iki是k×k单位矩阵。与我们假设时变截距（如果存在）未知类似，我们假设时不变截距向量v是未知参数向量。2.4似然函数由于我们假设ε和η为正态分布，我们的矩阵公式（7）和（8）允许我们在给定误差（H和Q）、截距（v）和初值向量（b）的协方差矩阵的情况下，为y编写对数似然函数*) as：对数p（YT | H，Q，v，b*) = -（T- p） klog 2π-日志|Ohm|-（年初至今）- ZCb公司*- （四）Ohm-1（年初至今- ZCb公司*- Iv），（9）其中Ohm = H+ZCQCZ。当我们没有时不变截距时，似然函数进一步简化。即使我们有时变截距，这也是正确的，因为时变截距包含在向量β中。

因此，在这种情况下，我们的对数似然函数变成了slog p（YT | H，Q，b*) = -（T- p） klog 2π-日志|Ohm| -（年初至今）- ZCb公司*)Ohm-1（年初至今- ZCb公司*) .（10） 有趣的是，假设H、Q和b*众所周知，似然函数不涉及我们主要关心的参数向量β。3时变AR模型的估计3.1回归引理和Kalman平滑在说明我们的估计量和Kalman平滑器的等效性之前，让我们先说明当模型由方程（1）和（2）描述时，Kalman平滑器的作用。根据Durbin和Koopman（2012），β的Kalman平滑状态由β的期望给出，条件是与yt的所有观测值相关的信息：eβ=e[β| yt]=e[β]+Cov（β，yt）V ar（yt）-1（年初至今- E【YT】）。（11） 要推导公式（11），请注意，我们假设正常误差。β的方差，给定所有观测值YT，isV ar（β| YT）=V ar（β）- Cov（β，YT）V ar（YT）-1Cov（β，YT）。（12） 注意，卡尔曼平滑估计及其均方误差（MSE）分别由（11）和（12）给出。Durbin和Koopman（2012）将这些方程称为回归引理，该引理导出了β条件分布在YT上的均值和方差，假设β和yti的联合分布为多元正态分布。因此，对于（3）和（4），Kalman平滑估计iseβ=E[β| YT]=Cb*+ CQCZ公司Ohm-1（年初至今- ZCb公司*) , （13） 平滑估计的条件方差（或MSE）isV ar（β| YT）=CQC- CQCZ公司Ohm-1ZCQC，（14）其中Ohm = H+ZCQCZ。利用Cov（β，YT）=V ar（β）Z=cqcz和V ar（YT）=ZCQCZ+H=Ohm, 将它们代入方程（11）和（12）。