会计噪音与CoCos定价

此外，假设在转换之前不能出现默认值。Albul等人（2012年）就是此类结构模型的早期示例；该公司的价值ATI由几何布朗运动（GBM）过程描述，在风险中性度量下，由DAT=uAtdt+σAtdWt给出，带有u和σ常数，W为标准布朗运动。假设无风险利率为常数。该公司还发行两种类型的债券：直接债券和CoCo，均为永久到期债券，均以固定利率支付息票。CoCo在资产价值首次低于某个阈值αc时转换为股权，因此转换时间为τ（αc）=inf{t≥ 0：在≤ αc}。在其成立过程中，CoCo以特定的转换比率λ转换为按市场价格估值的股权，其中λ=1表示CoCo持有人获得的股权的市场价值等于发行CoCo的面值。与此处调查的所有其他论文一样，各种索赔（包括COCO）的价值由索赔贴现未来现金流的风险中性预期给出。模型的简单性允许使用封闭形式的表达式。Pennacchi（2011）引入了一个类似的模型，但也通过添加复合泊松过程将比例跳跃过程添加到了企业的动力学中；资产价值由以下随机过程控制（也在风险中性措施下）dAt=（r- λtkt）Atdt+σAtdWt+（Yqt- 1） dqt。这里λ是泊松过程的风险中性跳跃强度qt，kt=EQ（Y- 1） 是发生泊松跳变时，风险中性度量下的预期比例跳变。该模型不会产生封闭形式的解，因此使用蒙特卡罗模拟来绘制解结构。在Chen等人。

（2013）提出了一个同等参与的模型，其中资产价值过程还涉及aGBM过程，并加入了泊松跳数，区分了市场范围和企业特定的泵。他们主要对下行冲击感兴趣，为了便于处理，他们假设跳跃大小的对数具有指数分布，这允许作者推导出闭合形式的解。COCO转换为股权是在资产价值首次低于某一特定阈值时触发的。与Albul等人（2012年）和Pennacchi（2011年）所述的可变转换股价不同，CoCo持有人在CoCo转换时，每一美元本金可获得固定数量的股份，这是所有CoCo转换为股份的方式，参见Avdiev等人（2017年）。一个有趣的创新是引入了有限到期债务和相关的潜在债务展期问题。这一特征对转换前的风险承担行为有着重大影响：即使股份转换以有利于老股东的速度进行，转换也会导致短期债务的更高展期成本，从而减轻风险承担激励。Pennacchi和Tschistyi（2015）中的模型回归到推动资产价值的直接GBM过程，重点是当转换涉及有利于CoCo持有人（稀释CoCo）或旧股权持有人（非稀释CoCo）的财富转移时，价格均衡的唯一性和事实存在性。学术界普遍支持基于市场价格和稀释经济转化率的转换触发因素，但在Sundaresan和Wang（2015）中，有人认为基于市场价格规定触发因素会导致稀释性COCO的多重价格均衡，而在非稀释性COCO（即。

以有利于旧股东的条件进行转换）。inGlasserman和Nouri（2016）以及Pennacchi和Tschistyi（2015）都表明，在稀释椰子的情况下，价格均衡实际上是唯一的。Pennacchi和Tschistyi（2015）进一步表明，对于永久CoCos（这是实践中最常见的结构），只有不可信的参数值才不存在，即使它们是非稀释的。所有这些模型都有一个共同点，即使用基于市场价值的转换触发器，正如学术文献中广泛建议的那样（参见Haldane（2011）和Pennacchi and Tschistyi（2015），广泛讨论了为什么应将市场价格用于转换触发器）。基于这一观点进行分析的问题在于，无论其价值如何，实际上，至少在欧盟内部，没有任何单一的COCO会遵循这种触发定义。毫无例外，在欧盟内部，触发比率是以会计价值为基础的。欧盟发行了大部分COCO。事实上，在欧盟，基于市场的触发器根据欧洲法律是非法的，参见CRR，或者至少不能算作资本。此外，迄今为止讨论的模型中，没有一个能够真正区分市场估价和基于会计的估价。文献中唯一的例外是Glasserman和Nouri（2012年），其中假设市场和会计师就一家公司是否有偿付能力达成一致意见（如果资产价值超过基于市场价格的债务价值，则假设会计价值也会如此）。但股权市值与股权会计价值之间的比率大致类似于市场对账面（M-to-B）比率，遵循GBM过程。这种方法提供了两个额外的参数用于校准：M-to-B值过程的波动性及其与市场过程的相关性。

这是一次富有想象力的尝试，旨在将M-to-B价值过程内生化，但这第一次尝试将市场价值和会计比率之间的差异内生化存在问题。首先，霍尔丹（2011）对他们的关键假设表示怀疑，即市场和会计估值总是在公司是否有偿付能力上达成一致。一个不太基本但实际上同样严肃的cf。Shreve（2004，第11章）讨论了各种类型的泊松过程。欧洲法律明确规定，为了符合资本目的的额外一级工具的资格，aCoCo工具应具有基于账面价值的机械触发，这需要在前景中明确提及。问题是Glasserman和Nouri（2012）中的方法假设所有过程都可以连续观测。然而，在实践中，监管资本比率仅按季度计算。在本文中，我们解决了这两个缺点。我们假设固定值由GBM驱动，没有跳跃；出于第4节解释的原因，我们省略了跳跃。我们没有像Brigo et al.（2015）那样引入独立的会计流程。相反，我们遵循Du ffeean和Lando（2001）的方法，他们假设企业资产评估的动态演变有一个基本的GBM过程，但规定该过程不可直接观察。相反，嘈杂的信息（“会计报告”）是在离散的时间瞬间（“季度”）出现的。会计报告中的噪声具有一定的持续性是合理的，因此我们假设会计报告中的噪声项是连续相关的。有关详细说明，请参见第4节。除了这些结构模型外，文献中还发现了其他两种方法，信贷衍生工具方法和股权衍生工具方法。

信用衍生工具法是一种简化的方法，其中转换到达强度通过假设存在，随后建模为潜在状态变量或未来转换预测值的函数。这种方法对其可操作性很有吸引力，但很难从经验上加以应用，原因很简单，转换在实践中尚未发生，使得潜变量方法在撰写本文之日起在实践中不稳定。然而，将观察到的COCO信用利差和假定的转换到达强度驱动因素联系起来可能很有用。Wilkens和Bethkens（2014）中描述的第三种方法是股权衍生品方法，即通过直接使用股权衍生品来复制CoCo薪酬。CoCo被视为直接债券加上敲入远期减二元下跌期权。敲入远期的多头头寸对应于在触发事件发生时（即远期敲入时），可能以规定的转换价格购买股票。期权二元下跌的空头头寸反映了一旦触发事件发生，息票支付（部分）的损失。这种方法的好处是，它假设投资者在转换时收到远期；但在anequity converter CoCo中，投资者获得的是股票，而不是远期。当触发事件发生在CoCo到期之前相当长的一段时间时，这是一个显著的差异。这很重要，因为cocos必须永久存在，才有资格成为资本。如果在触发事件发生后的相当长一段时间内，预计股息将很低，这可能不是一个主要缺点。信用衍生工具和股票衍生工具方法的一个更大问题是，它们不可避免地必须假设触发事件以基于市场价格的触发为条件，这是反事实的。

这两种基于衍生工具的方法的第三个问题是，如果要保持分析上的可处理性，就必须假设市场价格为aBlack-Scholes设置，这无法轻松处理共同经营中观察到的厚尾风险，也无法将厚尾风险与实践中观察到的会计报告之间的联系结合起来，参见Kiewiet et al.（2017）。Corcuera等人（2013年）表明，可以通过使用股票价格动态的“微笑一致”指数L'evy过程分析基于股票衍生品的模型来解决这个问题，包括跳跃和厚尾，但这种方法不可避免地要以用基于模拟的解代替分析的闭式解为代价。4模型本节从模型描述开始。然后，我们推导了以会计信息为条件的资产价值密度。最后，我们给出了不同触发事件下COCO估值的结果：监管触发因素（可能转换为股票）和会计触发因素。4.1模型描述和公司债务结构以Vt表示的公司资产价值由几何布朗运动建模，即对于某些u∈ R、 σ>0。我们不会明确地将跳跃纳入资产价值过程，因为这在嘈杂的会计信息框架中没有意义，因为无法区分由资产过程动态引起的大幅价格波动与对会计信息的反应。定义Zt=对数VT，m=u- σ/2，则Z是漂移和波动率σ的漂移布朗运动，即zt=Z+mt+σWt。如前所述，我们将考虑一个框架，其中投资者不观察真实资产价值，而是在已知的观察时间t<t<。（通常每三个月一次）。

在每个观察日，都会收到一份不完善的实际资产价值Vti会计报告，用^Vti表示，其中log^Vti和log Vti被认为是共同正常的。这意味着我们可以将Uti写成：=log^Vti=Zti+Uti，（4.2），其中Uti是正态分布的，独立于Zti。在下文中，我们将使用符号yi：=yti以及Z和U的类似符号。当然，会计噪音U、U……之间存在一定的相关性是合理的。更具体地说，继Du ffe和Lando（2001）之后，假设Ui=κUi-1+ i、 对于某些固定κ∈ R和独立且一致分布, , . . . , 具有平均u的正态分布∈ R和方差σ> 0，且独立于Z。假设公司发行两种类型的债务；直接债务和或有可转换债务。未偿直债的总面值用P表示，在P上，息票按c利率连续支付。此外，直债具有永久到期日，假设资产的对数价值首次低于某个阈值zb时发生违约，因此违约时间由τb=inf{t确定≥ 0:Zt≤ zb}。违约时，分数（1-α） ，对于α∈ （0，1），企业资产价值的一部分损失给破产成本，因此资产价值的一小部分α被收回并分配给优先债务持有人。未偿付COCO的总票面价值用P表示，在该票面价值上，息票按c利率连续支付。此外，或有可转换债券的到期日用T表示。在我们的会计报告框架中，我们将考虑两种不同类型的转换触发因素。将研究的第一类转换触发因素是监管触发因素。银行有义务在接近触发点时向其监管机构报告。

然后监管者会要求转换，这被称为非生存点。当然，这种类型的转换也可能发生在会计报告日期之间。因此，当资产的对数值首次低于转换阈值zc时，即转换时间由τc=inf{t给出，就会触发这种类型的转换≥ 0:Zt≤ zc}。我们将始终假设zb<zc，因此转换总是在违约之前发生，即τc<τb。还有一些CoCo的转换触发完全取决于会计报告。例如，巴克莱银行于2017年3月3日发布的Coco（参见巴克莱银行（2017））。这意味着，当资本比率的报告值低于某个阈值时，就会发生转换，因此转换只能在会计报告日期t、t……之一发生。这对应于转换时间定义为τAc=inf{ti的设置≥ 0:Yti≤ yc}，对于某些阈值yc≥ 如果我们考虑具有监管触发因素的COCO，则投资者在t时可获得的信息由过滤Ht描述，其中Ht=σ（{Yt，…Ytn，1{τc≤s} ，1{τb≤s} ：s≤ t} ），对于tn≤ t<tn+1。在这里，包括这些指标是为了确保在市场上也能观察到是否已经发生了转换或公司在时间t之前被清算。如果我们与会计触发方处理COCO，则市场信息由过滤ht=σ（Yt，…Ytn）来描述，对于tn≤ t<tn+1.4.2以会计信息为条件的资产价值密度在前一小节中解释了我们将考虑两种不同类型的转换触发因素。对于第一个调节触发器，转换时间由过程Z低于某个阈值决定。

为了计算此类触发条件下COCO的市场价值，我们需要能够计算转换概率，前提是市场信息Ht。为了做到这一点，我们需要Z的条件密度，给定市场信息Ht。在本小节中，继Duffee和Lando（2001）之后，我们将推导出该条件密度的表达式，这将在本文的其余部分中重点讨论。考虑t>0，使tn≤ t<tn+1，直到时间t，即τc>t，才发生转换。本节的目标是找到给定Ht的Zt条件分布的表达式，我们将用f（t，·）表示。本节中的大多数结果可在Du ffe andLando（2001）的文章中找到，但我们将很快考虑它们，以说明特定密度是如何推导的，我们将提供一些额外的显式公式。考虑相关随机向量及其实现的以下符号：Z（n）=（Z，Z，…，Zn）及其实现Z（n）=（Z，Z，…，Zn），Y（n）=（Y，Y，…，Yn）及其实现Y（n）=（Y，Y，…，Yn），U（n）=Y（n）- Z（n）及其实现u（n）=y（n）- z（n）。如前所述，目标是计算f（t，·），给定Y（n）和τc>t的条件密度。为此，我们将首先计算报告时间tn的条件密度，我们将用gtn（·| Y（n），τc>tn）表示。为此，我们将首先介绍一些功能。首先，我们需要一个概率ψ（z，x，σ）的表达式√t） 最小值{Zs:s≤ t} >0，条件是Z=Z>0和Zt=x>0。

这个表达式在下面的引理中说明，也可以在杜菲和兰多（2001）的论文中找到。引理4.1概率ψ（z，x，σ√t） 最小值{Zs:s≤ t} >0，以Z=Z>0和zt=x>0为条件，由ψ（Z，x，σ）给出√t） =1- 经验值-2zxσt.考虑交集{Z（n）的条件概率≤ z（n）}∩{τc>tn}给定Y（n）。我们用bn（·| Y（n））及其偏导数w.r.t.z（n）表示。注意，（Zn）n∈Nand（Un）n∈Nare-Markov过程并用pZ（zn | zn）表示-1） 和pU（un | un-1） 实现z（n），u（n）时各自的跃迁密度。此外，用pY（yn | y（n）表示-1） ）给定Y（n）的条件密度-1） =y（n-1). 因此，可以（参见Du ffe和Lando（2001））以递归方式写入bn（z（n）| y（n）），bn（z（n）| y（n））=ψ（zn-1.- zc，zn- zc，σ√田纳西州- 田纳西州-1） pZ（zn | zn-1） pU（yn- zn | yn-1.- 锌-1） bn公司-1（z（n-1） | y（n-1） ）pY（yn | y（n-1)). （4.3）现在可以得出Z（n）的条件密度gtn（·| Y（n），τc>tn）由gtn（Z（n）| Y（n），τc>tn）=bn（Z（n）| Y（n））R（zc，∞)nbn（z（n）| y（n））dz（n）。（4.4）应注意的是，方程式（4.4）分母中的积分没有明确的表达式，但请注意一个重要事实，即我们知道密度达到规范化常数。现在，时间tn处zn的临界条件密度由gtn（zn | y（n），τc>tn）=Z（zc，∞)n-1gtn（z（n）| y（n），τc>tn）dz（n-1). （4.5）现在我们找到了报告时间tn的条件密度，我们可以用它来确定一般时间t>0的条件密度f（t，·）。为此，我们需要在第一份会计报告到达之前的某个时间获得Zt的Ht条件密度。