非线性市场中美式期权的无套利定价

在下文中，只有过程K在唯一解（Y，Z，K）中的性质对于发行人的RBSDE（19）（以及，同样地，过程K在唯一解（Y，Z，K）中的性质对于持有人的RBSDE（30））是至关重要的，因此对其进行了明确说明和详细分析。定义3.3。我们说Vi（Ca）∈ R是发行人的最优停止问题的值，Caifvi（Ca）=supτ∈TEg，i0，τ（Xτ）。A停车时间τ*∈ T称为发行人最优停止问题的解ifvi（Ca）=bvi（Ca），其中bvi（Ca）：=Eg，i0，τ*（Xτ*) = 最大τ∈TEg，i0，τ（Xτ）。（20） 假设3.3。发行人的最优停止问题的价值vi（Ca）存在，并且满足vi（Ca）=Y。假设3.4。停止时间τi：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xt}是发行人最优停止问题的（不一定是唯一的）解决方案，因此bvi（Ca）=Eg，i0，τi（Xτi）。备注3.2。El Karoui等人在（19）中对发生器g和过程X和S的交替假设下获得了与假设3.2–3.4相关的各种结果。[15] ，Grigorova等人【20】和Quenez和Sulem【45】。虽然S=Wand A=0很常见，但当发电机g满足可测量的Lipschitz型条件时，扩展到更一般的情况也是可行的（关于无反射的BSDE的情况，请参见[39]）。本节的第一个主要结果是以下定理。美式期权的非线性定价17定理3.1。满足假设3.1–3.4，并将（Y、Z、K）作为发行人反映的BSDE（19）的唯一解决方案。

那么以下断言是有效的：（i）如果Eg，ihas是st r ict比较属性，那么pr，i（x，Ca）=ps，i（x，Ca）=Y- x=Eg，i0，τi（xτi）- x=英属维尔京群岛（加利福尼亚州）- x（21）和（p′，Д′，τ′）=（Y- x、 Z，τi）是发行人对Ca的复制策略，（ii）如果Eg，ih是严格比较性质，则发行人对Caequalspi（x，Ca）=Y的可接受价格- x=英属维尔京群岛（加利福尼亚州）- x、 证明。定理3.1的证明分为三个步骤，分别表述为命题3.1、3.2和3.3。我们首先分析发行人的最低超额成本（请注意，假设3.4未在提案3.1中假设）。3.1上的提案。如果假设3.1–3.3得到满足，例如，作为比较属性，则发行人的最低超额成本得到了明确定义，并且满足ps，i（x，Ca）=vi（Ca）- x=Y- x、 （22）其中（Y，Z，K）是反射BSDE（19）的唯一解决方案。证据我们首先证明，ps，i≤ Y- x、 必须表明，对于初始值p′：=Y- x、 如果Yi是从反映的BSDE（19）中获得的，我们可以找到发行人的超边缘策略，即存在交易策略Д′∈ ψ（x+p′，A），使得Vt（x+p′，Д′）≥ Xtfor allt公司∈ [0，T]。为此，我们设置（p′，ν′）=（Y- x、 Z）其中（Y，Z，K）是反映BSDE（19）的唯一解决方案。那么，一方面，值过程V=V（x+p′，ν′）是以下SDE的唯一强解（根据假设3.1（ii）），其中初始值V=Yandt过程Z被执行vt=-g（t，Vt，Zt）dt+ZtdSt+dAt。（23）另一方面，如果（Y，Z，K）解出了反射的BSDE（19），那么过程Y=Y也可以看作是以下SDEdeYt的唯一强解=-g（t，eYt，Zt）dt+ZtdSt+dAt- dKt，（24），其中，再次给出了初始值ey=yan以及过程Z和K。因此，从引理3.1和g=g=g，我们推断Vt≥eYt=所有t的YT∈ [0，T]。

自年初至今≥ Xtfor allt公司∈ [0，T]，我们得出结论，Vt≥ XT适用于所有t∈ [0，T]。因此，（x+p′，ν′）=（Y，Z）是Anisuer的超边缘策略，因此ps，i≤ Y- x、 现在我们将显示ps，i≥ Y- x、 让我们考虑一个任意的p∈ 存在ν的R∈ ψ（x+p，A），使得（p，Д）满足（SH）。如果我们能证明x+p≥ Y、 然后不等式，我≥ Y- x将由下限ps，i的定义来确定。为此，我们观察到vτ（x+p，ν）≥ 每个τ的Xτ∈ T因为，根据定义2.2，我们得到了Vt（x+p，ν）≥ Xtforall t公司∈ [0，T]。因此，通过将映射Eg，ito应用于两侧并使用Eg，i的比较性质，我们得到x+p=Eg，i0，τ（Vτ（x+p，ν））≥ 例如，i0，τ（Xτ）。自τ起∈ T是任意的，我们的结论是x+p≥ supτ∈TEg，i0，τ（Xτ）=vi（Ca）=Y，其中第二个等式来自假设3.3。因此，ps，i≥ Y- 因此我们得出结论，等式，i=Y- xis有效。最后，从证明的第一部分，我们知道对于p′=Y- X存在交易策略Д′=Z∈ ψ（x+p′，A），使得Vt（x+p′，Д′）≥ XT适用于所有t∈ [0，T]所以Y- x个∈Hs，i（x）。因此，我们得到ps，i（x，Ca）=ps，i（x，Ca）=Y- x。考虑命题3.1证明中引入的解（Y，Z，K）和对（Y，Z）。在下一个结果中，我们检验了发行人在3.2上对Ca.18 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiPropositi复制策略的存在性。如果假设3.1–3.4得到满足，例如，ihas the strict comparison property y，那么以下断言是有效的：（i）配对（y- x、 Z）是发卡机构对CAA的复制策略，τiis是发卡机构对该对的中断事件时间（Y- x、 Z），（ii）发行人的最低超边际和复制成本满足pr，i（x，Ca）=ps，i（x，Ca）=Y- x=Eg，i0，τi（xτi）- x=英属维尔京群岛（加利福尼亚州）- x、 （25）证明。

从引理2.7和命题3.1中，我们已经知道Y- x=ps，i=ˇps，i≤ pr，iandthus建立等式pr，i（x，Ca）=ps，i（x，Ca），足以表明交易策略（p′，ν′）=（Y- x、 Z）是发行人的超级边缘策略，也是anissuer对Ca的复制策略。我们首先注意到，τi的定义以及过程x和Y的正确连续性产生了等式xτi=Yτi。因此，我们得到了Y=bvi（Ca）=例如，i0，τi（xτi）=例如，i0，τi（Yτi），其中前两个等式遵循假设3.3和3.4。现在我们将证明Kτi=0。由于（Y，Z，K）解出了反射的BSDE（19），我们还知道Y=Yτi+Zτig（u，Yu，Zu）du-ZτiZudSu- Aτi+Kτi。因此，Y=Eg，i0，τi（Yτi+Kτi），因此Eg，i0，τi（Yτi）=Eg，i0，τi（Yτi+Kτi）。从Eg，i的严格比较性质，我们得出结论，Kτi=0，因此，对于所有t∈ [0，τi]，Yt=Y-Ztg（u，Yu，Zu）du+ZZUDSU+At。最后，利用等式V（Y，Z）=Y和SDE（23）解的假设唯一性（见假设3.1（ii）），我们得到等式V（Y，Z）=Yton[0，τi]，因此，特别是Vτi（Y，Z）=Yτi=Xτi。因此，我们表明τi是发行人对（Y）的盈亏平衡时间- x、 Z）。因此，我们已经表明，对（p′，ν′）=（Y，Z）是发行人对Ca的复制策略。建立定理3.1并由此提供发行人估值问题解决方案的最后一步取决于证明发行人的可接受价格也是发行人的最大公平价格。3.3的提案。如果假设3.1–3.4得到满足，例如，i具有严格的比较性质，则发行人的可接受价格pi（x，Ca）得到了明确定义，pi（x，Ca）=bpf，i（x，Ca）=pr，i（x，Ca）=ps，i（x，Ca）。（26）证明。必须证明pr，i等于Hf，i（x），或者，等效地，对于每种类型的pr，i<p∈ Ha，i（x）（回想一下，Ha，i（x）是Hf，i（x）的补码）。

为此，我们将用矛盾来争论。假设pr，i∈ Ha，i（x），因此存在一个策略∈ ψ（x+pr，i），使得（pr，i，Д）满足（AO）。那么，对于每个τ∈ T，PVτ（x+pr，i，Д）≥ Xτ= 1和PVτ（x+pr，i，Д）>xτ> 现在我们取τ=τi。通过将映射Eg，ito应用于两侧，我们得到x+pr，i=Eg，i0，τiVτi（x+pr，i，Д）> 例如，i0，τi（Xτi）=X+pr，i，其中最后一个等式来自命题3.2。这是一个矛盾，因此我们已经表明pr，iis不在Ha，i（x）中。回想一下，Ha，i（x）=[pa，i，∞) 或Ha，i（x）=（pa，i，∞) 我们声称，事实上后一种情况是正确的。事实上，根据假设3.1、引理2.4和命题3.2，我们得到了pr，i=ps，i=pa，iand，因为pr，iis不在Ha，i（x）中，我们得到了Ha，i（x）=（pa，i，∞).显然，pr，i<p每p∈ Ha，i（x），因此pr，i等于Hf，i（x），这意味着setHf，r，i（x）是非空的。（26）中的所有等式现在遵循命题2.1。美式期权的非线性定价193.4发行人的盈亏平衡时间在第3.4节中，我们假设满足定理3.1（ii）的假设，并且合同在时间0时以发行人可接受的价格pi=pi（x，Ca）进行交易。根据定义2.15以及命题3.2和3.3，我们知道存在一对（Д′，τi）∈ ψ（x+π，A）×T使得（π，Д′）满足（SH）和（π，Д′，τi）满足（BE），特别是，Д′=Z和π=Y-x、 其中（Y，Z，K）是反射BSDE（19）的唯一解决方案。我们的下一个目标是提供与发行人复制策略相关的所有发行人盈亏平衡时间的详细特征（pi，Д′）。为了建立定理3.2，这是第3.3节中的第二个主要结果，我们需要以下附加假设。假设3.5。

BSDE解决方案的以下扩展比较属性适用：如果forj=1，2（dYjs=-gj（s、Yjs、Zjs）ds+ZjsdSs- dHjs，Yjτ=ξj，其中τ∈ T，ξ≥ ξ、 g（s、Ys、Zs）≥ g（s、Ys、Zs）表示所有s∈ [0，τ]和过程H- 他的不减损，然后是Ys≥ Ysfor每s∈ [0, τ].备注3.3。已知BSDE比较定理的合适版本，因此可以检查在几个非线性市场模型中是否满足假设3.5（例如，参见Nie和Rutkowski[39]中分析的明确样本）。在说明第3.3节中的主要结果之前，让我们回顾一下与非线性评估相关的以下众所周知的定义（参见，例如，Peng【42，43】）。定义3.4。我们说一个G-适应的c\'adl\'ag过程Y是[0，T]上的一个Eg，i-上鞅（分别是一个Eg，i-鞅）≥ 例如，is，t（Yt）（分别，Ys=Eg，is，t（Yt）），对于0≤ s≤ t型≤ T定理3.2。让假设3.1–3.5得到满足，并且Eg、ihold的严格比较属性。然后，对于过程Д′=Z∈ ψ（x+pi，A）和任意τ′∈ T以下断言是等效的：（i）τ′是发行人对该对的盈亏平衡时间（pi，ν′）∈ R×ψ（x+pi，A），（ii）三元组（pi，Д′，τ′）满足（NA），（iii）等式Vτ′（x+pi，Д′）=xτ′成立，（iv）xτ′=Yτ′，Kτ′=0，因此Y是[0，τ′]上的一个Eg，i鞅，（V）τ′是发行人最优停止问题的一个解决方案，即，Eg，i0，τ′（xτ′）=bvi（Ca）。停止时间τi=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xt}是发行人最早的盈亏平衡时间（pi，Д′）。证据回想一下，如果Д′=Z，则该对（pi，Д′）是发行人对Ca的超边缘策略（参见命题3.1的证明）。因此，很明显，断言（i）、（ii）和（iii）是等价的。（三）=> （四）。

从命题3.1的证明中，我们已经知道Vt（x+pi，ν′）≥ 年初至今≥ Xtforall t公司∈ [0，T]因此，特别是不等式Vτ（x+pi，ν′）≥ Yτ≥ Xτ对每个τ保持不变∈ T由于我们假设（iii）成立，我们有Vτ′（x+pi，ν′）=xτ′，因此Vτ′（Y，ν′）=Yτ′=xτ′（回想定理3.1（ii）中的pi=Y- x） 。因此，仍需证明Kτ′=0。由于过程V=V（Y，ν′）满足SDE（23），它是一个Eg，i-鞅，因此我们得到以下等式Eg，i0，τ′（Yτ′）=Eg，i0，τ′Vτ′（Y，ν′）= Y、 （27）一方面，对于任何固定的∈ （0，T）过程y：=例如，is，T（Yt），s∈ [0，t]求解以下BSDE（d'Ys=-g（s，\'Ys，\'Zs）ds+\'ZsdSs+dAs，\'Yt=Yt。20 E.Kim，T.Nie和M.Rutkowski另一方面，如果（Y，Z，K）解出反射的BSDE（19），那么对于任何固定的[0，T]，对（eY，eZ）=（Y，Z）是BSDE的唯一解（deYs=-g（s、eYs、eZs）ds+eZsdSs+dAs- dKs，eYt=Yt，其中K是预定的递增过程。因此，考虑到BSDE解的扩展比较性质（见假设3.5），不等式Eg，is，t（Yt）≤ Y全方位折叠∈ 因此Y是一个Eg，i-超鞅。此外，与上述讨论类似，通过使用BSDE解的扩展比较性质，可以表明，对于任何θ∈ T，不等式Eg，is，θ（Yθ）≤ YSHOLD适用于所有s∈ [0, θ]. 现在，我们将显示每0≤ s≤ τ′Eg，is，τ′（Yτ′）=Ys。相反，让我们假设平等（28）不能成立。然后，利用Eg，i的严格比较性质，我们得到Eg，i0，τ′（Yτ′）=Eg，i0，s（Eg，is，τ′（Yτ′）<Eg，i0，s（Ys）≤ Y、 这显然与（27）相矛盾，因此（28）是有效的。对于每0≤ s≤ t型≤ τ′，从（28），我们有Eg，it，τ′（Yτ′）=Yt，然后Eg，is，t（Yt）=Eg，is，t（Eg，it，τ′（Yτ′））=Eg，is，τ′（Yτ′）=Ys，其中最后一个等式也来自（28）。

我们得出结论，Y是[0，τ′]上的Eg，i-鞅，因此等式Kτ′=0。（四）=> （iii）。根据假设，Yτ′=Xτ′，Kτ′=0，因此反射的BSDE（19）在[0，τ′]（dYt=-g（t，Yt，Zt）dt+ZtdSt+dAt，Yτ′=Xτ′。对于t，上述BSDE也可以用正向方式表示∈ [0，τ′，dYt=-g（t，Yt，Zt）dt+ZtdSt+dAt，其中给出了初始值和过程Z。类似地，财富过程V：=V（x+pi，ν′）=V（Y，Z）求解以下SDE，对于t∈ [0，T]，dVt=-g（t，Vt，Zt）dt+ZtdSt+dAt，初始条件V=Y。从上述SDE的解的唯一性，我们推断t的Vt=yt∈ [0, τ′]. 特别是Vτ′（x+pi，ν′）=Yτ′=xτ′，如所需。（四）=> （v） 。从[0，τ′）上Y的i-鞅性质出发，我们得到了Eg，i0，τ′（Yτ′）=Y。根据假设3.3，我们得到了Y=vi（Ca），因此等式Eg，i0，τ′（Xτ′）=vi（Ca）=bvi（Ca），这意味着τ′是发行人最优停止问题的解。（五）=> （四）。根据条件（v）和假设3.3，我们得到等式Y=Eg，i0，τ′（Xτ′）。现在，我们将使用与隐含证明（iii）中类似的论点=> （四）。首先，过程'Xs：=例如，is，t（Xτ′）解出以下BSDE（d'Xs=-g（s，’Xs，’Zs）ds+’ZsdSs+dAs，’Xτ′=Xτ′，并且它也满足‘X=Y。其次，如果（Y，Z，K）解出反射的BSDE（19），则对（eY，eZ）=（Y，Z）是BSDE的唯一解（deYs=-g（s、eYs、eZs）ds+eZsdSs+dAs- dKs，eYτ′=Yτ′≥ Xτ′，美式期权的非线性定价21，其中K是一个预先确定的递增过程，显然，eY=Y。BSDE解的扩展比较性质产生不等式Eg，it，τ′（Yτ′）≤ Ytfor all t公司∈ [0, τ′]. 因此，ifYτ′≥ Xτ′和Yτ′6=Xτ′，则Eg、igivesY的严格比较性质≥ Eg，i0，τ′（Yτ′）>Eg，i0，τ′（Xτ′）=Y，这是一个矛盾。这表明Yτ′=Xτ′。

与含义证明（iii）相同=> （iv）我们认为Y是[0，τ′]上的一个Eg，i-鞅，因此等式Kτ′=0是满足的。最后的断言仍然有效。根据假设3.4，τiis是发行人最优停止问题的解决方案，因此，从第（v）部分来看，τiis是发行人的盈亏平衡时间（pi，ν′）。根据（iv），对于（pi，ν′）的任何盈亏平衡时间，我们得到Xτ′=Yτ′。τinow的定义表明，这是Ca发行人最早的盈亏平衡时间。3.5持有人通过RBSDE的可接受价格我们现在从持有人的角度解决定价、对冲和行权问题。相应的非线性评估，例如，- A、 这是通过持有人的sBSDEyt=ζs+Zstg（u，yu，zu）du的解决方案确定的-ZstzudSu+As- 此后，（29）用Eg表示，称为持有者的g-评估。为简洁起见，我们用x表示：=Vb（x）+xh持有者的相对报酬，并假设过程x是平方可积的。假设3.6。上部障碍物x的反射BSDE（dyt=-g（t，yt，zt）dt+ztdSt- dAt+dkt，yT=xT，yT≤ xt，RT（xt- yt）dkct=0，kdt=（yt+At）1{yt-=xt公司-},（30）有一个唯一的解（y，z，k），其中k是一个G-可预测的非减量过程，使得k=0和k=kc+kd是其唯一分解为连续和跳跃分量。定义3.5。我们说vh（Ca）∈ R是Caifvh（Ca）=infτ的holder最优停止问题的值∈TEg，h0，τ（xτ）。A停车时间τ*∈ 如果vh（Ca）=vh（Ca），其中vh（Ca）：=例如，h0，τ，则T称为holder最优停车问题的解*（xτ*) = 最小τ∈TEg，h0，τ（xτ）。（31）通过对非线性最优停止问题的独立分析，可以证明以下假设是正确的。尽管我们在这里采用了上述假设3.7和3.8中所述的属性，但值得一提的是，Grigorova等人最近的结果支持了这些属性。

[20, 21].假设3.7。持有人最优停车问题的值vh（Ca）存在，且满足vh（Ca）=y。假设3.8。停止时间τh：=inf{t∈ [0，T]| yt=xt}是holder\'s临时停止问题的解决方案。美国合同的一个显著特征是持有人的合理行使时间，在我们的框架中定义如下。定义3。6、我们说τ∈ T是CAI持有人的合理行使时间，如果以持有人的最大超额成本bps交易的合同，h=bps，h（x，Ca）在时间0，并且存在策略ψ∈ ψ（x- bps、h、，-A） 使得Vτ（x- bps，h，ψ）≥ xτ。22 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski事实上，我们将在bpr，h（x，Ca）=bps，h（x，Ca）相等的设置中使用定义3.6。此外，如果满足BSDE与驱动器g的严格比较特性，则不等式Vτ（x- bpr，h，ψ）≥ xτ可替换为等式Vτ（x- bpr，h，ψ）=xτ，因此，合理的锻炼时间也是持有者的盈亏平衡时间。以下定理描述了美国合同持有人定价问题解决方案的性质Ca定理3.3。让假设3.1和3.6–3.8得到满足，并让（y、z、k）成为持有人反映BSDE的唯一解决方案（30）。那么以下断言是有效的。（i） 如果例如，hh为st r ict比较属性，则bpr，h（x，Ca）=bps，h（x，Ca）=x- y=x- 例如，h0，τh（xτh）=x- vh（Ca）。（32）三元组（p′，ψ′，τ′）=（x）给出的CAI的holder复制策略- y、 z，τh）和τhis aholder的合理运动时间。（ii）如果Eg，hh为严格比较性质，则持有人对Caequalsph（x，Ca）=x的可接受价格- y=x- vh（Ca）。证据与发行人的情况一样，我们将证明分为三个步骤，分别为第3.4、3.5和3.6条。