非线性市场中美式期权的无套利定价

它们可以被视为主张3.1、3.2和3.3的持有人对应物，尽管它们的陈述和证明与发行人的情况不同。注：假设3.8在下一个结果中没有假设。值得强调的是，theequalityps，h（x，Ca）=x- 根据提案3.4的假设，ydoes不一定成立，持有人的最大超额成本bps，h（x，Ca）不一定确定。3.4的提案。如果满足第3.1条和第3.6-3.7条中的假设，且例如，hh为比较性质，则pS，h（x，Ca）≤ x个- vh（Ca）=x- y、 （33）其中（y，z，k）是反射BSDE（30）的唯一解。证据我们将显示PS，h≤ x个- y、 根据supremum的定义，显示x就足够了- y≥ p代表所有p∈ Hs，h（x）。根据Hs，h（x）的定义，我们知道，对于anyp∈ Hs，h（x），存在一对（ψ，τ）∈ ψ（x- p-A） ×T，使得Vτ（x- p、 ψ）≥ xτ。Eg，hgivesx的比较性质- p=Eg，h0，τVτ（x- p、 ψ）≥ Eg、h0、τ（xτ）和thusx- p≥ infτ∈三甘醇，h0，τVτ（x- p、 ψ）≥ infτ∈TEg，h0，τ（xτ）=vh（Ca）=y，其中最后一个等式来自假设3.7。因此，我们已经证明了ps，h（x，Ca）≤x个- y=x- vh（Ca）。我们现在将给出一些条件，特别是在这些条件下，持有人的最大超额收益和复制成本得到了很好的定义，并且我们证明了它们是相等的，即bpr，h（x，Ca）=bps，h（x，Ca）。3.5的提案。如果假设3.1和3.6–3.8得到满足，例如hh为严格比较性质，则：（i）（x）- y、 z，τh）是持有者对Ca的复制策略，（ii）持有者的最大复制成本是明确的，并且满足BPR，h（x，Ca）=bps，h（x，Ca）=x- y=x- vh（Ca）=x- 例如，h0，τh（xτh）。证据我们已经知道x- y≥ps，h≥ pr、h（见（12）和（33））。

因此，为了证明第（i）部分和第（ii）部分，需要证明，如果（y，z，k）是反射BSDE（30）的唯一解，那么（p′，ψ′，τ′）=（x- y、 z，τh）是持有者的复制策略。财富过程V=V（x- p′，ψ′）满足SDEdVt=-g（t，Vt，zt）dt+ztdSt- dAt，（34）美式期权的非线性定价23，其中给出了初始值V=Y和过程z。τ的定义和过程x和y的右连续性确保xτh=yτh，因此y=vh（Ca）=Eg，h0，τh（xτh）=Eg，h0，τh（yτh），其中第二个等式是假设3.8的结果，因此我们看到y=Eg，h0，τh（yτh）。因此，利用Eg的严格比较性质，使用类似于命题3.2中等式Kτi=0推导中所用的简单参数，我们得到了等式Kτh=0。由于[0，τh]上的kt=0，因此[0，τh]上的反射BSDE（30）可以视为正向SDEdyt=-g（t，yt，zt）dt+ztdSt- dAt，（35），其中给出了初始值y=Vand和过程z。从SDE（34）解的唯一性来看，V=y在[0，τh]上。因此Vτh=yτh=xτh，因此三重态（p′，ψ′，τ′）=（x- y、 z，τh）确实是持有者的复制策略。为了完成定理3.4的证明，我们需要检验持有者可接受价格ph（x，Ca）的存在性。这将在证明以下命题时完成。3.6的提案。如果假设3.1和3.6–3.8得到满足，例如hh是严格的比较性质，那么持有人的可接受价格ph（x，Ca）是明确的，ph（x，Ca）=pf，h（x，Ca）=bpr，h（x，Ca）=bps，h（x，Ca）。证据我们将首先展示bpr，h∈ Hf，h（x）。根据（6）和（7），证明每一个p的BPR，h（x，Ca）>p就足够了∈ Ha，h（x）。为此，我们用矛盾的方式进行辩论。让我们写下ebp=bpr，h（x，Ca）。

假设bp∈ Ha，h（x），因此存在（bД，bτ）∈ ψ（x- bp）×T使得（bp，bД，bτ）满足（AO′），即PVbτ（x- bp，bД）≥ xbτ= 1和PVbτ（x- bp，bД）>xbτ> 通过应用映射，例如，h，我们得到x- bp=Eg，h0，bτVbτ（x- bpr，h，bД）> Eg，h0，bτ（xbτ）≥ infτ∈TEg，h0，τ（xτ）=Eg，h0，τh（xτh）=x- bp，其中最后一个等式来自命题3.5。这是一个矛盾，因此bpr，h（x，Ca）/∈Ha，h（x）。通常，Ha，h（x）=(-∞,pa，h（x，Ca）]或Ha，h（x）=(-∞, pa，h（x，Ca））和weargue，后者发生。事实上，从假设3.1、引理2.5以及命题3.4和3.5来看，我们有bpr，h（x，Ca）=bps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca），因此，由于bpr，h（x，Ca）不是inHa，h（x），我们得出结论，Ha，h（x）=(-∞, pa，h（x，Ca））。同样清楚的是，bpr，h（x，Ca）>p代表p∈ Ha，h（x），因此bpr，h（x，Ca）属于Hf，h（x），因此Hf，r，h（x）6=. 我们利用命题2.2完成了证明。3.6持有人合理行使时间我们通过分析持有人合理行使时间的性质得出结论。注意，在定理3.4中，我们在定理3.3的断言下工作。因此，已知等式bpr，h（x，Ca）=bps，h（x，Ca）成立，因此停止时间τ∈ T是持有人的合理行使时间，如果合同以持有人的最大复制成本bpr进行交易，h=bpr，h（x，Ca）在时间0，并且存在策略ψ∈ ψ（x- bpr，h，-A） 使得Vτ（x- bpr，h，ψ）=xτ。因此，当基础市场模型为线性时，我们在此处理美国期权持有人合理行使时间的经典概念的自然延伸。

让我们注意到，在任何完全线性市场中，尽管不是在一般非线性市场中，任何持有人的合理行权时间对于发行人来说也是一个盈亏平衡的时间（特别是，等式τh=τiis满足）。回想一下，G-适应的c\'adl\'ag过程Y是[0，T]上的Eg，h-次鞅（分别是Eg，h-鞅），如果Ys≤ 对于所有0，分别为Eg、hs、t（Yt）（Ys=Eg、hs、t（Yt））≤ s≤ t型≤ T24 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski以下结果给出了所有持有人合理行使时间的特征，并描述了最早和最新的合理行使时间。当然，这类结果在经典最优停止问题的现有文献中是众所周知的（例如，见Kobylanskia和Quenez[36]）。对于非线性最优停止问题，感兴趣的读者还可以参考Umitrescu【11】和Grigorova等人【20，21】。定理3.4。满足假设3.1和3.5–3.8，并严格比较EG、hhold的性质。特别是，设（y，z，k）为反射BSD E（30）的唯一解。然后叠加时间τ′∈ T是holder的合理行使时间，当且仅当满足以下条件：（i）y是[0，τ′]上的Eg，h-鞅，即kτ′=0，（ii）等式yτ′=xτ′成立。最早持有者的合理行使时间等于τh：=inf{t∈ [0，T]| yt=xt}。此外，如果过程k是连续的，则‘τh：=inf{t∈ [0，T]| kt>0}是最新持有人的合理行使时间。证据让τ′∈ T为满足条件（i）和（ii）的任何停车时间。由于yτ′=xτ′，kτ′=0，我们看到三元组（y，z，k）在[0，τ′]（dyt=-g（t，yt，zt）dt+ztdSt- dAt，yτ′=xτ′，也可以正向写入，用于所有t∈ [0，τ′，dyt=-g（t，yt，zt）dt+ztdSt- dAt，其中给出了初始条件和过程z。

现在我们取ψ=z，我们记得bpr，h（x，Ca）=x- y（见提案3.6）。因此，财富过程V=V（x- bpr，h（x，Ca），ψ）满足以下所有t∈ [0，T]dVt=-g（t，Vt，zt）dt+ztdSt- dAt，初始条件V=y。从上述SDE的解的唯一性，我们推断Vt=yt≤ XT每t∈ [0, τ′]. 特别是，Vτ′=yτ′=xτ′，因此τ′是Ca持有人的合理行使时间。现在让我们假设τ′是Ca持有人的合理行使时间。从定义3.6开始，p=bpr，h（x，Ca）=x- 存在一个策略ψ∈ ψ（x- p-A） 使得vτ′（x- p、 ψ）≥ xτ′。Eg，hyieldsy=x的比较性质- p=Eg，h0，τ′Vτ′（x- p、 ψ）≥ Eg，h0，τ′（xτ′）≥ 例如，h0，τ′（yτ′），（36），其中最后一个不等式自xτ′起有效≥ yτ′。对于任何固定的t∈ （0，T），过程\'ys:=例如，hs，T（yt）求解[0，T]上的以下BSDE（d\'ys=-g（s，\'ys，\'zs）ds+\'zsdSs- dAs，\'yt=yt，如果（y，z，k）解出了反射的BSDE（30），则y满足[0，t]上的以下BSDE（dys=-g（s，ys，zs）ds+zsdSs- dAs+dks，yt=yt。利用假设3.5中假设的扩展比较性质，我们得到了ys≤ \'ys=所有s的Eg、hs、t（yt）∈ 因此y是Eg，h-次鞅。此外，利用BSDE解的扩展比较性质，可以证明对于任何θ∈ 我们有Eg，hs，θ（yθ）≥ ysfor所有美式期权的非线性定价25s∈ [0, θ]. 根据（36）和Eg，h的严格比较性质，我们推导出对于每0≤ s≤ τ′Eg，hs，τ′（yτ′）=ys。（37）的确，假设这不是真的。那么Eg，hwould yieldEg，h0，τ′（yτ′）=Eg，h0，s（Eg，hs，τ′（yτ′））>Eg，h0，s（ys）的严格比较性质≥ y、 这与（36）相矛盾。我们现在声明0≤ s≤ t型≤ τ′，我们有Eg，hs，t（yt）=ys。

为了证明这一点，我们观察到（37）产生Eg，ht，τ′（yτ′）=yt和thusEg，hs，t（yt）=Eg，hs，t（Eg，ht，τ′（yτ′））=Eg，hs，τ′（yτ′）=ys，其中最后的等式也来自（37）。因此，我们看到y是[0，τ′]上的Eg，h-鞅，kτ′=0。特别是，我们有Eg，h0，τ′（yτ′）=yan，因此，使用（36），我们得到了=Eg，h0，τ′（xτ′）=Eg，h0，τ′（yτ′）=Eg，h0，τ′Vτ′（x- p、 ψ）. （38）通过将该等式与不等式yτ′相结合≤ xτ′和Eg，h的严格比较性质，我们得出yτ′=xτ′。因此，我们表明，如果τ′是一个合理的运动时间，那么条件（i）–（ii）是有效的。让我们证明τhis是一个合理的锻炼时间。根据τhand的定义，即y和x的右连续性，我们推断yτh=xτh。等式kτh=0已在命题3.5中确定。因此，τhs满足条件（i）–（ii），因此它是持有人的合理行使时间之一，也是最早的行使时间，因为yt<XT对于所有∈ [0，τh）。在另一个假设下，仍需证明τhis是最新的合理运动时间，即过程k是连续的，因此k=kc。我们需要证明yτh=xτh。对于任意ε>0，存在δ∈ [0，ε]使得k'τh+δ>0。SinceRT（xt-yt）dkt=0，从过程y和x的右连续性以及不等式x≥ y、 我们得到等式y′τh=x′τh。显然，对于t，kt=0∈ [0，τh），我们也有k，τh=0。这表明，τ是持有者的理性运动时间之一。此外，如果τ′，它是自∈ T是这样的：P（τ′>’τh）>0，然后P（kτ′>0）>0，因此等式kτ′=0不能成立。然而，请注意，如果未假设kis的连续性，则可能会发生k‘τh 6=0，在这种情况下‘τh无法成为合理的锻炼时间（例如，如果k=kd，则此类属性始终为真）。备注3.4。

根据定理3.4的证明（尤其参见方程（38）），不等式vτ′（x- p、 ψ）≥ xτ′和Eg，h的严格比较性质，我们推断当等式bpr，h（x，Ca）=bps，h（x，Ca）成立时，对于定义3.6给出的任何合理运动时间，我们都有Vτ（x- bpr，h，ψ）=xτ，这意味着合理的行使时间也是持有者的盈亏平衡时间。很明显，持有者的盈亏平衡时间是一个合理的行使时间。因此，当等式bpr，h（x，Ca）=bps，h（x，Ca）成立时，则不等式Vτ（x- bpr，h，ψ）≥ 定义3.6中的xτ可用等式Vτ（x）代替- bpr，h，ψ）=xτ。再次值得注意的是，这一观察结果与经典完整线性市场模型（如Black和Scholes模型）中美国期权持有人合理行使时间的标准定义完全一致。承认T.Nie和M.Rutkowski的研究得到了DVC研究桥接支持多代理金融博弈的非线性套利定价的支持。聂先生的工作得到了国家自然科学基金（编号11601285）和山东省自然科学基金（编号ZR2016AQ13）的资助。26 E.Kim，T.Nie和M.RutkowskiReferences【1】Aazizi，S.和Oukine，Y.：强包络和强超鞅：反射后向随机微分方程的应用。2016年工作文件（arXiv:1112.0255v2）。[2] Baadi，B.和Oukinine，Y.：当障碍物在总体过滤中不连续时，反映BSDEs。ALEA–拉丁美洲概率与数理统计杂志14（2017），201–218。[3] Bayraktar，E.和Yao，S.：具有无界障碍物的二次反射BSDE。随机过程及其应用122（2012），1155–1203。[4] Bensoussan，A.：关于期权定价理论。

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