金融市场的多重分形分析

σt=α+αt建模的系列σt-1+···+αqt-q=α+qXi=1αit-i、 （5）其中α>0和αi≥ 0表示i>0。考虑到变量XT和yt之间系数b的回归，剩余量的GARCH（p，q）模型由[97]yt=bxt+tt |ψt给出~ N（0，σt）σt=ω+αt-1+···+αqt-q+βσt-1+···+βpσt-p=ω+qXi=1αit-i+pXi=1βiσt-i、 （6）其中p是GARCH项σ的顺序，q是ARCH项的顺序。在财务方面，通常将GARCH模型应用于收益时间序列，公式为（4），σ为b y（6）。在ARCH、GARCH和EGA-RCH模型中，波动率的自相关以指数速率衰减。相反，综合模型的波动性具有长记忆性。实证分析表明，没有长期波动性的GARCH型m模型很难描述金融时间序列的多重分形性质，而其他具有长记忆成分的模型可以部分捕捉明显的多重分形，但这是对综合模型的虚假定义【103–112】。因此，基准经济模型未能捕捉到市场复杂性的一个重要维度，即金融市场的多重分形性质[113114]。1.4. 多重分形的引入在许多不同的复杂系统中观察到多重分形【115–121】，包括金融市场【113】。“多重分形”一词是弗里希和帕里西在1983年创造的【122】，这一点得到了备受尊敬的分形之父Benoit B.Mandelbrot【123】的证实【124】。多重分形的概念可以追溯到Novikov[125]和Mandelbrot[126127]在流体力学湍流研究中提出的。

另一方面，G rassberger和Procccia的两个小组通过R’enyi熵将分形维数、信息维数和相关维数推广为广义维数的统一表达式【128–130】，其最初目的是描述非线性动力学中的奇怪吸引子【131】。Halsey等人还对多重分形理论的早期发展做出了开创性的贡献，并将其应用于分形生长过程[132]。多重分形有两种等价描述，即通过函数τ（q）或函数f（α），其中q是矩的阶数，τ（q）是质量指数函数，α是奇点强度，f（α）是奇点谱。这两种表示通过勒让德变换（Legendre transform）[122132]重新关联，使得α=dτ（q）/dq（7a）和f（α）=qα- τ（q）。（7b）关于τ（q）表示，还有两个附加的等价函数dqa和H（q）。DQ函数表示由DQ=limq′确定的广义维数→qτ（q′）（q′）- 1） ，（8）而H（q）由H（q）=limq′定义→qτ（q′）+1q′（9），并对应于广义Hurst指数。这些量及其关系的详细含义将在后面阐明。在湍流研究中，有两种经典的多重分形分析方法，即结构函数法和配分函数法[122125-127133-136]。由于动荡与金融市场之间的惊人相似性，尽管这种类比有其局限性[137]，但金融时间序列的多重性质吸引了很多人的兴趣[17，18]。结构函数方法在经济物理学多重分形分析的第一部分中占主导地位【138】。自Kantelhardt等人的开创性工作以来。

2002年[139]，多重分形去趋势函数分析很快成为金融时间序列以及其他时间序列的主导方法。2008年，Podobnik和Stanley引入了非平稳时间序列的去趋势互相关分析[140]，我们中的一位（周卫兴）将其扩展为分析多重分形时间序列[141]。这些里程碑式的工作引发了对两个时间序列同时进行多重分形分析的第三波浪潮，以及许多不同类型的多重分形分析的发明。在金融市场中，风险是所有金融活动的中心焦点。大型金融动荡，尤其是2008年爆发的金融“tsunam is”[42]，通常是因为巨大的经济危机，随之而来的是风险感知和监管的剧烈变化[40，41]。识别、衡量和预测金融风险在风险管理中具有重大的理论和实践意义。经济物理学家已经表明，多重分形分析为研究市场风险提供了另一种方法。事实上，大奇点强度表征了小波动的行为，而小奇点强度表征了大波动。因此，很少有人尝试运用多重分形分析来量化市场效率、衡量金融波动性等。本综述对金融时间序列的多重分形分析进行了广泛的调查。在第2节和第3节中，我们从非单变量和多变量时间序列的多重分形分析的不同方法开始。我们还回顾了其他领域发明的方法，因为它们在经济物理学中具有潜在的应用价值。我们在第4节讨论了重要的数学和经济物理模型，这些模型可以加深我们对金融市场多重分形性质的理解。

第5节讨论了与多重分形研究中使用的算法相关的重要性质和微妙问题，其中许多经常被研究人员忽视，导致结果不可靠。在第6节中，我们对金融时间序列的经验多重分形分析的文献进行了广泛的调查，全面证实了金融市场中多重分形的存在。我们提出了明显有效的多重分形这一重要问题，并讨论了引起ap-ParentMultifractity的不同来源。第8节回顾了金融时间序列多重分形性质的不同应用。在第9节中，我们讨论了存在的问题，并对未来的研究提出了展望。虽然本综述侧重于金融市场的多重分形分析，但其大部分内容适用于所有其他领域的多重分形时间序列分析。此外，这篇综述的大部分内容可以有益地阅读，以激发对表面和高维al空间s中度量的多重分形分析。多重分形分析2.1。分区函数法（MF-PF）2.1.1。广义维数和质量指数考虑嵌入几何支撑F中的度量m，其密度为˙m（t′）a t位置t′。定义为Rt′∈F˙m（t′）dt′=1。t′附近的测度为˙m（t′）dt′。利用经典盒子计数法的思想，我们使用大小为s的盒子覆盖几何支撑F。tth盒子B（s，t）ism（s，t）=Zt′中的综合测度m（s，t）∈B（s，t）˙m（t′）dt′，（10）式中，对于任何s，pt˙m（s，t）=1。F的分形维数可确定如下dF：=d=lims→0lnPt[m（s，t）]ln 1/s，（11），其中术语pt[m（s，t）]给出了覆盖支架F所需的非空盒数。注意，分形维数也称为相似维数或容量维数。

很明显，如果没有度量值分布在b箱中，则不应计算bo x。在处理财务时间序列的大多数情况下，我们的D=1。在D的经验测定中，我们将pt[m（s，t）]与对数-对数标度中的s绘制对比，并将适当标度范围内线性部分的斜率视为其估计值。测度的信息熵或香农熵可定义为[142143]I（s）=-Xtm（s，t）ln[m（s，t）]，（12），可以确定信息维度Das遵循σ=lims→0I（s）ln（1/s），（13），由Balatoni和R’enyi于1956年引入[144145]，用于研究奇异吸引子[146147]。用于描述度量的第三个指数是关联维数[148149]。引入关联维数最初是为了研究长度为N:C（s）=limN的时间序列的关联积分的标度行为→∞NNXi，j=1H（s- |~xi- ~xj |）≈Xt[m（s，t）]，（14），其中H（x）是Heaviside函数。关联维数定义如下：ν=lims→0lnPt[m（s，t）]ln 1/s.（15）这三个维度Df、σ和νc可以整合到一个通用维度的框架中【128–130】。我们将q阶R'enyi熵定义为[15 0，1 51]Iq（s）=跛行→第一季度- plnXt[m（s，t]p，（16），广义维数为[152]Dq=lims→0Iq（s）ln（1/s）=lims→0跛行→qp公司- 1lnχ（p，s）ln s=lims公司→0便士- 1lnχ（p，s）ln s，q，1lims→0Ptm（s，t）ln[m（s，t）]ln s，q=1（17），其中χ（q，s）=Xt[m（s，t）]q（18）是测量的q阶划分函数。很容易验证D=Df、D=σ和D=ν。实际上，我们可以根据公式（17）计算dqa。对于给定的q，我们绘制不同盒子大小s的Iq（s）与ln s，并在pro per缩放范围内进行线性回归，以获得斜率Dq。我们可以将公式（17）改写如下（q- 1） Dq=lims→0lnχ（q，s）ln s（19）或χ（q，s）~ sτ（q），（20），其中τ（q）=（q- 1） Dq。

（21）在实践中，我们可以根据式（20）计算τ（q）。对于给定的q，我们可以计算不同盒子大小的χ（q，s），并在适当的标度范围内对lnχ（q，s）与ln s进行线性回归，以获得τ（q）。或者，τ（q）可以从Dqusing公式（21）转换而来。最近，Xiong和Shang提出了一种方差加权配分函数方法，并建立了相应的多重分形函数之间的关系[153]。数值模拟表明，方差加权配分函数方法与标准配分函数方法相比具有更好的性能。2.1.2. 划分函数的尺度行为基于盒计数思想，几何支撑被划分为大小为S的非重叠盒。根据以下关系定义框B（S，t）中的局部奇点强度α【1 32】：m（S，t）~ sα，（22），可能不同于f或不同的b牛。设Ns（α）表示奇点强度在[α，α+dα]范围内的盒数。因此，集合的分形维数根据吨（α）=ρ（α′）s确定-f（α′）dα′（23），其中ρ（α）是奇点强度的密度，f（α）是所考虑盒子的分形维数，通常称为多重分形谱或奇点谱。可以使用局部和逐点奇异性方法直接从公式（22）中获得α，从公式（23）中获得f（α）[154–156]。将公式（22）插入配分函数（18）并将和重写为α上的积分，我们得到χ（q，s）=Zsqα′ρ（α′）s-f（α′）dα′=Zρ（α′）sqα′-f（α′）dα′。（24）假设ρ（α）非零且非奇异。因此，它为积分的引导行为提供了一个恒定的比例因子。

由于s很小，根据最速下降法，积分将由α（q）的值决定，该值使得功率qα′- f（α′）最小。因此，我们将α′替换为α（q），α（q）由极端条件d定义qα′- f（α′）/dα′型α′=α（q）=0（25a）和Dqα′- f（α′）/dα′2α′=α（q）>0。（25b）然后，等式（24）变成χ（q，s）~ sqα-f（α）。（26）从式（25）可以看出，f′（α）=d f（α）/dα=q（27a）和f′（α）<0，（27b），这意味着多重分形谱f（α）是一个凹函数，其在点t（α（q），f（α（q））的斜率是q。比较式（20）和式（26），我们得到τ（q）=qα- f（α）。（28）取式（28）对q的导数，我们得到τ（q）dq=α+qdαdq-d f（α）dαdαdq=α。（29）重写公式（28）和公式（29），我们得到α=dτ（q）/dq（30a）和f（α）=qα- τ（q）。（30b）这表明f（α）是τ（q）的图例再变换[122132]。因此，在获得τ（q）后，我们可以使用公式（30a）计算α（q），使用公式（30b）计算f（α）。为了限定多重分形测度，我们可以使用（q，τ）或（α，f），它们是等价的。2.1.3. 直接确定多重分形谱从正则角度来看，我们可以直接获得f（α）函数[157，15 8]。我们可以定义正则测度u（q，s，t）=[m（s，t）]qPt[m（s，t）]q.（31）奇异强度α（q）及其谱f（q）可以通过对数-对数尺度的线性回归s，使用以下方程计算：α（q）=lims→0Ptu（q，s，t）ln[m（s，t）]lns，（32a）和f（q），f（α（q））=lims→0Ptu（q，s，t）lnu（q、s、t）ln s.（32b）为了计算α（q），我们可以再次绘制ptu（q，s，t）ln[m（s，t）]st ln s，确定标度范围并通过线性回归获得斜率。f（q）函数可以根据等式（32b）类似地确定d。组合等式。（20） 和（32），我们可以很容易地验证公式（28）。质量指数函数τ（q）c可通过公式（28）获得。2.1.4.

逆配分函数和逆公式对于金融波动率，我们可以进一步定义逆配分函数[159]。我们从使用高频波动时间序列的配分函数方法的n图开始。表示{I（t）：t=1，···，t}金融资产的价格时间序列。最新分辨率下的对数检索n r（t）由d byr（t）=ln I（t）计算- ln I（t- 1） ，（33）式中，t=2，···，t。根据v（t）=| r（t）|，绝对收益率被用作波动性的p曲线。（34）图3（a）展示了标准普尔500指数1分钟波动性时间序列的一段，其中，根据分区函数法，原始波动性时间序列被划分为N个大小相同的方框，S=T/N。方框大小的选择应确保每个大小的方框数为整数，以覆盖整个时间序列。1 200 400 600 800 100000.511.522.53x 10-3tv（t）1 200 400 600 800 100000.20.40.60.81su1su2su3su4su5tU（t）s=2001 200 400 600 800 100000.20.40.60.81s1us2us3us4us5utU（t）u=0.210110210310410510610-1010-710-410-1102sχ（s，q）1/（q）-1） q=-3q=-1q=0q=2q=4q=610-310-210-110010110210-1410-1010-610-2102uχ+（u，p）1/（p-1） p=-3p=-1p=0p=2p=4p=6-6.-4.-2 0 2 4 6 8 10-10-6.-22610p，qτ（q），τ+（p）τ+（p）-τ[-1](-p） τ（q）-τ+[-1](-q） 图3：（彩色在线）基于分区函数法和逆分区函数法的高频金融波动率多重分形分析。时间序列包含标准普尔500指数1982年1月1日至1999年12月31日1分钟波动率的约170万个数据点。（a） 波动性时间序列的一段{v（t）：t=1:1000}。（b） 累积波动率度量U（t）表示已执行标度s的u测定值。（c）累积波动率度量U（t）表示已执行标度s的Sk测定值v

（d） [χ（s，q）]1/q的相关性-1是q=-3，q=-1、q=0、q=4和q=6。曲线垂直平移系数为0.001、0.01、0。1英寸、10英寸和100英寸以获得更好的可见性。实线是缩放范围内的幂律函数。（e） [χ+（u，p）]1/p的依赖性-1在阈值u上。为清晰起见，曲线已垂直平移。实线是数据的最佳拟合。（f） 测试金融波动率的反转公式。我们定义了任何t′的连续波动率度量u（t′）∈ （t- 1，t]byu（t′）=v（t）PTt=1v（t），（35），其中t=1，···，t。波动率测度的累积函数为sU（t）=Ztu（t′）dt′。（36）图3（a）中v（t）的函数U（t）如图3（b）所示。大小为s的每个框中的测量值由un（s）=U（ns）确定- U（ns- s） ，（37），其也在图3（b）中示出。通常，以离散方式计算度量值，un（s）=nsXt=（n-1） s+1u（t），（38），其中t/s必须为整数，以避免边缘效应（有关更多信息，请参阅第5.1.2节）。当使用contin uousmeasure u（t）时，s值可以有更多的选择，因为N可以是ny整数。对于给定阶数q，直接配分函数χq（s）c可以通过使用χq（s）=NXn=1[un（s）]q来估计。（39）在图3（d）中，我们绘制了[χq（s）]1/q-1是不同q值的s函数。通过对标度范围内的数据点进行幂律回归，可以获得标度指数函数τ（q），标度范围约为三个数量级。我们从图3（f）中发现，τ（q）是q的非线性函数，证实了挥发度测量中存在多重分形。现在我们来研究逆分配函数。对于每个阈值u，可以通过jxj=1sj=inf{t：U（t）>ju}，（40）依次确定退出时间序列{sj（u）：j=1，··，j}，（其中j=1/u是一个整数）。

从图形上看，图3（c）显示了如何确定退出时间sj。反向测量定义为归一化d出口时间u+j（u）=sj/T，（41），反向配分函数可确定如下：χ+（u，p）=JXj=1hu+j（u）ip，（42）图3（e）显示了[χ+p]的依赖性(v） ]1/（p-1） 作为阈值的函数v表示不同的p值。幂律标度可以观察到大约三个数量级：χ+p（u）~ uτ+（p）。（43）可通过幂律回归s获得标度指数functionτ+（p）至标度范围内的数据点，如图3（f）所示。τ+（p）函数的非线性证实了在退出时间度量中存在多重分形。出现了一个重要问题，涉及τ（q）和τ+（p）之间的关系。Mandelbrot和Riedi从数学上证明了不连续多重分形测度和连续多重分形测度的合法反演公式[160161]。Roux和Jensen独立地证明了经典二项式测度的正反标度指数之间的精确关系【162】。Xu等人提供了多项式测度反演公式的简单“证明”，如下所示。设u为[0，1]上的概率测度，其积分函数M（t）=u（[0，t]）。然后，其逆m值可由u+=m+（s）=（inf{t:m（t）>s}定义，如果s<11，如果s=1，（44），其中m+（s）是m（t）的逆函数。如果u是自相似的，则关系u=Pni=1piu（m-1i（·））成立，其中mi是具有比例收缩率ri的相似图∈ （0，1）和Pni=1pi=1，其中pi>0。measu reu的多重分形谱是τ的勒让德变换f（α），其h由生成函数nxi=1pqir定义-τi=1。