(45)可以表明【160161】逆测量eu+也与比率r+i=平面和p+i=ri自相似,其中多重分形谱f+(α+)是τ+的勒让德变换,其隐含定义为nxi=1(p+i)p(r+i)-τ+= 1. (46)很容易验证以下反演公式成立(τ(q)=-pτ+(p)=-q、 (47)紧接着是两个等效的可测试公式(τ(q)=-τ+[-1](-q) τ+(p)=-τ[-1](-p) ,(4 8)其中上标[-1] 表示反函数运算符。图3(f)验证了反演公式(48)适用于标准普尔500指数的高频波动时间序列【159】。我们还可以将正、逆奇异强度与正、逆奇异谱联系起来。Fro mEq公司。(47),我们有α(q)=dτ(q)dq=-数据处理-dτ+(p)=α+(p)。(49)结合等式(47)、等式(49)和勒让德变换,我们得到了f(α)=qα- τ = -τ+(p)α+p=α[-τ+(p)+pα+]=f+(α+)/α+=αf+(1/α)。(50)这些结果的严格证明也可以在参考文献中找到。[160, 161]. 很容易得到正广义维数和逆广义维数之间的关系[164]:(p=-(q)- 1) D(q)D+(p)=q/[1+(q- 1) D(q)],(51),其中D+(p)是反向的广义维数函数。2.1.5. 整体平均在金融时间序列的多重分形分析中,几乎所有研究都集中于单个时间序列,很少有例外。我们可以进一步研究单个资产的原始时间序列集合【165】。发展集合平均法是为了确定扩散受限聚集的多重分形维数[166–170],并挖掘出一个由复杂分形维数量化的精细离散h-I-rarchy[171]。我们将q上移和退火质量指数τquen(q)和τann(q)定义如下,Dlnχq(s)E~ -τquen(q)lns,(52)lnDχq(s)E~ -τann(q)ln s,(53),其中角括号h·i表示所有时间序列的集合平均值。
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