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楼主: nandehutu2022
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[量化金融] 金融市场的多重分形分析 [推广有奖]

何人来此 在职认证  发表于 2022-6-23 18:16:41 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
(45)可以表明【160161】逆测量eu+也与比率r+i=平面和p+i=ri自相似,其中多重分形谱f+(α+)是τ+的勒让德变换,其隐含定义为nxi=1(p+i)p(r+i)-τ+= 1. (46)很容易验证以下反演公式成立(τ(q)=-pτ+(p)=-q、 (47)紧接着是两个等效的可测试公式(τ(q)=-τ+[-1](-q) τ+(p)=-τ[-1](-p) ,(4 8)其中上标[-1] 表示反函数运算符。图3(f)验证了反演公式(48)适用于标准普尔500指数的高频波动时间序列【159】。我们还可以将正、逆奇异强度与正、逆奇异谱联系起来。Fro mEq公司。(47),我们有α(q)=dτ(q)dq=-数据处理-dτ+(p)=α+(p)。(49)结合等式(47)、等式(49)和勒让德变换,我们得到了f(α)=qα- τ = -τ+(p)α+p=α[-τ+(p)+pα+]=f+(α+)/α+=αf+(1/α)。(50)这些结果的严格证明也可以在参考文献中找到。[160, 161]. 很容易得到正广义维数和逆广义维数之间的关系[164]:(p=-(q)- 1) D(q)D+(p)=q/[1+(q- 1) D(q)],(51),其中D+(p)是反向的广义维数函数。2.1.5. 整体平均在金融时间序列的多重分形分析中,几乎所有研究都集中于单个时间序列,很少有例外。我们可以进一步研究单个资产的原始时间序列集合【165】。发展集合平均法是为了确定扩散受限聚集的多重分形维数[166–170],并挖掘出一个由复杂分形维数量化的精细离散h-I-rarchy[171]。我们将q上移和退火质量指数τquen(q)和τann(q)定义如下,Dlnχq(s)E~ -τquen(q)lns,(52)lnDχq(s)E~ -τann(q)ln s,(53),其中角括号h·i表示所有时间序列的集合平均值。

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大多数88 在职认证  发表于 2022-6-23 18:16:44 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
退火指数对具有异常值χq(s)的系综的rar e样本更为敏感,而受影响指数更具有系综典型成员的特征【172】。系综平均法下的研究在于考虑到人们对古代仪器的n个“系综”的动力学进行多次测量。整体平均法提供了另一种方法来衡量除市场指数以外的个别股票的市场风险。它也不同于直接平均许多个人股票的风险度量。此外,虽然该方法最初是为配分函数法开发的,但它对其他多重分形分析方法的扩展是很有前景的。2.2. 结构功能方法2.2.1。直接结构函数(MF-SF)湍流场的另一个重要统计量是速度增量的结构函数[133134]。已经进行了经典实验来测量结构函数及其非线性标度行为【135】。这种非线性标度行为也称为多重分形[122136]。结构函数法也被用来研究金融时间序列[18、138、173]。qth或der结构函数在文献中也称为qth或der高度-高度相关函数【174175】。考虑一个时间序列{X(i):i=1,····,N}。时间尺度上的增量或创新定义为X(i,s)=X(i)- X(i)- s) 。(54)对于金融资产,X(i)是对数价格,并且X是持续时间s的时间间隔内的收益。qth orderstructure函数定义为增量分布的qth阶矩:K(q,s)=h|X(i,s)| qih | X(i)| qi=N-sPNi=s+1 | X(i)- X(i)- s) | qNPi[X(i)]q。

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kedemingshi 在职认证  发表于 2022-6-23 18:16:47 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
(55)我们强调q≥ 0表示湍流中的时间序列【135】、金融领域【138176】和其他领域,bec a使用X(i,s)可以证明负阶矩没有定义。当q=0时,我们有K(0,s)≡ 1,它与尺度s无关。当n q=2时,K(2,s)与自相关函数成正比~ hX(i)X(i- s) i【138176】。对于自相似时间序列,我们期望haveK(q,s)~ sζ(q),sqH(q),(56),其中H(q)是广义Hurst指数。标度函数为e d,即[177]τ(q)=ζ(q)- 1=qH(q)- 1.(57)当q=0时,我们得到τ(0)=-1.(58)在实践中,对于每个固定的q,我们用不同的s值计算K(q,s)值,并在适当选择的标度范围内,对ln s进行ln K(q,s)的线性最小二乘回归[smin,smax],以获得qH(q)a和τ(q)。它允许τ(q)=qH(q)- 1=Psln sPsln K(q,s)- NPsln s ln K(q,s)Psln s- NPs(ln s)- 1(59)我们可以通过勒让德变换进一步确定奇异函数α(q)和奇异谱f(α)。当X(t)为单分形时,H(q)=H为常数。当X(t)具有多重分形性质时,H(q)随q减小。根据K(q,s)的定义,我们得到了ln K(q,s)dq=K(q,s)dK(q,s)dq=PtvqdPtvqdq=Ptvqln vPtvq,(60),其中p是s+1的和≤ t型≤ v>0时的T。表示k——标度关系的比例系数(56)。很明显,k>0。结合式(56)和式(57),我们得到了τ′(q)k ln s=d[τ(q)+1]k ln sdq=d ln k(q,s)dq=Ptvqln vPtvq。(61)设g(x)=x ln x。

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kedemingshi 在职认证  发表于 2022-6-23 18:16:50 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
当x时,g′(x)>0∈ [1/e+∞) 当x时g′(x)<0∈ (0,1/e)。图4显示了基于结构函数法对道琼斯工业平均指数(DJIA,1896-2015)对数价格X(t)的每日时间序列进行多重分形分析的结果。1895 1915 1935 1955 1975 1995 2015345678910tX(t)10010110210310410-1510-1010-5100sKq(s)q=1q=2q=3q=4q=5q=60 1 2 3 4 5 60.30.40.50.6qH(q)0 1 2 3 4 5 6-1.-0.500.511.5qτ(q)0 1 2 3 4 5 60.10.20.30.40.50.6qα(q)0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.200.20.40.60.811.2αf(α)图4:(彩色在线)基于结构函数法对道琼斯工业平均指数(DJIA,1896-2015)对数价格X(t)的每日时间序列进行多重分形分析。(a) 道琼斯工业平均指数的每日价格时间序列。(b) 对于不同的q值,结构函数K(q,s)对时滞s的幂律依赖性。(c) 广义Hurst指数H(q)作为q的函数。(d)标度指数函数τ(q)。(e) 奇异强度函数α(q)。(f) 多重分形奇异谱f(α)。在一项开创性的研究【173】中,M¨uller等人提出了一项财务数据的统计分析,记录了q=1和q=2的比例律,尽管他们没有提到“多重分形”、“多尺度”或“结构函数”。他们的分析包括3年内的日内价格和15年内四种外汇即期汇率(德国马克/美元、日元/美元、瑞士法郎/美元、美元/英镑)的日内价格以及3年内的黄金价格(XAU/美元)。其他经济学家也采用了类似的一阶和二阶矩分析方法【178】。2.2.2. 多重分形波动分析(MF-FA)波动分析方法是提取时间序列赫斯特指数的经典方法【179】,在经济物理学中得到了广泛应用【180–184】。

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何人来此 在职认证  发表于 2022-6-23 18:16:53 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
函数可以如下计算,Z(2,s)=σ(s)=D[X(i,s)- h类X(i,s)i]E~ s2H。(62)其中H是波动分析(FA)指数,即近似的赫斯特指数。Hurst Exponenth值大于0.5 m意味着时间序列是相关的,当H<0.5时,时间序列是反相关的,当H=0.5时,时间序列是不相关的。可以将方程(62)中的波动分析扩展到更高阶,如下所示[185–187],Z(q,s)=h|X(i,s)- h类X(i,s)i | qi~ sζ(q)。(63)这使我们能够理解市场动态的多重分形性质。标度指数ζ(q)和广义赫斯特指数H(q)之间的关系可用公式(57)描述。当q=2时,H=H(2)是式(63)中表示的赫斯特指数p。利用勒让德变换,我们可以得到奇异强度α及其谱f(α)。2.2.3. 逆统计和逆结构函数根据配分函数近似中的逆测度[161188],Jensen[189]研究了退出时间或首次通过时间的时刻。对于给定增量十、 使用定义(54),退出时间尺度s时间i由s(i,十) =inf{s+:X(i,s+)≥ 十} ,(64)这是波动超过阈值所需的最短时间十、≥ 第一次通过时间在国内有重要用途。例如,Cho和Frees采用它来构造一个渐近无偏的挥发度估计器【190】。他们认为,自然波动率估值器关注的是价格变化的程度,而基于首次通过时间的“时间”估值器关注的是价格变化的速度【190】。逆统计也与持久性概率有关【191–194】。

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mingdashike22 在职认证  发表于 2022-6-23 18:16:56 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
变量s(i,十) 衍生数量在金融领域有着自然的解释,如提款后的“恢复时间”,是衡量金融策略和对冲基金绩效的标准方法的一部分。这解释了逆向统计学在金融领域以及其他领域(如心率和心脏病的研究)中得到了广泛应用【195】。如果X(i)是布朗运动,则s的分布解析为伽马分布【196197】:Pr(s)=√πas3/2exp-像(65)其中a与十、 由于资产价格不是布朗运动,Simonsen等人[198]提出了广义移位Gamm a分布PR(s)=νΓδνβ2δ(s+s)δ+1exp“-βs+s!ν#,(66)具有幂律尾Pr(s)~ s-(δ+1). 方程式中的伽马分布。(65)在ν=1、δ=1/2、s=0和β=a时恢复。他们分析了DJIA(189年5月26日至2001年6月5日)的小波过滤对数日收盘价,发现δ≈ 0.5很好地拟合了数据。尽管有研究表明δ可以偏离0,但对于不同市场的指数和股票的统一时间序列而言,这一观察结果似乎无处不在【199–201】。5 [202, 203]. 对于交易层面的逐笔交易数据,尾部指数可以大于0.5,如2002年伦敦证券交易所(LSE)电子市场中的五支高流动性股票(阿斯利康、葛兰素史克、劳埃德TSB集团、壳牌和沃达丰)以及1998年全年的德国马克兑美元汇率(δ=1.4)[204]。Simonsen等人[198]认为,最容易描述的首次通过时间*是最佳投资期限,并发现*使用缩放X为幂律,s*~ (十) γ,(67),其中γ≈ 1.8,偏离布朗运动的γ=2。

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大多数88 在职认证  发表于 2022-6-23 18:16:59 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
研究发现,在大多数市场中,γ<2适用于规则间隔样本,而在发达股市中,γ值大于新兴市场[199205]。对于抽样不均匀的逐点数据,据报告γ>2[206]。对于资产价格,自然也会考虑到价格以一定回报贬值所需的最短时间十、≤ 0.然后,时间i的退出时间s由[207]s(i,十) =inf{s+:X(i,s+)≤ 十} 。(68)大量研究表明,收益的最优投资期限比损失的最优投资期限长,这被称为损益不对称[205,20 7–215]。已经提出了几种模型来再现增益-损失不对称性【216–218】。然而,也有一些资产没有表现出明显的损益不对称性【202,219】。基于离散小波变换的f频率空间分析表明,增益损失不对称主要是由价格序列的低频成分引起的,如果去掉低频成分,不对称就会消失【218】。或者,发现增益损失不对称性是由tim e系列中的非皮尔逊型自相关引起的【220】。此外,如果时间依赖结构被时间序列破坏,则增益-损失不对称性消失【221】。损益不对称可以与杠杆效应相关,如下所示。首先回顾杠杆效应是这样一个事实,即在大幅负回报后,波动性显著增加,而n则会回落,通常在时间上呈指数级增长【222–224】。相反,在正回报后,波动率没有显著变化。而因果关系是从(负)收益率到未来波动率的关系,而不是相反,因为波动率的变化不会对未来的预期收益产生任何可测量的变化。

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mingdashike22 在职认证  发表于 2022-6-23 18:17:02 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
杠杆效应可以解释为亏损对企业风险感知的影响,随着亏损导致权益与债务比率下降,这种影响会增加[222]。这也反映了投资者的行为反应,他们在亏损后疯狂地重新评估irrisk风险敞口,并重新调整投资组合,导致价格大幅波动。杠杆效应允许我们解释以下两个方面:(i)固定百分比价格下跌的平均时间与相同价值的价格收益之间的不对称性(例如,道琼斯工业平均指数损失5%为10天,收益5%为20天),以及(ii)指数正目标与负目标等待时间的不对称性较强,指数的不对称性较弱或不存在个人股[218221]?考虑固定的dr op目标为-5%。这种下跌是通过连续的日收益率实现的,负收益率大于正收益率。当某一天出现负损失时,杠杆效应会导致下一天收益的幅度增加。由于我们计算的等待时间是以累计跌幅-5%为条件的,因此由于杠杆效应,以下收益率将趋于负值,且幅度更大。相比之下,对于获得+5%正收益的等待时间,大多数每日走势都是积极的,如果价格路径上没有或没有微弱的负收益,杠杆效应就会减弱或消失。因此,当一系列日收益率处于正水平(+5%)时,由于日收益率的幅度很小,达到正回报率(+5%)的平均等待时间大于f或负回报目标。

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mingdashike22 在职认证  发表于 2022-6-23 18:17:06 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
单个股票的不对称性很小,因为杠杆效应的记忆时间很短,达到目标阈值的每日涨跌幅度相差不大。相反,对于一个指数或相当于一个Nstocks投资组合,必须考虑到构成lio端口的股票回报率之间普遍存在的相关性。这些相关性通常是正的(大多数股票在平均值上几乎同时移动),会导致损益不对称的放大,因为通过对组成股票的特质残差进行平均,杠杆效应更强。这也导致预测aportfo lio的损益不对称性越强,其组成股票的平均相关系数越强。出口时间的动量称为距离结构函数(189)或逆结构函数(225226),由TP定义(X)≡ 热休克蛋白(十) i.(69)由于结构函数和逆结构函数之间的二元性,我们可以直观地预期,存在幂律标度,表明tp(X)~ Xφ(p),(70),其中φ(p)是非线性con-cave函数【189】。GOY壳湍流模型的合成数据显示,逆结构函数对速度阈值具有完美的幂律依赖性【189】。对于二维湍流,逆结构函数s表现出明确的多重分形特性【226】。相反,对于三维湍流,高雷诺数下实验时间序列的逆结构函数没有表现出明显的幂律标度[225]。

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可人4 在职认证  发表于 2022-6-23 18:17:09 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
然而,不同的实验表明,三维湍流的逆结构函数表现出一种更普遍的尺度行为,称为扩展自相似性(见下一小节)[227-229]。据我们所知,尚未研究金融资产价格的逆结构函数行为。还可以导出与直接结构函数的直接标度指数ζ(q)和逆结构函数的逆标度指数φ(p)相关的反演公式[230,231],并给出(ζ(q)=-pφ(p)=-q、 (71)这些表达式通过壳模型的模拟速度波动进行验证【162】。然而,该预测(71)c无法通过风洞湍流实验(雷诺数Re=400)得到证实~ 1100)[228],这并不令人惊讶,因为逆结构函数不会按照速度增长阈值的幂律进行缩放[225,228]。2.2.4. 扩展自相似性为了研究逆结构函数的标度特性,可以使用扩展自相似性(ESS)框架定义一组相对指数[232]:K(q,s)~ [Kq(s)]ξ(q,q),(72),其中q是作为参考值的顺序。如果公式(56)成立,我们h aveξ(q,q)=qH(q)qH(q)。(73)当时间序列为单分形时,H(q)与q无关,即H(q)=H(q)。对于单分形时间序列,ξ(q,q)=q/q。(74)对于流体力学中的速度结构函数,q=3是基于精确的Kolmogorov四五定律的自然选择【229233】。对于金融时间序列,我们建议选择q=2,因为H(2)是埃赫斯特指数。通常,ESS方法为提取标度指数ts提供了更大的标度范围。图5(a)给出了K(q,s)与K(s)f或q=1,2,···,6的对数-对数图,其中∈ [1, 2].

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