金融市场的多重分形分析

straig Htline的震级超过两个数量级，q的震级至少超过3.5个数量级≤ 3，证明了结构函数中存在扩展自相似性。小q的标度范围f似乎比大q的标度范围宽。ESS标度指数ξ（q，2）如图5（b）所示。有一个微弱的迹象表明，ξ（q，2）作为q的函数具有非线性依赖性，向下的曲率使曲线偏离线性依赖性ξ（q，2）=q/2观察小q。时间序列是否具有单分形或多实际行为与新息分布有关。为便于记法，我们表示v=|X（t，s）|。根据定义，我们有k（q，s）=Z∞vqPr（s；v）dv=[σ（s）]qZ∞dxΦ（s；x）xq，（75），其中Pr（s；v）是v的分布，σ（s）是v的标准偏差，x=v/σ是归一化波动率，10-610-510-410-310-210-1510-1010-5100K2（s）Kq（s）q=1q=2q=3q=4q=5q=60 1 2 3 4 5 600.511.522.5qξ（q）10-110010110210-510-410-310-210-1100|X（t，s）|/σ（s）P s=1s=2s=4图5：（彩色在线）DJIA指数日价格时间序列的扩展自相似性分析（1896-2015）。（a） 对于不同的q值，qth阶结构函数K（q，s）与二阶结构函数K（s）的幂律依赖关系。（b） ESS标度指数ξ（q）是q的函数。（c）归一化波动率的分布|对于s=1、s=2和s=4，X（t，s）|/σ（s）。Φ（s；x）是x的分布。用q=2来消去σ（s），那么K（q，s）=[K（s）]q/2R∞dxΦ（s；x）xqhR∞dxΦ（s；x）xiq/2。（76）如果Φ（s；x）是普适的且与s无关，则等式（76）中的最后一项是s（和thusof K（s））的数量依赖t，然后是单分形行为ξ（q，2）=q/2。图5（c）显示了归一化波动率的分布|X（t，s）|/σ（s），在三种不同的尺度下。

虽然这三条曲线在尾部有很好的重叠，但它们在x=1左右的体积上显示出明显的差异。这表明ESS不可能是非分形的，这与图5（b）中无非线性曲率的存在是一致的。我们注意到，ESS分析没有训练到结构功能。相反，它可以用于其他多重分形分析方法。在验证和量化金融波动复发区间的多尺度行为时，研究了不同阶次经验时间序列的复发区间矩的相对依赖性【234】，这本质上是一种压力分析【235】。2.3. 小波变换方法2.3.1。基于小波变换的多重分形分析（MF-WT）小波变换被广泛用作分析时序的数学显微镜【236237】。特别是，它可以用来分析分形和多重分形时间序列的奇异结构【238–240】。函数X（t）的小波变换为[236237]Cψ（b，s）=sZ+∞-∞X（t）ψt- bs！dt，（77），其中b∈ R是位置参数，a∈ R+是扩张参数，ψ（t）是分析的“母”小波。高斯小波被广泛采用[241]，并被定义为高斯函数的导数：gn（t）=g（n）（t）=cndndtne-t/2，（78），其中Cn是归一化系数。二阶（n=2）高斯小波称为墨西哥帽。为了在时间序列{X（i）}Ni=1上执行小波变换，通常将公式（77）离散化，其中b可以沿采样间隔取任意值，s Takes nscales形成几何序列ce:sj=λj-1smin，1 6 j 6 ns，（79），其中λ>1。给定时间序列Y（i）的离散化小波变换为n w（s，i）=sNXj=1X（j）ψj- 是, i=1，···，N。

（80）小波变换用于在时间尺度平面上识别信号中不同类型的奇异点，这取决于母小波导数的阶数n（78）。更一般地，选择一个满足Rxm+1ψ（s）dx=0的母小波ψ，意味着小波变换对m阶多项式依赖是盲的，并且只检测到高阶幂。例如，当m=0时，小波变换与信号电平无关，基本上在局部斜率上形成。当m=1时，小波变换与信号电平及其局部斜率无关，并通知局部曲率。我们还应该提到正交小波变换[241-243]和双正交小波变换[244]的存在，它们可以直接用于确定长程相关时间序列的Hurstindex[245-247]。为了研究时间序列的多重分形性质，可以计算小波系数的q阶矩[248249]Mq（s）=NNXi=1 | W（s，i）| q（81），我们预计Mq（s）~ sqH（q），s>> 0。（82）我们注意到Mq（s）可能会偏离q≤ 0，因为| W（i，k）|的某些值可能接近或等于0。我们可以通过普通最小二乘回归来计算标度指数。或者，我们可以通过更加关注方差较小的点来选择加权最小二乘回归[247]。表示Lj，q=ln Mq/q，（83）相应的权重wjiswj~ Var（Lj，q）-1（84），目标函数为xjwjeh（Lj，q- H（q）ln sj- A） i.（85）H（q）的估计值确定如下：^H（q）=PjwjPjwjln sjLj，q-Pjwjln sjPjwjLj，qPjwjPjwjlnsj-Pjwjln sj. (86)2.3.2. 小波变换模极大值（WTMM）基于小波变换模极大值（WTMM）[245249–251]，这是一种更优雅的方法，可以消除连续小波变换中包含的冗余。

在每个尺度sj上，存在几个局部极大值W（sj，i）|。这些极大值在（i，s）平面上形成多条极大ima线。WTMM能够检测时间序列大类的所有奇点【252】。传统的基于配分函数的方法在处理q的情况时面临着许多问题≤ 然而，我们会发现基于WTMM的多重分形分析可以克服这一困难，因为WTMM线上的小波系数是非0的局部极大值[251]。假设尺度sj处存在Njlocal maxima，而W（ij，k，sj）是位于ij，k处的第k个局部最大值。WTMM上定义的qthorder动量areM（q，sj）=NjNjXk=1 | W（ij，k，sj）| q（87），或者分区函数readZ（q，sj）=NjXk=1 | W（ij，k，sj）| q.（88）对于多重分形时间序列，我们有z（q，s）~ sτ（q）。（89）然后可以直接计算广义维数和奇异谱。与第2.1.3节中直接确定奇点和奇点谱的热力学近似类似，我们可以定义正则测度[250]，uk（q，sj）=W（ij，k，sj）| qZq（sj），（90），这样奇点强度α为α（q）=limsj→0ln sjNjXi=1huk（q，sj）ln | W（ij，k，sj）| i（91），奇异谱f（α）isf（α）=limsj→0ln sjNjXi=1huk（q，sj）lnuk（q，sj）i.（92）在应用中，我们使用不同的尺度sj，并在对数尺度上进行（加权）线性回归。分别使用分区函数法和小波分析来检测单个时间序列的多重分形性质，发现τPF（q）=τWT（q）+q和αPF（q）=αWT（q）+1[253–255]。2.3.3. 小波前导（MF-WL）最近的多重分形形式基于小波前导【256–261】。

Jaffard[256，257]介绍的小波导程是基于离散小波系数定义的，该系数在{ψj，k}j的基础上分解时间序列X（i）∈Z、 k级∈离散小波ψj，k的z合成。整数j∈ Z和d k∈ Z确定标度s=2j和位置B=k 2j。离散小波{ψj，k}j∈Z、 k级∈分析小波ψ（t）的Zare空间移位和尺度扩张模板：ψj，k（t）=jψi- k2jj！，（93）通常使用1阶Daubechies小波作为母小波。离散小波系数定义为asW（j，k）=ZiX（i）jψi- k2jj！。（94）将并矢区间λ（j，k）定义为λ（j，k）=hk2j，（k+1）2j, （95）表示区间λ及其两个相邻的nt邻域的单位为3λ，3λ（j，k）=λ（j，k- 1) ∪ λ（j，k）∪ λ（j，k+1）。（96）小波导程l（j，k）由[256，257]定义l（j，k）=supλ′3λ（j，k）| W（λ′）|，（97），对应于在区间（k）上计算的绝对小波系数W（j′，k′）的最大值-1） 2j≤j′k′<（k+2）2j0<j′≤ j、 注意，为了计算小波导程，所有的细尺度2j′≤ 2J必须加以考虑。基于小波前导的多重分形分析可描述如下【256–261】。通常，我们可以通过m（q，j）=njnjXk=1来定义q阶矩l（j，k）q，（98），其中nj是尺度s=2j处的小波前导数。如果基础过程是多重分形的，那么也可以预期以下标度行为，M（q，j）~ 2jζ（q）=sζ（q）。（99）式中，ζ（q）与τ（q）的关系为ζ（q）=τ（q）+1=qH（q）。

（100）与第2.3.2节中的WTMM情况一样，我们还可以提供一种经典方法来直接确定奇点强度函数α（q）和多重分形谱f（α（q））。小波导程的一个有趣的应用是逐点小波导程熵[262]，它定义为给定点（k）的超差尺度（j）byE（k）=-mXj=1ρj，klogρj，k，（101），其中ρj，klogρj，k=0，如果ρj，k=0，并且ρj，k=（W（j，k）/Pmj=1W（j，k）如果W（j，k），如果W（j，k）=0（102），当应用于DJIA指数（1928-2011）时，得到的小波前导熵能够识别历史大市场波动【262】。最近，引入了小波p-导子来刻画负逐点正则性的p-指数[263]。基于公式（94）中计算的小波系数，小波p-le ADER定义如下：l（p） （j，k）=Xj′型≤j、 λ′3λ（j，k）| W（j，k）| pj′-j1/p.（103）p-领导多重分形形式依赖于p-领导的样本m（264）：m（p）（q，j）=njnjXk=1hl（p） （j，k）iq，（104）发现MF-DFA通过2指数而不是H¨older指数来表征局部正则性，小波领导多重分形形式可以视为MF-DFA的基于小波的扩展[264]。p-leaders受到有限的分辨率效应的影响，可以通过明确的、非通用的闭式校正来解决[265]。2.4. 趋势分析方法2.4.1。一般框架考虑一个时间序列{X（i）| i=1，2，·····，N}，其数据点通常是更新时间序列的累积和。LeteX（t）是局部趋势函数，通常使用某种方法在数据点周围局部确定d。去趋势残差定义为（i）=X（i）-eX（i）。

（105）我们将{（i）}分为Ns=int[N/s]个大小为s的方框的不重叠的pin g段，其中int[y]是不大于y的最大整数。我们将第vth段表示为Sv={（（v-1）s+j）| j=1，2，····，s}。vth框中的loca l去趋势函数Fv（s）定义为去趋势残差的r.m.s.【Fv（s）】=ssXi=1（（v- 1） s+j）. （106）qth订单整体去趋势预测为FQ（s）=NsNsXv=1Fqv（s）q、 （107）其中q可以取除q=0以外的任何实值。当q=0时，根据L\'H^Hospital的规则，我们有ln[F（s）]=NSxv=1ln[Fv（s）]，（108）。当整个序列{（i）}不能完全被NSbox覆盖时，可以使用2个方框覆盖序列两端的序列，其中Ns=int【N/s】，残差两端的短部分可能会被覆盖【139】。我们将从左至右划分的第vth段表示为Sv={（（v- 1） s+j）| j=1，2，···，s}对于V=1，2，···，Ns和从左到右划分为Sv={（N）的vth段- （五）- Ns）s+j）| j=1，2，···，s}对于v=Ns+1，Ns+2，··，2Ns。vth框中的局部去趋势函数Fv（s）定义为去趋势残差的r.m.s，[Fv（s）]=ssXi=1（（v- 1） s+j）对于v=1，2，···，Ns（109a）和[Fv（s）]=ssXi=1（N- （五）- Ns）s+j）对于v=Ns+1，Ns+2，···，2Ns。（109b）第四季度订单整体去趋势波动为FQ=2Ns2NsXv=1【Fv（s）】qq、 （110）其中q可以取除q=0以外的任何实值。当q=0时，根据L\'h^医院规则，我们的h aveln[F（s）]=2Ns2NsXv=1ln[Fv（s）]，（111）。通过测量段大小s的值，我们可以确定函数Fq（s）与大小刻度s、Fq（s）之间的幂律关系~ sH（q）。

（112）根据标准的多重分形形式，多重分形标度指数τ（q）可用于表征多重分形特性，其读数为τ（q）=qH（q）- Df，（113），其中DFI是多重分形测量的几何支撑的分形维数【139】。对于时间序列分析，Df=1。如果标度指数函数τ（q）是q的非线性函数，则认为时间序列具有多重分形性质。根据从分区函数直接确定f（α）的方法【157、158、266】，也可以直接确定趋势函数方法中的奇异强度及其谱【267】。定义标准度量u（q，s，v）u（q，s，v）=Fqv（s）PNsv=1Fqv（s），（114）我们有α（q）=lims→0PNsv=1u（q，s，v）ln Fv（s）ln s，（115a）和f（α（q））=lims→0PNsv=1u（q、s、v）lnu（q、s、v）ln s.（115b）基于p模型和分数布朗运动的数值实验表明，MF-DMA及其directdetermination变体在揭示分形和多重分形特性方面具有比较好的性能【267】。2.4.2. 多重分形去趋势波动分析（MF-DFA）发明去趋势波动分析（DFA）最初是为了研究编码和非编码DNA核苷酸序列的长程相关性[268]。DFA的多重分形扩展MF-DFA随后迅速发展起来[269270]。自Kantelhardt等人【139】的工作以来，MF-DFA已成为不同领域多光谱分析的最重要方法之一。在M F-DFA方法中，趋势函数是多项式[139]，通常采用线性趋势。对于每个点i，其趋势值Ex（i）与同一方框Sv中的其他点一起确定，使用顺序为l的多项式拟合到i中的s数据点∈ Sv:eX（一）=lXk=0akik，l=1，2，····。

（116）对于l = 1如图6所示。图中显示了一个Ns<N/s的情况，其中不应包括时间序列两端的数据点以形成方框。否则，当fmax=f（q=0）>1时，会得到错误的结果，如第5.1.2节所述。在实现MF-DFA的标准程序中，研究人员消除了恒定位移hXi来自增量X和累积利润（i）=iXj=1[X（一）- h类Xi]，i=1，2，···，N，（117），其中hxi是X（i）系列。但是，当趋势函数为多项式l时，此操作不会对结果产生任何影响。MF-DFA方法的一个微妙问题是多项式阶的选择。O'swie,cimka等人利用经典数学模型（分数布朗运动、L'evy过程和二项式测度）和现实世界的时间序列（外汇汇率和文学文本），发现计算的单极化谱可能对去趋势多项式的阶数非常敏感，而这种敏感性取决于分析的时间序列【271】。如果不深入了解驱动动力学的基本机制，就很难确定应该使用哪个多项式阶。无论如何，对于收益率等金融时间序列，我们可以根据金融收益率中缺乏长记忆的基本事实来检查赫斯特指数H（2）的值是否接近0.5，但这可能在交易层面上并不成立[272]。i0 100 200 300 400 500-20-10Y（i）eY（i）i0 100 200 300 400 500-15-10-5i0 100 200 300 400 500-20-10Y（i）eY（i）i0 100 200 300 400 500-10-5图6：（颜色在线）MF-DFA方法中的去趋势处理。时间序列有500个数据点，时间刻度为s=150。

Firstrow显示了从左到右的去趋势化过程，其中i=451，452，····，500的数据点不应用于计算F，第二行显示了从右到左的去趋势化过程，其中i=1，2，···，150的数据点不应使用。一种可能的解决方案是在多重分形可行去趋势函数分析（MFFDFA）中使用“可行趋势函数”【273】。可以预设任何趋势函数的先验集，例如，{ax+bx+c，a sin（x）+bx+c，ax+bx+c}，并用所有预设的趋势函数填充每个分段。对于每个分段，只选择一个确定系数R最大的确定函数。因此，对于每个时间尺度s，不同分段的趋势函数不必相同。分数布朗运动和二项式测量的数值实验表明MFFDFA方法优于MF-D FA方法【273】。对于二项式度量，改进部分是由于MFFDFA的函数Fq（s）具有更小的对数周期振荡幅度，这减少了缩放范围选择的影响【274】。2.4.3. 多重分形去趋势移动平均分析（MF-DMA）基于移动平均（MA）技术，用于估计自相关性信号的赫斯特指数【275】，去趋势移动平均（DMA）分析考虑原始信号与其移动平均函数之间的差异【276277】。DMA方法也可以很容易地实现，以估计非平稳序列的相关特性，而无需任何先验假设，这被广泛应用于分析真实世界的时间序列[278–285]和合成信号[286]。