因此,如果我们定义函数U byU(w)=V(w,1),对于≥ 0,那么我们可以从U byV(x,z)=z1–pU(x/z),(3.4)中恢复V,对于所有(x,z)∈ R+。从(3.2)和(3.4)中,我们推导出以下FBP,即w的U∈ [0,w*], 其中,我们将v与v等同,(3.2)的解:δU=max^π∈RπUw+σπUw+ 最大α≤^c≤1“^c1–p1–p–^cUw#,U(0)=0,(1–p)U(w*) – w*Uw(w*) = 0,pUw(w*) + w*Uww(w*) = 0。(3.5)在我们得到^π之后*和^c*, 那么我们就可以得到π*和c*对于V的问题,通过π*(x,z)=^π*(x/z)z和c*(x,z)=^c*(x/z)z。因为V相对于x增大且凹,所以U相对于w增大且凹;因此,我们将(3.5)中的HJB方程改写如下:κUwUww+δU=α1–p1–p–αUw,0≤ w≤ wα,p1–pUw(w)–1–pp,wα<w<w,1–p–Uw,w≤ w≤ w*,(3.6)其中κ在(2.7)中定义。因为非线性项Uw/UwwandUw(w)–1–ppin(3.6),应用Legendre变换将该微分方程线性化是很自然的。具体而言,通过y=UwandbU(y)=U(w)–wy分别定义对偶变量y和相应的凸对偶函数bu。此外,定义y=Uw(0)和y*= Uw(w*). 然后,(3.6)中的微分方程变成以下线性微分方程:ybUyy+κδybUy–κδbU=καy–α1–p1–p!,α–p≤ y≤ y、 –κp1–py–1–pp,1<y<α–p,κy–1–p!,y*≤ y≤ 1.(3.7)作为线性的交换,对于未知边界y>α–p,边界条件U(0)=0变为自由边界条件bU(y)=0=购买(y)。此外,(3.5)中的平滑粘贴和超级接触条件分别变为,(1–p)bU(y*) + py公司*购买(y*) = 0,(3.8)和购买(y*) + py公司*bUyy(y*) = 0,(3.9)在未知自由边界0<y*< 在下面的命题中,我们给出了这个自由边界问题的解。提案3.2。假设1+κδ<p<1。
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