国际价格比较多边指数体系：

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英文标题：
《Multilateral Index Number Systems for International Price Comparisons:
  Properties, Existence and Uniqueness》
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作者：
Gholamreza Hajargasht and Prasada Rao
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Over the past five decades a number of multilateral index number systems have been proposed for spatial and cross-country price comparisons. These multilateral indexes are usually expressed as solutions to systems of linear or nonlinear equations. In this paper, we provide general theorems that can be used to establish necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of the Geary-Khamis, IDB, Neary and Rao indexes as well as potential new systems including two generalized systems of index numbers. One of our main results is that the necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of solutions can often be stated in terms of graph-theoretic concepts and a verifiable condition based on observed quantities of commodities.
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中文摘要：
在过去50年中，提出了一些多边指数系统，用于空间和跨国价格比较。这些多边指数通常表示为线性或非线性方程组的解。在本文中，我们提供了可用于建立Geary-Khamis、IDB、Neary和Rao指数以及潜在的新系统（包括两个广义指数系统）存在唯一性的充要条件的一般定理。我们的主要结果之一是，解的存在性和唯一性的充要条件通常可以用图论概念和基于商品观测量的可验证条件来表示。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Multilateral_Index_Number_Systems_for_International_Price_Comparisons:_Propertie.pdf (451.18 KB)

2022-6-23 19:37:14 上传

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关键词：价格比较 Multilateral Contribution Quantitative comparisons

国际价格比较多边指数体系：属性、存在和唯一性Gholamreza Hajargashta，*, D、 S.Prasada Raob，**斯文伯恩商学院、斯文伯恩理工大学昆士兰大学经济学院摘要在过去的五年中，许多多边指数系统被提出用于空间和跨国价格比较。这些多边指数通常表示为线性或非线性方程组的解。在本文中，我们提供了可用于建立Geary-Khamis、IDB、Neary和Rao指数存在唯一性的必要和有效条件的一般理论，以及包括两个广义指数系统在内的潜在新系统。我们的主要结果之一是，解决方案存在和唯一性的必要和有效条件通常可以用图论概念和基于商品观察量的可验证条件来表述。关键词：购买力平价、国际价格、非线性Perron-Frobenius问题、连通图、DAD问题、广义均值分类：E31、C191。导言购买力平价（PPP）是一种广泛使用的多边指数，用于比较各国的价格水平和宏观经济总量，如国内生产总值（GDP）及其组成部分。购买力平价现在定期编制，作为世界银行国际比较项目（ICP）的一部分。国际比较项目最新发布的2011年调查结果涵盖了177个国家（世界银行，2015年）。国际比较项目的购买力平价用于评估世界经济的规模和分布以及经济体的排名。例如，最新的ICP*通讯作者。

地址：澳大利亚维多利亚州霍桑市约翰街27号文博商学院BA大楼3122，电子邮箱：rhajargasht@swin.edu.au**作者希望感谢埃尔文·迪沃特对本文早期版本的有益评论。我们感谢斯蒂芬·高伯特（StephaneGaubert）为我们指出了数学文献中第四定理和DAD定理之间的联系。作者感谢一位匿名裁判的尖锐评论和有益建议。我们还要感谢比尔·格里菲斯（BillGriffiths）和贝思·韦伯斯特（BethWebster），他们的评论改进了本文的论述。该研究部分得到ARC拨款DP 170103559的支持。拉奥2017年访问一桥大学经济研究所时，承担了部分工作。报告显示，2011年，美国是世界上最大的经济体，其次是中国、印度和日本。国际比较项目的结果还表明，根据购买力平价换算的人均收入数据，全球不平等现象显著减少。国际比较项目的结果还用于计算世界发展指标、人类发展指数（HDI）、区域和全球贫困，以及比较各国的卫生和教育支出。国际比较项目中的购买力平价是通过使用适当的多边指数公式汇总从各国收集的价格数据得出的。在过去五年中，为了编制购买力平价，提出了各种多边指数，包括但不限于基尼·埃尔特托·科夫斯·舒尔克（GEKS）；Geary Khamis（GK）；广义GK；Ikl'e（orIDB）；Rao；以及国家产品虚拟（CPD）。Rao（2013b）和Diewert（2013）描述了国际比较项目目前采用的方法。Neary（2004）、Feenstra et al.（2009）和Feenstra et al.（2004）讨论了多边体系的经济理论方法。

（2013）]whileDiewert（1988、1999）和Balk（2008、2009）概述了对多边指数的公理化或测试方法。Hill（2000年，2009年）和Hajargasht等人（2018年）讨论了基于最小生成树的空间链接方法，Rao（2009年）提供了一系列描述最新技术和已取得进展的论文。对具有更好属性的指数的探索正在进行中，正在提出新的指数，例如，关于新的随机方法，请参见Hajargasht&Rao（2010）和Rao&Hajargasht（2016）。国际比较中使用的多边指数体系的一个共同属性是，这些方法得出的价格指数通常是一些公式化方程组的解。这些系统可以是线性的，GK系统就是这样，Rao（1990）系统就是非线性的。这些系统只有在有积极和独特的解决方案（达到一定比例）时才有意义。不足为奇的是，一些研究成果已经被用于证明这些系统的解决方案的存在【例如Rao（1971、1976）、Khamis（1972）；Balk（1996、2009）；Neary（2004）】。然而，现有的结果通常不会假设最一般的条件，也不会覆盖某些索引。本文从几个方面对多边指数的存在性和唯一性的文献作出了贡献。（i） 它以最一般的形式提供了关于多边指数解的存在性和唯一性的几个定理。我们利用这些定理证明了许多指数的可行性，其中一些指数的结果是新的（例如“等权GK”和算术指数）。我们还提供了IDB和Rao指数存在唯一的必要条件和充分条件。

（ii）该文件汇集并澄清了确定ICP方法不同类型细节解决方案的存在性和唯一性所需的数学概念和工具，可在Rao（2013a）和世界银行（2013）中找到。这里的线性意味着方程在未知数或未知数的已知函数中是线性的。例如，当系统在1/PPPj中为线性时，它被认为是线性的。一组给定购买力平价的常数倍数使各国之间的价格比较保持不变。因此，如果购买力平价是按照比例系数唯一确定的，这是不够的。多边指数系统。（iii）它为参考货币单位的变化引入了一个新的公度公理；结果表明，该公理导出了一类基于ρ阶广义平均数的多边指数系统。这个通用类包括大多数已知系统，包括常用系统。（iv）从我们的结果中得出的另一个见解是，在定义指数时，通常需要一个兼容性条件，即定义世界平均价格（Ps）的方程式中的权重和定义购买力平价（PPP）的方程式中的权重必须兼容。（v） 最后，本文的一个重要贡献是证明了如果观测量矩阵是连通的，则通常可以保证指标的存在唯一性。本文的组织结构如下：在第2节中，我们定义了支撑本文所考虑的多边指数体系的基本符号和概念。第3节描述了线性和非线性系统，包括几种常用的指数系统。第4节陈述并证明了关于一般类多边形指数的存在唯一性的主要定理。

这些一般定理反过来被用来证明目前国际比较中使用的许多指数的存在性和唯一性。附录A提供了一个用于证明第4.2节所述定理的数学工具包（包括各种连通性概念、非线性特征值理论及其相互之间的联系）。符号和基本概念Let pijand Qijr分别表示第i个商品在第j个国家的价格和数量，其中i=1。。。，N和j=1。。。，M、 我们假设价格严格为正，数量为非负。我们进一步假设：（i）对于每个i，qijis至少为一个jand正；（ii）对于每个j，qijis至少为一个i正。作为附加符号，我们让p和q表示所有国家所有商品的价格和数量的（N×M）矩阵，其中p为严格正，q为非负，因为（i）和（ii）q的每行和每列至少有一个严格正元素。2.1. 购买力平价指的是j国货币的购买力平价或该国相对于计价国家的一般价格水平。PPPJ显示国家J的货币单位数量，这些货币单位与参考国家的一种货币单位具有相同的购买力。例如，如果印度货币的购买力平价等于15.50印度卢比兑1美元，那么印度的15.50印度卢比与美国的1美元具有相同的购买力。我们注意到，PPPJ自然是观察到的价格和数量数据的函数。多边这意味着，当且仅当相应的数量为正时，一国某一项目的支出才为正。价格比较由所有二进制比较的矩阵组成。

用Pjk表示的两个国家j和k之间的双边价格比较由Pjk=PPPkPPPj给出 j和k（1）（1）中定义的所有二元价格比较集Pjk（j，k=1，2，…，M）是可传递的，并且当所有PPPj乘以非零常数时，价格比较不受影响。请注意，为了使多边价格比较有意义，有必要将购买力平价严格定为正，并根据比例系数唯一确定，因此购买力平价（1）是唯一的。2.2. 国际平均价格本文研究的指数体系的一个共同特征是，这些体系也决定了比较中所含商品的国际平均价格。LetPidenote第i种商品的世界平均价格（i=1，2，…，N）。这些PI通常表示为观察到的价格和数量数据以及货币的PPPJ的函数。直观地说，一种商品的国际平均价格是各国商品价格的平均值。由于不同国家的价格以不同的货币计价，因此有必要将这些价格转换为通用货币单位，然后再对其进行平均。这是通过使用货币购买力平价转换观察价格来实现的。PPPJ还根据观察到的价格和数量数据以及国际价格进行定义。在第3节中，我们描述了不同的平均价格方法，如算术平均、几何平均和调和平均。2.3. 多边指数体系多边指数体系是一个相互关联的方程体系，将未知的购买力平价和国际价格表示为来自不同国家的价格和数量数据的函数。

除了作为观察价格和数量数据的函数外，每个PPPjis通常是所有国际价格的函数，同样，每个Pis也是所有未知PPPJ的函数，从而导致在M个未知PPPJ和N个未知Pis中形成M+N方程组。一般多边体系可以指定为以下形式的方程式体系：Pi=Hi（PPP，p，q）（i=1，…，N）（2a）PPPj=Hj（p，p，q）（j=1，…，M）（2b），其中PPP和p分别是购买力平价和世界平均价格的M×1和N×1向量。函数hi和hj在所有参数中都是严格正的和连续的。传递性要求所有成对比较在内部是一致的，并满足所有j、k和i的条件Pjk=Pjl×plk。有关传递性的更多信息，请参见Balk（2008）。His通常采用pij/PPPjover j的加权平均值，Hjs采用pij/Pi的加权平均值。不同的指数系统对（2）中方程的函数形式的规定不同。国际比较项目中使用的多边指数体系本节，我们介绍了一些多边体系，重点介绍了自1968年国际比较项目开始以来一直在使用的多边体系。3.1。Geary-Khamis（GK）及相关系统Geary（1958）首次提出GK系统，作为比较各国农业产出的一种方法，后来由Khamis（1972）推广到其一般形式。直到1985年，国际比较项目才采用该指数作为主要的聚合方法（有关该方法的讨论，见Kravis等人，1982年）。GK系统由以下M+N方程组组成：PPPj=NXn=1pnjqnjPNn=1PnjqNjpnj（j=1，…，M）（3a）Pi=MXm=1qimPMm=1QImpppm（i=1，…，N）（3b），此处，Ppji定义为价格相关的加权调和平均值。

同样，国际平均价格Pi定义为使用购买力平价换算成共同货币后各国价格的数量份额加权平均值。注意，方程式（3）在1/pppjs和Pis中是线性的。Rao（1971）、Khamis（1972）和Balk（1996）导出了解存在唯一的必要和充分条件。我们提供了一个代理线性系统存在性的证明，从而可以得到特定系统（如GK）的结果作为推论。Cuthbert（1999）提出了以下指数系统的广义类别，以表明就满足可加性性质而言，GK不是唯一的PPPj=NXn=1pnjqnjPNn=1PNJqNjpnj（j=1，…，M）（4a）Pi=MXm=1βmqimPMm=1βmqimpppm（i=1，…，N）（4b），其中βjs是已知常数。（3）中的GK系统是（4）的特例，当βj=β时，所有j=1，2。。。，M、 βJ的其他选择可能导致Ikl'e系统（例如Balk，1996，第207页）。Cuthbert关于可加性的定义和进一步讨论，见Balk（2008）第244-251页。Cuthbert（1999）反驳了Rao提出的一个假设，即GK体系是唯一满足可加性的多边体系。Sakumaet al.（2009）提供了另一个满足可加性但与GK指数不同的系统。（1999）没有研究（4）中广义GK系统解的存在性。定理1作为特例，为该系统存在唯一正解提供了必要和充分的条件。注意，在系统（3）和（4）中，每个PPPJI定义为比率{pnj/Pn，n=1，…，n}的加权调和平均值，每个Pi是比率{pim/PPPm，m=1，…，m}的算术平均值。

基于ρ阶广义平均的更一般系统可以写成asPPPj=NXn=1wnjpnjPnρ1/ρ（j=1，…，M）（5a）Pi=MXm=1βjqimPMm=1βmqimPIMPPPPMρ1/ρ（i=1，…，N）（5b），其中wijr表示j国商品i的支出份额，定义为wij=pijqijPNn=1pnjqnj。（3）、（4）和（5）中系统的一个共同特征是它们共享相同类型的权重。PPPjde定义使用支出份额权重，而国际价格使用数量份额权重。很容易证明，上述GK和广义GK系统是（5）中定义的新系统的特例。特别有趣的是ρ的情况→ 0，其中新系统转换为GK指数的几何版本。3.2. IDB、Rao和相关系统我们现在转向使用支出份额作为权重的多边指数系统，以确定购买力平价和购买力平价。以下两组权重，即wijand权重和*ijare usedwij=pijqijPNn=1pnjqnjw*ij=wijPMm=1wim，wijis是j国商品i的支出份额，而w*Ij是商品i在j国的支出份额，相对于该商品在所有国家的总份额。Rao（1990）将国际价格比较系统定义如下PPPj=NYn=1pnjPnwnj（j=1，…，M）（6a）Pi=MYm=1PIMPPPPMw*im（i=1，…，N）（6b）Rao（2005）表明，该系统的解可以通过国家产品虚拟法（CPD）的加权最小二乘估计获得。