基于核的谱风险测度估计

（核的阶数和MISE最优速率）我们注意到≥ 0允许灵活选择内核的顺序。在最有趣的情况下n-1/（4t+3）（Swanepoel和Van Graan（2005）），其中变换后的核估计量同时在平方误差损失中达到最佳收敛速度，我们得到了^b2t+2-LN1/2→ 0 asn→ ∞ 如果0≤ l<1/2，因此内核的阶数必须为r>2t+1/2。我们统计了核估计量的累积分布函数的直接推论。推论2。设条件1成立，并假设pis是一个有界函数（t=0）或假设p∈Ct（R）对于某些实际t>0。设k是r＞2t+1/2阶的核。选择ord er^bn的^bn>0n-1/（4t+3）。定义累计分布函数fn（t）=Rt-∞（Ln）*k） （x）dx以及F（t）=Rt-∞p（x）dx。然后√n（eFn-F） d-→ G、 其中G是P-布朗桥。也就是{G（t）：0≤ t<1}是一个具有零均值和协方差函数σ（s，t）=EG（s）G（t）=s的高斯过程∧t型-现在利用上述结果，我们建立了ρD的渐近性质。如果方程（7）写为使用fn，那么我们可以写为Tnas wn=Zg（eF-1n）JndF。定理6。假设（A）和（B）成立。设k是r＞2t＋1／2阶的核，其实际值＞0。选择^b>0的顺序^b n-1/（4t+1）。然后√n（Wn-un）d-→ N（0，σ），其中σ=ZZ（s∧t型-st）J（s）J（t）dg（s）dg（t）<∞.证明：证明见附录。根据定理6，我们有以下推论。推论3。如果假设（A）和（B）成立。设k为r>2t+1/2阶的核，realt>0。选择^b>0的顺序^b n-1/（4t+1）。然后√n（eρD-ρ） d-→ N（0，σ），其中σ=ZZ（s∧t型-st）J（s）J（t）dg（s）dg（t）<∞.4.1依赖Cas元素，{Xn，n≥ 1} 是随机变量的严格平稳φ-混合序列。

根据定义，{Xn，n≥ 1} isφ-如果每个k>0和每个n混合≥ 1，A∈ MK和B∈ M∞k+n，| P（A∩（B）-P（A）P（B）|≤φ（n）P（A），其中φ是正整数的非负函数，mba表示由Xa，Xa+1，…，生成的σ-代数。。，Xb，用于≤ b（Degenhardt、Puri、Sun和van Zuijlen（1996））。Let，x∈ R是固定的，C[0,1]是[0,1]上所有连续函数的空间，赋予了一致度量，并引入了一些正则性条件。（Ax）（i）f在f的支撑上可与有界导数f′微分。f′在x的一个高阶上是连续的，f′（x）6=0。（ii）R∞-∞tk（t）dt=0 andR∞-∞tk（t）dt<∞.（Z） 存在一个x′∈ 使得f和k满足Ax′（即Z=Sy∈射线）。我们的下一个结果给出了φ-混合过程下变换核分布函数估计的函数中心极限定理成立的必要和充分条件，这与Degenhardt等人（1996）证明的结果相似（见定理2.3）。定理7。允许∑∞n（φ（n））1/2<∞.（a） 假设f和k满足（Z）。那么我们有√n（eFn-F） D-→U、 （11）iff n1/4^bn→ 0，其中U是[0，1]上的高斯随机过程，其中EU（t）=0 a ndE U（s）U（t）=σ（s，t）=s∧t型-st公司+∞∑k=1Egs（U）gt（英国+1）+∞∑k=1Egs（英国+1）gt（英国）。式中，gt（x）=1[0，t]（x）-t、 SymbolD符号-→ 表示C[0，1]中的弱收敛。（b） 假设| | f | |<∞. 然后（11）持有iffε> 0:p（n）su pxZ | t |>ε/√n | F（x-t）-F（x）| k（t）dt→ 0保留。证明：证明见附录。利用上述结果，我们建立了eρDunderφ混合过程的渐近性质。定理8。允许∑∞n（φ（n））1/2<∞ 假设（A）和（B）成立。假设f和k满足（Z）和n1/4^bn→ 0那么√n（Wn-un）d-→ N（0，σ），其中σ=ZZσ（s，t）J（s）J（t）dg（s）dg（t）<∞.证明：证明见附录。根据定理8，我们有以下推论。推论4。允许∑∞n（φ（n））1/2<∞ 假设（A）和（B）成立。假设f和k满足（Z）和n1/4^bn→ 0

然后√n（eρD-ρ） d-→ N（0，σ），其中σ=ZZσ（s，t）J（s）J（t）dg（s）dg（t）<∞.5模拟为了比较有限样本中不同估计器的行为，我们通过模拟多个模型的观测值来计算估计器的均方误差（MSE）。我们考虑三种模型。（i） {Xi}i=1,2，····是一个i.i.d.过程，边际分布GPDξ=1/3。（ii）{Xi}i=1,2，······································。（iii）{Xi}i=1,2，····是一个i.i.d.过程，边际分布N（0,1）。前两个模型的动机是Cont（2001）关于边际资产收益分布尾部权重范围的经验观察。为了研究对上述失真估计量的依赖性对ris k度量的影响，我们考虑以下GARCH（1,1）模型（iv）Xi=σiZi，σi=0.061Xi-1+0.932σi-1、模型（iv）为GARCH模型，适用于2009年1月1日至2019年1月1日期间的俏皮50日均统计数据。a处的数据来自国家证券交易所（NSE）网站（NSE（2019））。我们的数据中有2476个每日日志返回值（日志返回是根据指数的闭合值计算的）。即使数据生成过程完全指定，也很难计算这些估计器的MSE的准确值。因此，我们使用蒙特卡罗（MC）模拟来近似这些估计器的MSE。参数Θ的任何估计量Pn的均方误差的蒙特卡罗（MC）估计定义为∑Bj=1（Pn j-Θ），其中B是从给定过程中提取的每个大小为n的MCsamples的数量，Pn jis是基于jt h MCsample的估计，j=1，····，B。在我们的工作中，我们使用B=1000.5.1指数优势风险规避Cotter和Dowd（20 06）定义的风险规避函数d是φ（u）=βe-β(1-u） 1个-e-β（12），其中β∈ (0,∞) 是绝对风险规避的用户系数。

绝对风险规避系数β在光谱风险度量中起着重要作用，这与风险价值和预期缺口的置信水平所起的作用相似。Cotter和Dowd（2006）指出，β值越高，我们越关心相对于其他值的更高损失。我们考虑方程（1）中给出的表达式，并使用（12）中定义的风险规避函数，比较表1中DRM四个估计值的均方误差。最具想象力的是1。经验估计量^ρ2。使用Altman和Leger（1995）提出的插件bandwidt h估计的核估计量^ρb定义了ashAL=1/4bVbB1/3n-1/3，其中bv=ρ（k）n（n-1） n个∑i=1n∑j=1αkxi-xjαj 6=i，且bb=0.25bD（F）（u（k）），其中ρ（k）=2R+∞-∞xk（x）K（x）dx和bd=nαbn∑i=1n∑j=1n∑l=1k′bxi-xjαbk′bxi-xlαb.k′bis核函数kb的导数（不一定等于k）。在实践中，αb=α，kb=k。如果我们将核函数用作Epanechnikov核，Altman和Leger（1995）证明，通过取α=n可以做出最佳选择-0.3^σ（xi），其中^σ（xi）=minn^s，Q-Q1.349o，其中^s为样本标准偏差，Q、Qdenote分别为第一和第三个四分位数。我们使用kerdiest packagein R软件中的ALbw函数估计了HALbw。3、我们利用方程（4）中定义的带宽提出的核估计值ρd。核估计量^ρQDestimated usin g（2），是由Sheller和Marron（1990）提出的核分位数估计量。核分位数估计量定义如下：qu=n∑i=1“Z ini-1nkt型-乌兰巴托dt#X（i），并使用带宽hAL。在表1中，我们给出了四种模型下，对于β=1、5、1 0和20以及n=30、100和250，估计量^ρbD、eρ和^ρqd的均方误差与^ρ的均方误差之比。我们观察到，仅在模型（iii）的情况下，对于小样本和较高的β值，估计量^ρbd的性能优于经验估计量^ρ。

对于上述所有模型，估计值ρdoutp都表现为经验向量ρ。对于低β值和低样本尺寸，增益最高。此外，经验估计量^ρ优于估计量^ρQD。我们可以得出这样的结论：我们提出的估计量ρdout不仅表现为emp irical估计量，还表现为核估计量ρQD。除高β和低样本量的正态分布外，它在所有情况下都优于核估计量^ρbd。5.2比例赔率畸变Sukahara（2009）提出了一个单参数畸变族，该族产生了多种相关风险度量：o比例风险（PH）畸变：DPHθ（u）=1-(1-u） θ，其中θ>0且DPHθ为凸f 0<θ≤ 1.o比例比值（PO）失真：DPOθ（u）=θu/[1-(1 -θ） u]其中θ>0，如果0<θ，则DPOθ为凸≤ 1.o高斯失真（GA）：DGAθ（u）=Φ（Φ-1（u）+logθ），其中Φ是标准正态分布函数。Tsukahara提到，未发现ρθ为有限的θ清晰区域。Tsukahara（2009）得出结论，由于其财务可解释性和数值稳定性，PO失真是最有前景的。因此，我们使用经验估计器ρPODθ和核估计值ρPODθ来估计该失真函数的DRM。在表2中，我们给出了考虑到这四种模型，θ=0.005、0.025、0.05和0.10以及n=30、100和250时这两个估计值的均方误差比率。我们观察到，在上述所有模型以及所有参数值和样本量的情况下，估计值reρPODθ优于经验估计值ρPODθ。5.3预期空头我们要估计的风险的最终度量是在SP=1时定义的流行度量预期空头- pZpQ（u）du。我们提出的估计量基于Swanepoel和Van Graan（2005年）的估计量是definedascesp，h=1- pZpeF公司-1（u）du。Chen（200 8）提出了ES的另一个估计量，如下所示。

设K为核函数，它是对称概率密度函数，G（t）=R∞tK（u）du和Gh（t）=G（t/h），其中h是正平滑带宽。生存函数S（x）=1的核估计-F（x）isSh（z）=nn∑t=1Gh（z-Xt）。Qp的核估计量，表示为^Qp，h，是Sh（z）=p的解。Chen（2008）提出的核估计量为asChenp，h=npn∑t=1XtGh（^qp，h-Xt）。我们使用Chen和Tang（2005）提出的带宽，其定义如下，hopt=（2 f（Qp）bkσk（f（1）（Qp）））1/3n-1/3，其中bk=Ruw（u）H（u）du，σk=Ruw（u）du。H（·）是密度为w的分布的分布函数。H包括未知常数Qp，f及其在Qp处的导数f（1）。Chen和Tang（2005）建议通过相应的样本量来近似Qpin h。作者建议通过密度和广义帕累托分布的一阶导数来近似f和f（1）。在表3中，我们给出了四个模型的估计值r Chenp、hto的均方误差与估计值Csp的均方误差之比，hfor p=0.95、0.97和0.99，n=30、100和250。我们观察到，所有模型、参数值和样本量的比率都很高。6数据考虑到1991年1月1日至2003年12月31日期间的权重指数期货（即FTSE100、DAX、恒生和日经225期货）的日终价格，Analysiur数据集由负对数回报组成。为了将结果与Cotter和Dowd（2006）的结果进行比较，我们考虑了每日负对数回报。每天有3280个负日志返回值。此外，我们还考虑了2014年1月22日至2019年1月2日期间相同仪器的最新数据集。

2008年被认为是发生巨大金融危机的一年。因此，为了估计市场风险并观察金融危机对市场的影响，我需要从2004年1月2日至2008年12月31日和2009年1月2日至2019年1月22日的数据集中进行分析。每天有1250和2582个负日志返回值。这些数据来自宏观趋势网站（见宏观趋势（201 9））。第一个数据集与Cotter和Dowd（2006）考虑的数据集相似。英国《金融时报》股票交易所100指数，也称为东京证交所100指数，是伦敦证券交易所上市的100家市值最高的公司的股票指数。它被视为衡量英国公司法监管企业的繁荣程度。DAX是一个蓝筹股票市场指数，由在法兰克福证券交易所交易的30家主要德国公司组成。价格从Xetra交易场所获取。恒生指数是香港经自由浮动调整的市值加权股票市场指数。它用于记录和监测香港股市最大公司的每日变化，是香港整体市场表现的主要指标。这50家组成公司约占香港证券交易所总市值的5.8%。日经225指数，通常被称为日经指数、日经指数或日经股票平均指数，是东京证券交易所（TSE）的股票市场指数。自1950年以来，《日本经济新闻》（Nikkei）每天都在计算。这是一种以日元（JPU）为单位的价格加权指数，其组成部分每年审查一次。我们应用基于核的估计量，对FTSE100、DAX、恒生和日经225期货指数的指数SRM进行了三个时期的估计。我们还估计了密度区间。

我们运行了10000组蒙特卡罗模拟。我们从模拟中获得了10000个RM估计值，然后计算了置信区间。在表4中，我们报告了数据集的指数SRM，其中考虑了1991年1月1日至2003年12月31日期间，以及相应的SRM估计值的90%置信区间。在表5中，我们报告了从2004年1月2日至2008年12月31日期间数据集的指数SRM，以及相应的SRM估计的90%置信区间。在表6中，我们报告了指数SRM和数据集的标准偏差，其中考虑了2009年1月2日至2019年1月2日期间，以及相应的SRM估计的90%置信区间。在表4、5和6中，我们使用β值1、5、10、20、100和200估计了指数SRM。使用β值（即20、100和200）的主要目的是将结果与科特和多德（2006）的结果进行比较。从表4中我们观察到，在1991年1月1日至2003年12月31日期间，FTSE100指数是风险最小的指数，恒生指数是风险最大的指数。Cotter和Dowd（2006）也有类似的观察结果。从表5可以看出，在2004年1月2日至2008年12月31日期间，FTSE100指数是风险最小的指数，日经225指数是风险最大的指数。从表6中我们可以看出，在2009年1月2日至2019年1月2日期间，FTSE100指数是风险最小的指数，恒生指数是风险最大的指数。从表4-6中可以看出，所有证券和所有风险厌恶值的风险从第一和第二阶段降低到第三阶段，并且变化也减少了。从表5可以看出，与第一和第三阶段相比，第二阶段的风险较高。

我们还观察到，若我们如Cotter和Dowd（2006）所述估计90%的置信区间，我们会得到类似的结果。7背景测试在本节中，我们对SRM进行了Z测试，该测试由Costanzino和Curran（2015）提出。设{ti}Ni=0为历史交易日序列，{Li}Ni=1相应的已实现交易损失。对于每个交易日，i=1。。，N、 让VaRαide记录α级的风险值（VaR），X（i）VaR（α）：=KFn，b（VaRαi）-Fn，b（Li）b∈ [0，1]表示VaR失效，其中Fn，bis是核dfestimator。使用Dutta和Biswas（2017）提出的估计器以及截至第一天的可用数据估计VaRαiis-1、Dutta和Biswas（2017）提出的VaR估计值定义如下：f{x:eFn（x）≥ 1.-α} ，（13）式中，efn（x）的定义如式（3）所示。我们定义了VaR故障率XNVaR（α）∈ α级为[0，1]∈ N个交易日内的[0，1]asXNVaR（α）：=NN∑i=1X（i）VaR（α）=NN∑i=1KFn，b（VaRαi）-Fn，b（Li）b,其中KFn，b（VaRαi）-Fn，b（Li）b=hRVaRαi-∞kFn，b（x）-Fn，b（Li）bdx。同样，我们定义了频谱风险度量失败率XNSR。定义4。（谱风险度量失败率）对于容许风险谱φ，设X（i）SR（φ）∈[0，1]由x（i）SR（φ）=Zφ（p）K定义Fn，b（VaRpi）-Fn，b（Li）bd p，其中φ（p）在等式（12）中定义。我们确定了光谱风险测量失败率XNSR（φ）∈[0，1]对于容许风险谱φasXNSR（φ）：=NN∑i=1X（i）SR（φ）（14）=NN∑i=1Zφ（p）KFn，b（VaRpi）-Fn，b（Li）bd p.定义5。（覆盖测试的零假设）光谱风险度量覆盖测试的零假设：光谱风险度量失败，即在两个不同日期观察到的X（i）SR（φ）必须独立分布，即 i 6=j，P（Li≤VaRpi）=p p∈ 供应φ。提案1。（H下XNSR（φ）的均值和方差）我们考虑随机变量XNSR（φ）∈[0，1]由（14）定义。

然后在零假设下，uφ：=E[XNSR（φ）]=Zφ（p）pd p（15）和σφ：=V[XNSR（φ）]=NZZpφ（p）φ（q）qd pdq-Zφ（p）pd p（16） 证明：有关证明，请参见附录。引理1。在零假设下，谱风险度量失效Rate Xnsr渐近正态，因此采用Z检验。证明：有关证明，请参见附录。定理9。（光谱风险度量的覆盖率测试）设uφ和σφ为在uφ=Zφ（p）pd pσφ=N的零假设下，光谱度量Fai诱惑率XNSR（φ）（在（14）中定义）的平均值和标准偏差ZZpφ（p）φ（q）qdpdq-Zφ（p）pd p然后znsr（φ）定义的Z分数znsr：=XNSR（φ）-uφσφ（17）定义了xnsr的Z测试和Mφ的覆盖率测试。证明：有关证明，请参见附录。7.1模拟用于评估回测的模拟数据与第5节中的数据相同。我们将估计学习期固定为一年（250次观察）。回溯测试周期等于1天，滚动窗口长度设置为250。因此，对于单个测试运行，我们需要500个后续观察来执行回溯测试练习。从每天251起，估计VaR。我们一直到第500天都这样做。设，x=（x，…，x）为500个观测值。对于i=1。。，250，第i个回溯测试日的VaR等于V aRαi（x）=VaRα（xi，…，xi+249），其中VaR估值器在等式（13）中定义。在我们的设置中，等式（17）中给出的检验统计量由zsr（φ）：=XSR（φ）给出-uφσφ，其中XSR（φ）=∑i=1Rφ（p）KFn，b（VaRαi（x））-Fn，b（xi+250）bd p和σφ=RRpφ（p）φ（q）qd pdq-Rφ（p）pd p.我们使用上述模拟数据估计了β=1、5、10、20、100的不同值的ZSR（φ）。我们模拟了一个大小为1000的蒙特卡罗样本，其中每个样本对应250个观测值。在表7中，我们估算了不同β值和不同模拟数据的Z值。