混合命中次数的可能性

特别地，ψ的L'evy-khintchinesrepresentation（1）和（2）重合，andu=|u。在这种特殊情况下，已知T | X=X，V=V的分布为反高斯分布，其Lebesgue密度和生存函数的显式表达式（见第3.2节）。如果u≥ 0，则∧BM（0；u，σ）=0，且T | X=X，V=vis的分布无缺陷。然而，如果u<0，则∧BM（0；u，σ）=-2u/σ>0且| X=X，V=V的分布具有尺寸为1的缺陷- exp（2φ（x）vu/σ）。无论哪种方式，MHT模型都规定了在这种特殊情况下T | X=X的混合逆高斯分布。由于该分布具有完全（因此与参数无关）支持的Lebesgue密度，因此可以直接指定φ和g参数规格的可能性，并计算相应的最大似然估计量，该估计量将具有标准的a辛性质。如果{Y}是更一般的谱负L'evy过程，那么F（·| x）可能具有依赖于参数的支持。例如，如果Y（t）=ut，则t（φ（x）v）=u-1φ（x）v，使F（·| x）集中在u的载体上-1φ（x）V。假设1不包括这种病理学。引理1（绝对连续性）。如果假设1成立，则对于给定的（x，v）∈X×（0，∞) 和一些正密度f（·| x，v），f（t | x，v）=Rtf（u | x，v）du，对于所有t∈ [0, ∞).证据因为φ（x）v>0和lims→∞∧（s）=∞, F（0 | x，v）=lims→∞F（s | x，v）=lims→∞经验值[-∧（s）φ（x）v]=0。此外，根据假设1，对于给定的t∈ (0, ∞), Y（t）的分布是正态分布和累积跳跃分布的卷积，因此t在R上具有正Lebesgue密度。

利用这一点和φ（x）v>0，Bertoin（1996年，第七章，推论3）暗示F（·| x，v）具有正贝格密度F（·| x，v）o n（0，∞), F（t | x，v）=所有t的Rtf（u | x，v）du∈ [0, ∞).注意，根据引理1和Fubini定理，假设1还意味着F（t | x）=Rtf（u | x）du，对于所有t∈ [0, ∞), 正勒贝格密度f（·x）≡R∞f（·| x，v）dG（v）。因此，假设1确保可以使用标准的参数最大似然法，如在纯高斯情况下。一个复杂的情况是，分布F（·| x）及其密度F（·| x）通常以闭合形式未知，需要通过混合的高斯逆分布计算，这在统计文献中已用于建模持续时间数据。例如，Aalen和Gjessing（20 01）提出了一个在布朗运动漂移系数u上具有参数混合的模型。反转拉普拉斯变换。正如我们将在第3.3节中看到的，假设1是该反演的关键计算简化。此外，在下一节中，我们将看到假设1，以及Abbring（2012）的假设和无害规范，对模型点识别的支持。2.4非参数识别MHT模型的原语为ψ、φ和G。ByFeller（1971年，第十三节1，定理1），概率分布与其拉普拉斯变换之间存在一对一的关系。因此，我们可以将原语等效为ψ、φ和G。通过（3）和∧的定义，这种MHT三元组（ψ、φ、G）的每个规格都意味着分布F（·| x）的拉普拉斯变换F（·| x），因此对于所有x，F（·| x）本身都意味着拉普拉斯变换F（·| x）∈ 十、 人们可能想知道，相反地，F（·| X），X的知识∈ 十、 可能在施加一些规范化和限制之后，允许一个人立即确定（“识别”）模型的原语（ψ，φ，G）。

实际上，我们明确考虑到，如果Pr（X=X）=0，则T和X上的数据将不允许我们确定F（·| X）。所以，假设我们可以确定F（·| X）几乎是确定的等价量；也就是说，我们知道E[F（·| X）I（X∈ B） ]=E[经验值(-sT）I（X∈ B） ]对于所有可测量的B 十、 第3.1节假设了一种简单的独立右截尾方案，这是正确的：从m（min{T，C}，I（T≤ C） ，X），其中T和X来自（T，X）的联合分布，由X的一些基本分布和模型的条件分布F（·| X），X表示∈ 十、 对于给定的X，从条件分布中独立于T得出的截尾时间C，使得Pr（C≥ 对于所有t，t | X）>0∈ [0, ∞).注意，这包括我们从（t，X）的联合分布得到“完全”观测的情况（如果C=∞ 总是），并从截尾数据扩展到更一般的子密度f（t | X）Pr（C≥ t | X），对于几乎所有的t，以及jointsurvival函数Pr（t≥ t、 C类≥ t | X）=F（t | X）Pr（C≥ t | X）几乎可以确定等效性。因此，危险率f（t | X）/f（t | X）=f（t | X）Pr（C≥ t | X）/Pr（t≥ t、 C类≥ t | X）是确定F（·| X）的基本t，几乎可以确定等效性。Se e.g.Cox（1962）。这一论点扩展到更一般的独立审查形式（见Andersen等人，1993年）。独立审查方案。继Gill和Robins（2001年，第3节）之后，我们通过假设连续协变量影响的连续性来处理（可能）连续协变量条件作用引起的歧义。设B（x，δ）是一个半径δ>0，围绕x的n个开球∈ RK。X的支撑X包含所有点X∈ X使得Pr（X∈ 对于所有δ>0的情况，B（x，δ））>0。假设2（协变量效应的连续性）。

函数φ和X的支持度X等于，对于每个X∈ 十、 limδ↓0supx′型∈B（x，δ）∩X |φ（X′）- φ（x）|=0。对于隔离质量点x∈ 十、 B（X，δ）∩对于足够小的δ，X={X}，并且假设不约束φ。对于点s x，例如That B（x，δ） X f或某些δ>0，假设2Simple需要φ的连续性，作为RK上的函数，在X处。如果X具有完全离散和连续分量，则假设2需要连续分量中φ的连续性，以获得离散分量的给定值。假设2满足，例如，对于某些参数向量β，φ（x）=exp（x′β∈ RK。引理2（条件分布的识别）。如果假设2 hol ds，则f（s | x）=limδ↓0E[经验（-sT）I（X∈ B（x，δ））]E[I（x∈ B（x，δ））]，s∈ [0, ∞), x个∈ 十、 （5）证明。根据假设2和G的连续性，对于每>0，存在δ>0，例如| F（s | x′）- F（s | x）|=| G（λ（s）φ（x′））- G（λ（s）φ（x））|<对于所有x′∈ B（x，δ），so t that | F（s | x）- E[经验值(-sT）I（X∈ B（x，δ））]/E[I（x∈ B（x，δ））]|<。注意，如果x是x中的一个孤立点，那么（5）将减少到F（s | x）=E[exp(-sT）| X=X]。继Abbring（2012）之后，我们的识别分析利用了具有协变量的阈值变化。假设3（非竞争性协变量效应）。对于某些x，x∈ 十、 φ（X）6=φ（X）。从以下定理的证明中可以清楚地看出，在假设2下，协变量值x和xin假设3可以用F（·| x）6=F（·| x）的值来识别。定理1（非参数识别）。设（ψ，φ，G）和（|ψ，|φ，eG）为满足假设1-3且在观测上等效的mhttriplet（意味着相同的传统分布F（·| X），直到几乎确定等效）。那么，对于一些a，b∈(0, ∞):§ψ（s）=ψ（as）和G（s）=G（bs）（对于所有s）∈ [0, ∞), 和▄φ=ab-1φ.证据通过假设2和引理2，我们可以确定所有x的F（·| x）∈ 十、

在特定情况下，我们可以识别x，x∈ X使得F（s | X）=G[λ（s）φ（X）]6=G[λ（s）φ（X）]=F（·| X），通过假设3存在。取这些X和X。我们有（ψ；φ（x），φ（x）；G） 和（|ψ；|φ（x），|φ（x）；例如）表示相同的识别F（·| x）和F（·| x），并且F（·| x）6=F（·| x）。这是Yabbring（2012）研究的两个样本问题。我们首先将Abbring定理1和假设1应用于这一两个样本问题，然后将参数扩展到φ和φ的全域X。L'evy-Khintchine公式（1），Rmin{1，y}Υ（dy）<∞, 和支配收敛意味着tψ′（s）=u+σs+R(-∞,0）{是- yI（y>-1） }Υ（dy）。更多地使用支配收敛，可以得出lims→∞s-1ψ′（s）=σ。假设1，这会得到LIM→∞ψ′（ws）/ψ′（s）=lims→∞w（ws）-1ψ′（ws）/s-1ψ′（s）]=所有w的w∈ (0, ∞).对于ψ′也是如此。因此，bot h |ψ′|和|Оψ′|随指数1有规律地变化（Feller，1971，第VIII.8节）。因此，Abbring（2012，定理1）应用ρ=1。注意到Abbring的设置与我们的设置不同，它对φ施加了尺度归一化，这意味着，对于一些a，b∈ (0, ∞),∧=a-1∧a ndeG（s）=所有s的G（bs）∈ [0, ∞).∧的倒数等于ψ对∧（0）的限制，∞) 并且可以唯一地分析扩展到其全域[0，∞); 对于∧的倒数也是如此。这就给出了所有s的|ψ（s）=ψ（as）∈ [0, ∞).最后，固定任何∈ (0, ∞). 由于F（·| x）是确定的，观测等效性意味着G[λ（s）φ（x）]=F（s | x）=eGh∧（s）~φ（x）i=Gh∧（s）a-1b▄φ（x）ifor all x∈ 十、 因此，￠φ=ab-1φ.proo f的第一部分建立了（ψ，G）和（|ψ，eG）之间的关系，仅使用假设2表示x和x处的连续性。

因此，如果我们削弱Theorem1的声明t hat t▄φ=ab，我们可以相应地放松假设2-1φ至？φ（X）=ab-1φ（X）几乎可以肯定。与Abbring（2012）研究的模型不同，我们的模型具有非平凡的Gaussiancomponent，最多可识别两个未知的比例参数a和b。很容易看出为什么不能仅通过T和X上的数据来确定YA和b。混合命中时间T（φ（X）V）不受潜在过程{Y}和阈值φ（X）V重定尺度的影响，也不受阈值因子φ（X）和V重定尺度而改变阈值本身的影响。具体地说，假设Theo r em 1中的（ψ，φ，G）对应于Alant过程{Y}和阈值φ（X）V。然后，观测等效（|ψ，|φ，eG）对应于一个潜在过程{aY}，一个观测阈值因子ab-1φ（X），无阈值因子bV。显然，隐含的首次命中时间是相同的：inf{t≥ 0:Y（t）>φ（X）V}=inf{t≥ 0:aY（t）>ab-1φ（X）bV}。此处的识别要求{Y}、φ（X）和V的两个尺度归一化。实现这些规范化的最便捷方式取决于所选的参数化。2.5参数化和规范化本文的估算程序要求对模型进行计算可行、灵活的参数化。为此，我们指定了L'evy测度Υ（·；α）到未知参数α的有限向量。对于漂移参数u和高斯色散参数σ，该规范和L'evy Khintchine公式（在我们提出的规范中，（2））意味着拉普拉斯表达式的参数化ψ（·；u，σ，α）。

我们同样指定φ（·；β）和G（·；κ）直到有限向量β和κa，并收集θ中的所有参数≡ (u, σ, α, β, κ).我们确保建议的参数化是唯一的，因为θ的不同值映射到不同的基元ψ（·；u，σ，α）、φ（·；β）和G（·；κ）。我们还想办法使它们正常化。定理1的推论建立了参数识别。潜在过程回想起来，如果{Y}是一个具有漂移的非平凡布朗运动，则Υ（·；α）=0，拉普拉斯表达式等于ψBM（s；u，σ）=us+σs，σ>0。我们用下标“BM”来区分这一基本规范，因为在我们的计算中，它也出现在ψ（·；α）的更一般规范中。我们考虑两种此类规格。第一个dds是一个独立的复合泊松过程，其基本规格具有完全离散的冲击分布。因为(-1,0）yΥ（dy；α）<∞ 在这种情况下，埃尔维·钦钦公式（2）现在提供了参数化ψ的最简单方法：ψ（s；u，σ，α）=us+σs+PJj=1λj（esνj- 1） ，其中α≡ （λ，…，λJ，ν，…，νJ），λJ>0时，尺寸νJ<0的冲击到达的泊松率；j=1，J和ν<…<νJ.相反，第二个规范假设冲击达到泊松率λ，并从密度为ωτ（τ）的伽马分布中得出大小(-y） τ-1exp（ωy）；ω, τ > 0;在y∈ (-∞, 0). 我们可以再次使用（2），它现在给出ψ（s；u，σ，α）=us+σs+λ{（s/ω+1）-τ- 1} ，其中α≡ (λ, ω, τ).L'evy Khintchine公式（2）提供了关于dr-ift参数u、高斯色散参数σ和L'evy度量Υ的Laplaceexp分量的唯一参数化。反过来，我们的两个跳跃过程规范给出了唯一的Υ参数化。因此，两个参数化ψ（·；α）都是唯一的。ψ（·；u，σ，α）的尺度可以通过设置|u|=1来归一化，这隐含地假设u6=0或σ=1。

在a ll之后，如果ψ（·；u，σ，α）是|u|=1（或σ=1）的拉普拉斯指数，则对于a>0，s 7→ ψ（as；u，σ，α）是|u|=a（或σ=a）的拉普拉斯指数。协变量影响阈值在协变量中自然规定为对数线性：φ（x；β）=exp（x′β）。请注意，该规范暗示了假设2。等效地，在本规范中，冲击达到λ的速率≡PJj=1λjand是从具有概率（λ/λ，…，λJ/λ）的J个支持点（ν，…，νJ）的分布中独立得出的。我们排除了λj=0、νj=0或νj的边界情况-1=νj，对应于冲击大小小于j的规范，以确保独特的参数化和标准推断。见脚注10。Bertoin（1996年，第1章，定理1）及其后的讨论表明，一般的L'evyKhintchine公式（1）提供了拉普拉斯指数的唯一参数化，即|u、σ和Υ。因此，如第2.2节所述，公式（2）也适用于不同的漂移参数。也可以对跳跃成分的比例进行规范化，这在不同的规格中有所不同。假设X RK不包含在RK的真线性子空间中。那么，这个参数化是唯一的：exp（x′β）=exp（x′β）对于所有x∈ X表示β=~β。此外，它还体现了尺度归一化：对于给定的βa和a∈ (0, ∞)/{1} 存在oβ，使得aφ（x；α）=exp（ln（a）+x′β）=exp（x′β）。未观察到的异质性我们考虑到G的一个完全离散的规范。该规范是通用的，计算方便，并且自然出现在Heckman和Singer（1984）关于MPH模型半非参数估计的工作中。假设Vhas L∈ N支撑点0<v<···<vL，0<πl≡ Pr（V=vl）<1；l=1，五十、 那么，G（s；κ）=PLl=1πlexp(-svl），带κ≡ （v，…，vL，π，…）。

，πL-1） 和πL≡ 1.-PL公司-1l=1πl。不等式约束确保参数化是唯一的。可以通过设置v=1对其进行缩放规格化。推论1（参数识别）。通过本节中的一个参数化，让θ和￠θ映射成观测等效的MHT三元组。假设假设1和3成立，X RK不包含在RK的真线性子空间中，φ或G都是标度正规化的。那么，θ=°θ。推论1并不依赖于这样一个事实，即G的完全离散规格确保E[V]<∞, 这将有助于在没有假设1的情况下进行识别（见Abbring，2012，第4.3节）。我们坚持假设1，因为这对我们的估算方法至关重要（见第2.3节），并考虑到不意味着E[V]<∞. 例如，这可能有助于筛选估计的扩展，其中可能很难施加E[V]<∞ （参见第6节）。我们假设所有πl∈ （0，1），并且所有支撑点都是不同的，以确保G的参数化是唯一的。在实践中，我们可能希望包括边界情况，因为这些情况对应的规范支持点少于L个。然而，这会导致非标准识别和推断，因为我们可以将支撑点的数量从L减少到L- 1通过设置πL=0，在这种情况下，vL不相关，或通过设置vL-1=vL，在这种情况下，只有πL-1+πLmatters。3最大似然估计修复上一节的参数化θ7之一→ [ψ（·；u，σ，α），φ（·；β），G（·；κ）]。用f（·| X；θ）表示T | X=X的隐含参数密度，用f（·| X；θ）表示相应的生存函数。同样，写出f（·| x，v；θ）和f（·| x，v；θ）。

本节介绍了一种评估基本但通用抽样方案参数化可能性的方法，使用高斯特例作为基准k.3.1抽样，似然图{（T，X），…，（TN，XN）}是F（·| X；θ），X诱导的（T，X）分布中的随机样本∈ 十、 在“true”参数向量θ和X的一些基本分布上，我们不直接观察这个完整的样本，而只观察它的一个删失版本：{（T*, D、 X），（T*N、 DN，XN）}。给，T*n≡ min{Tn，Cn}是观察到的持续时间和DN≡ I（Tn≤ Cn）一个审查指标，对于一些随机审查时间Cn。注t：完全观察（t*n、 Dn）=（t，1）将MHT事件Tn=t与审查事件Cn配对≥ t、 而截尾观测（t*n、 Dn）=（t，0）对应于Tn>t和cn=t。我们假设一种简单的独立权利审查（Andersen et al.，1993）。假设（Tn，Cn，Xn）与n无关，并且，以Xn为条件，cns与Tn无关，其分布不依赖于θ。然后，在Xn的条件下，（T）的相似贡献*n、 Dn）分解为MHT部分，f（T*n | Xn；θ） DnF（T*n | Xn；θ)1-Dn，以及不依赖于θ的审查部分。因此，条件似然与qnn=1f（T）成正比*n | Xn；θ） DnF（T*n | Xn；θ)1-Dn。如果协变量Xncarry没有关于θ的信息，则其最大化子是θ的全信息极大似然估计。注意，在没有审查的情况下*n=tn和Dn=1几乎可以肯定为alln，作为特殊情况包括在内，其中Cn=∞ 几乎可以肯定的是，对于所有n。此外，对于更普遍的独立审查方案，所得估计量仍然是有效的（但通常是部分的）似然估计量（Andersen et al.，1993）。